Vektor lalaciánský operátor
Ve vektorové analýze se vektor Laplacian je diferenciální operátor na vektorových polí . Má mnoho podobností s laplaciánským skalárním operátorem .
Definice
V euklidovském prostoru je vektor Laplacian nejjednodušší definován umístěním do kartézského souřadného systému . V tomto případě, Laplacian vektor pole jakéhokoliv vektoru A, má komponenty pro Laplacian komponenty A . Jinými slovy, v trojrozměrném prostoru, pokud píšeme
NA=NAXuX+NAyuy+NAzuz{\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} = A ^ {x} {\ boldsymbol {u}} _ {x} + A ^ {y} {\ boldsymbol {u}} _ {y} + A ^ {z} {\ boldsymbol {u}} _ {z}},
pak se napíše
vektor Laplacian z A
ΔNA=(ΔNAX)uX+(ΔNAy)uy+(ΔNAz)uz{\ displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {A}} = (\ Delta A ^ {x}) {\ boldsymbol {u}} _ {x} + (\ Delta A ^ {y}) {\ boldsymbol {u}} _ {y} + (\ Delta A ^ {z}) {\ boldsymbol {u}} _ {z}}.
Výrazy v jiných souřadnicových systémech
Z výrazu v kartézských souřadnicích můžeme Laplacian vyjádřit v jakémkoli jiném souřadnicovém systému, protože jakmile je definován nový souřadný systém, můžeme vyjádřit vektory nového základu jako funkci vektorů kartézského základu, stejně jako vyjádřit parciální derivace ve srovnání s novými souřadnicemi podle parciálních derivací ve srovnání s kartézskými souřadnicemi. Ve třech dimenzích je alternativní (ale ne mnohem rychlejší) metodou použití vzorce rotace rotace , který je napsán pro jakékoli vektorové pole:
∇∧(∇∧NA)=∇(∇⋅NA)-ΔNA{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín {\ boldsymbol {A}}) = {\ boldsymbol {\ nabla}} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {A}}) - \ Delta {\ boldsymbol {A}}}.
Získáváme tedy následující vzorce:
Válcové souřadnice
V obvyklém válcovém souřadném systému r , θ , z máme:
ΔNA=(∂2NAr∂r2+1r2∂2NAr∂θ2+∂2NAr∂z2+1r∂NAr∂r-2r2∂NAθ∂θ-NArr2)ur+(∂2NAθ∂r2+1r2∂2NAθ∂θ2+∂2NAθ∂z2+1r∂NAθ∂r+2r2∂NAr∂θ-NAθr2)uθ+(∂2NAz∂z2+1r2∂2NAz∂θ2+∂2NAz∂r2+1r∂NAz∂r)uz{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Delta A}} = {\ begin {pole} {l} \ displaystyle \ quad \ left ({\ frac {\ částečné ^ {2} A ^ {r}} {\ částečné r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} A ^ {r}} {\ částečné \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} A ^ {r}} {\ částečné z ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ částečné A ^ {r}} {\ částečné r}} - {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečná A ^ {\ theta}} {\ částečná \ theta}} - {\ frac {A ^ {r}} { r ^ {2}}} \ vpravo) {\ boldsymbol {u}} _ {r} \\\ displaystyle + \ left ({\ frac {\ částečné ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ částečné r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ částečné \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ částečné z ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ částečné A ^ {\ theta} } {\ částečné r}} + {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné A ^ {r}} {\ částečné \ theta}} - {\ frac {A ^ {\ theta}} {r ^ {2}}} \ vpravo) {\ boldsymbol {u}} _ {\ theta} \\\ displaystyle + \ left ({\ frac {\ částečné ^ {2} A ^ {z}} {\ částečné z ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} A ^ {z}} {\ částečné \ theta ^ {2} }} + {\ frac {\ částečné ^ {2} A ^ {z}} {\ částečné r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ strana al A ^ {z}} {\ částečné r}} \ doprava) {\ boldsymbol {u}} _ {z} \ end {pole}}}.
Sférické souřadnice
V obvyklém sférickém souřadném systému r , θ , φ máme:
ΔNA=(1r∂2(rNAr)∂r2+1r2∂2NAr∂θ2+1r2hřích2θ∂2NAr∂φ2+nákladyθr2∂NAr∂θ-2NArr2-2r2∂NAθ∂θ-2nákladyθr2NAθ-2r2hříchθ∂NAφ∂φ)ur+(2r2∂NAr∂θ-NAθr2hřích2θ+1r∂2(rNAθ)∂r2+1r2∂2NAθ∂θ2+1r2hřích2θ∂2NAθ∂φ2+nákladyθr2∂NAθ∂θ-2r2nákladyθhříchθ∂NAφ∂φ)uθ+(2r2hříchθ∂NAr∂φ+2r2nákladyθhříchθ∂NAθ∂φ+1r∂2(rNAφ)∂r2+1r2∂2NAφ∂θ2+1r2hřích2θ∂2NAφ∂φ2+nákladyθr2∂NAφ∂θ-NAφr2hřích2θ)uφ{\ displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {A}} = {\ begin {pole} {l} \ displaystyle \ quad \ left ({\ frac {1} {r}} {\ frac {\ částečné ^ {2} ( rA ^ {r})} {\ částečné r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} A ^ {r}} {\ částečná \ theta ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ částečná ^ {2} A ^ {r}} {\ částečný \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ cot \ theta} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečný A ^ {r}} {\ částečný \ theta}} - {\ frac {2A ^ {r}} {r ^ {2}}} - {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné A ^ {\ theta}} {\ částečné \ theta}} - {\ frac {2 \ cot \ theta} {r ^ {2}}} A ^ {\ theta} - {\ frac {2} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné A ^ {\ varphi}} {\ částečné \ varphi}} \ vpravo) {\ boldsymbol {u}} _ {r} \\\ displaystyle + \ left ({\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné A ^ {r}} {\ částečné \ theta}} - {\ frac {A ^ {\ theta}} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ částečné ^ {2} (rA ^ {\ theta})} {\ částečné r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2} }} {\ frac {\ částečné ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ částečné \ theta ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ částečné ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ částečné \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ cot \ theta} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné A ^ {\ theta}} {\ částečné \ theta}} - {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ cot \ theta} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné A ^ {\ varphi}} {\ částečné \ varphi}} \ vpravo) {\ boldsymbol {u}} _ {\ theta} \\\ displaystyle + \ left ( {\ frac {2} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné A ^ {r}} {\ částečné \ varphi}} + {\ frac {2} {r ^ {2} }} {\ frac {\ cot \ theta} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ částečná A ^ {\ theta}} {\ částečná \ varphi}} + {\ frac {1} {r}} { \ frac {\ částečné ^ {2} (rA ^ {\ varphi})} {\ částečné r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} A ^ {\ varphi}} {\ částečné \ theta ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ částečné ^ {2} A ^ {\ varphi}} {\ částečné \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ cot \ theta} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné A ^ {\ varphi}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {A ^ {\ varphi}} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ right) {\ boldsymbol {u}} _ { \ varphi} \ end {pole}}}Aplikace
Vektorový Laplacian je přítomen zejména:
Podívejte se také