Cyklické body
V geometrii se o bodech roviny říká, že jsou cyklické, pokud patří do stejné kružnice .
Tři nevyrovnané body roviny jsou cyklické. Ve skutečnosti má jakýkoli trojúhelník ohraničenou kružnici .
Čtyři cyklické body
Vlastnost - Nechť , , a
čtyři různé body plánu. Takže , , ,
jsou cyklické nebo kolineární tehdy a jen tehdy, pokud budeme mít rovnost orientovaných úhlů
NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}D{\ displaystyle D}NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}D{\ displaystyle D}
(VSNA→,VSB→)=(DNA→,DB→)modπ.{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {CA}}, {\ overrightarrow {CB}} \ right) = \ left ({\ overrightarrow {DA}}, {\ overrightarrow {DB}} \ right) \ mod \ pi .}
Předchozí vlastnost je důsledkem vepsané věty o úhlu .
Pokud jsou příslušné přípony , zapíše se také předchozí podmínka
na,b,vs.,d{\ displaystyle a, b, c, d}NA,B,VS,D{\ displaystyle A, B, C, D}
arg(vs.-bvs.-na)=arg(d-bd-na)modπ{\ displaystyle \ arg \ left ({\ frac {cb} {ca}} \ right) = \ arg \ left ({\ frac {db} {da}} \ right) \ mod \ pi}
Proto pomocí křížového poměru ekvivalentní podmínka:
[na,b,vs.,d]=(vs.-bvs.-na):(d-bd-na){\ displaystyle [a, b, c, d] = \ left ({\ frac {cb} {ca}} \ right): \ left ({\ frac {db} {da}} \ right)} nemovitý
Na Ptolemaiova věta dává nutnou a postačující podmínkou pro cocyclicity čtyři body z jejich vzdálenosti.
Věta - Nechť , , a
čtyři různé body plánu. Tyto body jsou cocyklické, právě když je ověřena jedna z následujících čtyř rovností:
NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}D{\ displaystyle D}
NAB.VSD±NAVS.DB±NAD.BVS=0{\ displaystyle AB.CD \ pm AC.DB \ pm AD.BC = 0}.
Výrok dává „čtyři rovnosti“, protože ± musí číst buď + nebo -.
Odkaz
-
Dáno v této podobě Marcelem Bergerem , Living Geometry: nebo Jacob's Scale , Cassini, coll. "New matematic library",2009( ISBN 9782842250355 ), str. 154 .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">