Pravidelný čtyřstěn

Pravidelný čtyřstěn


Typ	Platonická pevná látka
Typ obličeje	4 × {3}
Konfigurace summitu	3.3.3
Tváře	4
Hrany	6
Vrcholy	4
Vlastnosti	2

Schläfliho symbol	{3.3} s {2.2}
Wythoffův symbol	3 \| 2 3 \| 2 2 2
Coxeter-Dynkinův diagram
Typ obličeje	4 × {3}
Indexování odkazů	U 01 , C 15 , Z 1
Dvojí	Auto-dual
Skupina symetrie	T d
Dihedrální úhel	oblouky (1/3) 70,529 °
Vlastnosti	Uniformní , konvexní, deltahedron
3.3.3 ( horní obrázek )	Auto-dual ( Dual )

Pravidelný čtyřstěn je čtyřstěn , jehož 4 stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Má 6 hran a 4 vrcholy . Je to jeden z pěti Platónových pevných těles . Má ohraničenou kouli procházející jejími 4 vrcholy a vepsanou kouli tečnou k jejím 4 plochám.

Protože má 3 vrcholy na plochu a 3 plochy na vrchol, je její Schläfliho symbol {3,3}.

Charakteristické veličiny

Pokud $a$ je délka hrany:

jeho výška se rovná :; ${\ displaystyle H = {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} ~ a}$
její střed se nachází, s ohledem na základnu, v :; ${\ displaystyle h = {\ frac {H} {4}} = {\ frac {a} {2 {\ sqrt {6}}}}}$
poloměr jeho opsané koule je :; ${\ displaystyle R = {\ frac {3} {4}} H = {\ sqrt {\ frac {3} {8}}} a}$
poloměr jeho vepsané koule je :; ${\ displaystyle r = {\ frac {1} {3}} R = {\ frac {a} {\ sqrt {24}}}}$
jeho oblast je :; ${\ displaystyle A = {\ sqrt {3}} a ^ {2}}$
jeho objem je :; ${\ displaystyle V = {\ frac {a ^ {3}} {6 {\ sqrt {2}}}}}$
úhel vzepětí je ; ${\ displaystyle \ arccos \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) \ simeq 70,5288 ^ {\ circ}}$
jeho středový úhel (to znamená, že tvoří dva po dvou, čtyři segmenty, které začínají od středu směrem ke čtyřem vrcholům), je platný ; ${\ displaystyle \ arccos \ left (- {\ frac {1} {3}} \ right) \ simeq 109,471 ^ {\ circ}}$
prostorový úhel obličeje při pohledu z opačného vrcholu je steradián ; ${\ displaystyle \ arccos \ left ({\ frac {23} {27}} \ right) \ simeq 0,55129}$
4 souřadnicové body jsou vrcholy pravidelného čtyřstěnu s hranou $a$ $= 2$ $\sqrt$ $2$ vystředěnou na počátku, vyplývající ze čtyř vrcholů krychle. ${\ Displaystyle (1,1,1), (1, -1, -1), (- 1,1, -1), (- 1, -1,1)}$

Různé vlastnosti

Tyto isometries opouštějící pravidelného čtyřstěnu globálně neměnný, tvoří skupinu izomorfní na symetrické skupiny S 4 . Podskupina pozitivních isometries je izomorfní střídavé skupiny A 4 .

Pravidelný čtyřstěn je jeho vlastní dvojník , to znamená, že spojením středů jeho tváří získáme podobný pravidelný čtyřstěn.

Má čtvercový řez , přičemž jako rovinu řezu bere rovinu rovnoběžnou se dvěma ortogonálními hranami, procházející středem dalších čtyř hran.

Tento tvar se používá k výrobě čtyřstranných kostek a modeluje některé molekuly s čtyřboká molekulární geometrií , jako je methan .

Platón to spojil s přírodním prvkem „oheň“.

Podívejte se také

Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku s názvem „ Tétraèdre “ (viz seznam autorů ) .
(en) Eric W. Weisstein , „ Pravidelný čtyřstěn “ , na MathWorld
Robert Ferréol, „ Tétraèdre “ , na mathcurve