Medián (geometrie)

V nejčastější smyslu, medián určí, v trojúhelníku , je čára spojující jednu ze tří vrcholů trojúhelníku ve středu na straně protilehlé.

Rozšířením, v rovinné geometrii , mediány a čtyřúhelníku jsou segmenty spojující středy dvou protilehlých stranách.

Nakonec, v geometrii v prostoru , jsou mediány čtyřstěnu čáry procházející jedním vrcholem čtyřstěnu a izobarycentrem ostatních tří.

Geometrie trojúhelníku

V trojúhelníku ABC je medián z vrcholu A přímka ( AI ), kde I označuje střed úsečky [ B , C ]. Termín medián někdy označuje spíše segment [ A , I ] než čáru ( AI ).

Každý medián odděluje trojúhelník ABC na dva trojúhelníky se stejnými oblastmi: plocha trojúhelníku ABI se rovná ploše trojúhelníku ACI .

Demonstrace

Zvažte dva trojúhelníky ABI a ACI .

Říkáme H ortogonální projekce bodu A na přímku ( BC ).

Protože I je střed segmentu [ BC ], máme BI = CI . V trojúhelníku je středem strany přímka, která prochází středem této strany a vrcholem jejího úhlu.

Plocha trojúhelníku ABI se rovná . Plocha trojúhelníku ACI se rovná . Jako BI = CI jsou tyto dvě oblasti stejné. $\ frac {BI \ times AH} {2}$ ${\ displaystyle {\ frac {CI \ krát AH} {2}}}$

Stejným způsobem dokazujeme, že mediány získané z B a C tuto vlastnost ověřují.

Dalším elementárním způsobem, jak demonstrovat, je všimnout si, že tyto dva trojúhelníky jsou polovinami dvou rovnoběžníků společné strany ( AI ) a překládají se jeden od druhého.

Mediánová věta

V trojúhelníku ABC , je-li I je na střed [ nl ] pak Tato rovnost je bezprostředním důsledkem definice I jako isobarycenter části B a C (viz § „Redukce“ článku na barycenter ). ${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {AC}} = 2 {\ overrightarrow {AI}}.}$

Tvrdí to „ první střední věta “

{\ displaystyle AB ^ {2} + AC ^ {2} = {1 \ nad 2} BC ^ {2} + 2AI ^ {2}.}

Vyslovil to Apollonius z Pergy a Thales .

Izobarycentrum

Tři mediány trojúhelníku jsou souběžné. Jejich průsečík je isobarycentrum tří vrcholů, často označovaných jako „těžiště trojúhelníku“. Nachází se dvě třetiny každého mediánu z odpovídajícího vrcholu. Toto isobarycentrum G splňuje vektorový vztah:

${\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + {\ overrightarrow {GB}} + {\ overrightarrow {GC}} = {\ overrightarrow {0}}.}$

Demonstrace

Střed I [ B, C ] je definován vektorovou rovnicí:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {BI}} + {\ overrightarrow {CI}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Izobarycentrum G tří bodů A , B a C je definováno vektorovou rovnicí:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + {\ overrightarrow {GB}} + {\ overrightarrow {GC}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Z těchto dvou rovnic odvodíme:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + 2 {\ overrightarrow {GI}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Proto jsou G , A a I zarovnány, jinými slovy G patří do mediánu ( AI ). Ukážeme také, že patří k dalším dvěma mediánům. Tyto tři mediány jsou tedy velmi souběžné. (Tuto vlastnost můžeme také vidět jako zvláštní případ Cevovy věty .)

Existuje další důkaz, který nepoužívá žádné vektorové znalosti.

Demonstrace

Uvažujeme jakýkoli trojúhelník ABC a body I , J a K , příslušné středy [ AB ], [ AC ] a [ BC ] a G průsečík středů ( CI ) a ( AK ) (ukážeme pomocí argumentace absurditou, že G je dobře definován, protože tři mediány se protínají dva po druhém).

Nechť D symetrické G s ohledem na I . Pak AGBD je rovnoběžník tedy ( BD ), je rovnoběžná s ( AG ), to znamená, že se na ( KG ). Jinými slovy: G patří k paralele k ( BD ) procházející středem [ BC ]. Protože také patří k ( CD ), odvodíme Thalesovou větou , že G je středem [ CD ]. Podle definice D , bod G se nachází na [ CI ], dvě třetiny z C .

V souhrnu, průsečík ( CI ) a ( AK ) je na [ CI ], dvě třetiny z C .

Ze stejného důvodu je průsečík ( CI ) a ( BJ ) ve stejném bodě. Tři mediány trojúhelníku jsou tedy velmi souběžné.

Můžeme sem vložit důkaz konkrétního případu, který používáme, to znamená obrácení věty o středním bodu , která obnovuje rovnost rolí mezi dvěma uvažovanými mediány: nechť E je symetrický G vzhledem k K . Stejně jako ( BD ) je - jak jsme viděli - rovnoběžně s ( AG ), přímka ( BE ) je rovnoběžná s ( CG ), jinými slovy: čtyřúhelník BDGE má své protilehlé strany rovnoběžné dvě po dvou. Jedná se tedy o rovnoběžník, takže DG = BE = GC .

Zvláštnosti

Každý medián trojúhelníku, vyplývající z vrcholu ( například A ), tvoří se dvěma sousedními stranami trojúhelníku a rovnoběžkou procházející A na opačnou stranu harmonický paprsek

Dvě čáry spojující vrchol ve středu každého mediánu od ostatních dvou vrcholů rozřezávají opačnou stranu na tři stejné části.

Největší elipsa vepsaná do trojúhelníku ( Steinerova elipsa ) je tečná ke stranám trojúhelníku u nohou středů.

V každém trojúhelníku, součet čtverců délek tří mediány , a je rovna třem čtvrtinám součtu čtverců stran: $můj}$ $m_ {B}$ ${\ displaystyle m_ {C}}$

{\ displaystyle m_ {A} ^ {2} + m_ {B} ^ {2} + m_ {C} ^ {2} = {\ frac {3} {4}} (a ^ {2} + b ^ { 2} + c ^ {2})}

. Demonstrace

Napsáním střední věty třikrát pro délku každého mediánu

{\ displaystyle 2m_ {A} ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} - {\ frac {1} {2}} a ^ {2}}

{\ displaystyle 2m_ {B} ^ {2} =}

…,

{\ displaystyle 2m_ {C} ^ {2} =}

…,

součet dává . ${\ displaystyle 2 (m_ {A} ^ {2} + m_ {B} ^ {2} + m_ {C} ^ {2}) = 2 (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ { 2}) - {\ frac {1} {2}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})}$

Vydělením 2 zjistíme vzorec zjednodušením.

Medián zejména trojúhelníků

V rovnoramenném trojúhelníku je střední hodnota vzhledem k základně trojúhelníku osou symetrie trojúhelníku. Považovány za segmenty, další dva mediány mají stejnou délku. Naopak, pokud jsou v trojúhelníku dva mediány stejné délky, je trojúhelník rovnoramenný.

V pravoúhlém trojúhelníku měří medián z vrcholu pravého úhlu polovinu přepony. Naopak, pokud je v trojúhelníku délka mediánu rovna polovině délky odpovídající strany, je trojúhelník pravoúhlý.

V trojúhelníku jsou mediány z B a C ortogonální právě tehdy, máme-li mezi stranami trojúhelníku následující vztah: $b 2 + c 2 = 5 a 2$ .

Pokud je medián AM = , pak další dva mediány jsou ortogonální. ${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} a}$

Mediány v čtyřúhelníku

Mediány čtyřúhelníku jsou segmenty spojující středy protilehlých stran.

Mediány jsou úhlopříčky Varignonova rovnoběžníku , protínají se ve svých středech.
Asociativita z těžišť také umožňuje doložit, že střed mediány je isobarycenter z vrcholů čtyřúhelníku. Na rozdíl od případu trojúhelníku, to isobarycenter z vrcholů se nekryje s těžištěm .

Geometrie v prostoru

V geometrii v prostoru nazýváme mediány čtyřstěnu liniemi spojujícími jeden z vrcholů čtyřstěnu a isobarycentrum tří ostatních. Existují tedy čtyři mediány v čtyřstěnu. Protínají se v bodě, který je isobarycentrem čtyř vrcholů (viz Commandinova věta (de) ). Totéž platí pro tři bimediány (spojující středy dvou protilehlých hran).

Všechny tyto vlastnosti (trojúhelníku, čtyřúhelníku a čtyřstěnu) jsou speciálními případy následující věty, důsledkem asociativity barycentra:

Nechť S je konečná množina bodů afinního prostoru . Říkáme medián S libovolného segmentu spojujícího izobarycentra dvou neprázdných částí S navzájem se doplňujících . Takže všechny střední S protínají v isobarycenter S .

(Lze dokonce určit, podle kvocientu počtu bodů obou částí, polohu isobarycentra na uvažovaném segmentu.)

V pravidelném čtyřstěnu (jehož tváře jsou rovnostranné trojúhelníky) jsou mediány také výškami. Říkáme, že tento čtyřstěn je ortocentrický (in) , protože jeho výšky jsou souběžné (toto neplatí obecně pro čtyřstěn, na rozdíl od trojúhelníku).

CH 4 methan molekula ilustruje tento případ: vrcholy jsou obsazeny atomy vodíku; atom uhlíku je umístěn tam, kde se setkávají mediány.

Reference

Pierre-François Compagnon, Geometrické prvky , Gauthier-Villars ,1868( číst online ) , s. 55-56, § 121.
Důkaz rovnocennosti pomocí střední věty najdete v cvičení 4.42 tohoto dokumentu .
(in) Maria Flavia Mammana, Biagio Micale a Mario Pennisi, „ Na centroidech Polygonů a Mnohostěnů “ , Forum Geometricorum , sv. 8,2008, str. 121-130 ( číst online ).
(in) Robert B. Kirchner, „ Mediánová věta pro mnohoúhelníky “ v rámci projektu Demonstrace Wolfram .