V afinní geometrii je paralelismus vlastnost vztahující se k přímkám , rovinám nebo obecněji k afinním podprostorům . Pojem paralelismu původně formuloval Euclid ve svých Prvcích , ale jeho prezentace se postupem času vyvíjela a přešla od axiomatické definice k jednoduché definici.
Pojem paralelismu je představen v knize I Euclidových prvků . Pro Euklida je čára spíše segmentem .
Předpoklad 5 : „Je-li linka padá na dvou přímkách dělá vnitřní úhly na stejné straně menší než dva pravé úhly, ty přímé, prodloužena na dobu neurčitou, se sejdou na stranu, kde jsou úhly jsou menší než dvě práva. »Umožňuje prokázat:
Pokud nám postulát 5 umožňuje demonstrovat všechny obvyklé vlastnosti našeho známého prostoru, faktem zůstává, že se zdá méně „zřejmý“ než ostatní a že bylo učiněno mnoho pokusů to demonstrovat z jednodušších postulátů. Bylo to jejich opakované selhání, které nakonec vedlo k objevu neeuklidovských geometrií .
Ve svých Elements of Geometry (1765) definuje Clairaut dvě rovnoběžky, které jsou od sebe ve stejné vzdálenosti. Skutečnost, že křivka ve stejné vzdálenosti od přímky je sama o sobě přímkou, je vlastnost, jejíž důkaz vyžaduje připuštění Euklidova pátého postulátu (v hyperbolické geometrii tato vlastnost definuje novou rodinu křivek, hypercykly ).
Moderní geometrie definuje pojem paralelismu v rámci afinní geometrie.
Přímka je definována bodem a vektorem směru. O dvou přímkách se říká, že jsou rovnoběžné právě tehdy, jsou-li jejich směrové vektory kolineární . Poté se zdá, že dvě spojené linie jsou paralelní podle této definice, zatímco nebyly podle Euklidovy definice. Dvě odlišné paralelní linie se pak nazývají striktně paralelní.
Přijetím považování shodných linií za paralelní je potom vztah paralelismu:
To nám umožňuje říci, že vztah paralelismu je vztah ekvivalence, jehož třídami ekvivalence jsou směry linií.
V afinním prostoru jsou dvě roviny definovány bodem a dvěma nekolineárními směrovými vektory.
Dvě roviny jsou rovnoběžné právě tehdy, jsou-li čtyři směrové vektory koplanární . V prostoru dimenze 3 jsou dvě roviny buď rovnoběžné (bez společných nebo zmatených bodů), nebo protínající se po přímce.
Přímka je rovnoběžná s rovinou právě tehdy, jsou-li tři směrové vektory (roviny i přímky) koplanární (s touto definicí je přímka obsažená v rovině rovnoběžná s ní). V prostoru dimenze 3, vzhledem k přímce a rovině, je přímka rovnoběžná s rovinou, nebo je přímka a rovina sečnaná podél bodu. Na rozdíl od předchozích není vztah rovnoběžnosti doprava / rovina přechodný; dvě roviny tedy mohou být rovnoběžné se stejnou přímkou Δ, aniž by byly navzájem rovnoběžné (ale potom bude jejich průsečík rovnoběžný s Δ).
PoznámkaNa rozdíl od toho, co se děje v rovině (afinní prostor dimenze 2), se dvě linie prostoru dimenze 3 nemusí protínat, aniž by byly rovnoběžné. Dvě takové čáry (jinými slovy: dvě nekoplanární čáry) se nazývají levé čáry .
P - dimenzionální afinní podprostor je definován pomocí bodu a p- dimenzionálního vektorového podprostoru nazývaného směr afinního prostoru. Dva afinní podprostory dimenze p jsou rovnoběžné právě tehdy, pokud mají stejný vektorový podprostor jako směr. Dva paralelní afinní podprostory jsou nesouvislé nebo zmatené.
Vztah paralelismu zůstává vztahem ekvivalence na množině afinních podprostorů dimenze p . Obecněji se o dvou afinních podprostorech příslušných dimenzí p a q , s p < q , říká, že jsou rovnoběžné, pokud je směr prvního vektorovým podprostorem směru druhého (ale tento poslední vztah není ekvivalentní relací) .