Ptolemaiova věta

V euklidovské geometrii , Ptolemaiova teorému a jeho opačného stavu ekvivalence mezi cocyclicity 4 body a algebraického vztahu zahrnující jejich vzdálenosti. Přímé důsledky lze připsat řeckému astronomovi a matematikovi Claudiusovi Ptolemaiovi , který jej použil k sestavení svých trigonometrických tabulek, které použil při svých výpočtech týkajících se astronomie .

Státy

Ptolemaiova věta  -  Konvexní čtyřúhelník je zapisovatelný právě tehdy, je-li součin délek úhlopříček roven součtu součinů délek protilehlých stran.

Tuto větu lze přeložit jako:

Ptolemaiova věta  -  Konvexní čtyřúhelník je zapisovatelný právě tehdyNABVSD{\ displaystyle ABCD}NAVS⋅BD=NAB⋅VSD+BVS⋅NAD.{\ displaystyle AC \ cdot BD = AB \ cdot CD + BC \ cdot AD.}

Nebo, formulováno jinak, lze uvést takto:

Ptolemaiova věta  -  Let čtyři body a leží ve stejné rovině. a budou umístěny na stejném kruhu a v tomto pořadí právě tehdy, když vzdálenosti mezi nimi splňují vztah:NA,B,VS{\ displaystyle A, B, C}D{\ displaystyle D}NA,B,VS{\ displaystyle A, B, C}D{\ displaystyle D}NAVS⋅BD=NAB⋅VSD+BVS⋅NAD.{\ displaystyle AC \ cdot BD = AB \ cdot CD + BC \ cdot AD.}

Demonstrace

Rovnocennost

Na Ptolemaiova věta je přímým důsledkem případě nerozhodného výsledku v nerovnosti Ptolemaia , jehož důkaz používá pouze čtyři body , , a jsou cyklické (v tomto pořadí), tehdy a jen tehdy, pokud obrat soustředěn v jednom z těchto míst vysílá druhý tři na tři zarovnané tečky (v tomto pořadí). NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}D{\ displaystyle D}

Přímá implikace geometrickým uvažováním

Následující ukázka je ukázkou Ptolemaia.

Dovolit být nepřekřížený zapisovatelný čtyřúhelník . Úhly a jsou stejné, protože protínají stejný oblouk (viz teorém o zapsaném úhlu ); stejně . NABVSD{\ displaystyle ABCD}BNAVS^{\ displaystyle {\ widehat {BAC}}}BDVS^{\ displaystyle {\ widehat {BDC}}}NADB^=NAVSB^{\ displaystyle {\ widehat {ADB}} = {\ widehat {ACB}}}

Postavme bod K tak, že a . K.∈[NAVS]{\ displaystyle K \ v [AC]}NABK.^=DBVS^{\ displaystyle {\ widehat {ABK}} = {\ widehat {DBC}}}

Máme tedy . NABD^=NABK.^+K.BD^=DBVS^+K.BD^=K.BVS^{\ displaystyle {\ widehat {ABD}} = {\ widehat {ABK}} + {\ widehat {KBD}} = {\ widehat {DBC}} + {\ widehat {KBD}} = {\ widehat {KBC}} }

Tedy, trojúhelníky a , majíce stejné úhly, jsou podobné (prostřední obrázek), stejně jako a (pravý obrázek). NABK.{\ displaystyle ABK}DBVS{\ displaystyle DBC}NABD{\ displaystyle ABD}K.BVS{\ displaystyle KBC}

Získáváme následující vztahy (viz „  Podobné trojúhelníky  “): aNAK.NAB=VSDBD{\ displaystyle {\ frac {AK} {AB}} = {\ frac {CD} {BD}}}VSK.BVS=DNABD{\ displaystyle {\ frac {CK} {BC}} = {\ frac {DA} {BD}}}

odkud aNAK.⋅BD=NAB⋅VSD{\ displaystyle AK \ cdot BD = AB \ cdot CD}VSK.⋅BD=BVS⋅DNA{\ displaystyle CK \ cdot BD = BC \ cdot DA}

přidáním to přijde a konstrukcí . (NAK.+VSK.)⋅BD=NAB⋅VSD+BVS⋅DNA{\ displaystyle (AK + CK) \ cdot BD = AB \ cdot CD + BC \ cdot DA}NAK.+VSK.=NAVS{\ displaystyle AK + CK = AC \,}

Dedukujeme rovnost věty . NAVS⋅BD=NAB⋅VSD+BVS⋅DNA{\ displaystyle AC \ cdot BD = AB \ cdot CD + BC \ cdot DA}

Ptolemaiova druhá věta

Ptolemaiova druhá věta  -  Nechť je nepřekříženým zapisovatelným čtyřúhelníkem , délky stran a úhlopříček ověřují vztah: NABVSD{\ displaystyle ABCD}

NAVSBD=NAB⋅DNA+BVS⋅VSDNAB⋅BVS+DNA⋅VSD{\ displaystyle {\ frac {AC} {BD}} = {\ frac {AB \ cdot DA + BC \ cdot CD} {AB \ cdot BC + DA \ cdot CD}}}

Oblast trojúhelníku ABC vepsaného do kruhu o poloměru R je dána vztahem NA=NAB⋅BVS⋅VSNA4R{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {AB \ cdot BC \ cdot CA} {4R}}}

Napsáním celkové plochy čtyřúhelníku jako součtu dvou trojúhelníků se stejnou ohraničenou kružnicí získáme podle zvoleného rozkladu:

NAtÓt=NAB⋅BVS⋅VSNA4R+VSD⋅DNA⋅NAVS4R=NAVS⋅(NAB⋅BVS+VSD⋅DNA)4R{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {tot} = {\ frac {AB \ cdot BC \ cdot CA} {4R}} + {\ frac {CD \ cdot DA \ cdot AC} {4R}} = { \ frac {AC \ cdot (AB \ cdot BC + CD \ cdot DA)} {4R}}}

NAtÓt=NAB⋅BD⋅DNA4R+BVS⋅VSD⋅DB4R=BD⋅(NAB⋅DNA+BVS⋅VSD)4R{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {tot} = {\ frac {AB \ cdot BD \ cdot DA} {4R}} + {\ frac {BC \ cdot CD \ cdot DB} {4R}} = { \ frac {BD \ cdot (AB \ cdot DA + BC \ cdot CD)} {4R}}}

Přiřazením získá křížový produkt inzerovaný vztah.

Dvě Ptolemaiovy rovnosti nám dávají součin a poměr úhlopříček. Násobením a dělením nám okamžitě sdělili každou úhlopříčku podle stran.

NAVS2=NAVS⋅BD⋅NAVSBD=(NAB⋅VSD+BVS⋅DNA)⋅(NAB⋅DNA+BVS⋅VSD)NAB⋅BVS+DNA⋅VSD{\ displaystyle AC ^ {2} = AC \ cdot BD \ cdot {\ frac {AC} {BD}} = {\ frac {(AB \ cdot CD + BC \ cdot DA) \ cdot (AB \ cdot DA + BC \ cdot CD)} {AB \ cdot BC + DA \ cdot CD}}} BD2=NAVS⋅BD⋅BDNAVS=(NAB⋅VSD+BVS⋅DNA)⋅(NAB⋅BVS+DNA⋅VSD)NAB⋅DNA+BVS⋅VSD{\ displaystyle BD ^ {2} = AC \ cdot BD \ cdot {\ frac {BD} {AC}} = {\ frac {(AB \ cdot CD + BC \ cdot DA) \ cdot (AB \ cdot BC + DA \ cdot CD)}} {AB \ cdot DA + BC \ cdot CD}}}

Používá Ptolemaios

Ptolemaios použil tuto větu ke konstrukci trigonometrických tabulek. Za to považuje kruh, jehož obvod je rozdělen na 360 stupňů a jehož průměr je rozdělen na 120 částí. Poté se snaží přisoudit různým obloukům kruhu délku řetězců podřízených těmito oblouky.

Nejprve se zabývá případy oblouků 36 °, 60 °, 72 °, 90 °, 120 °, pro které je základní tětiva stranou příslušného pravidelného pětiúhelníku , pravidelného šestiúhelníku , pravidelného desetiúhelníku , čtverce , rovnostranného trojúhelníku , vše vepsané do kruhu. Všechny tyto polygony jsou konstruovatelné pomocí pravítka a kompasu , můžeme skutečně určit délku jejich stran. Potom s využitím skutečnosti, že trojúhelník vepsaný do kruhu je obdélník, pokud se jedna z jeho stran rovná průměru, mu Pythagorova věta umožňuje určit akordy spojené s oblouky, které jsou 180 ° doplňky předcházejících oblouků.

Poté, co zná akordy spojené se dvěma oblouky kruhu, použije svou větu k určení akordu podřízeného rozdíly nebo součty těchto oblouků. Na opačném obrázku předpokládejme, že jsou známé délky řetězců podřízených oblouky AB a AC, stejně jako průměr AD kruhu. Trojúhelníky BAD a CAD, které jsou obdélníky v B a C, Pythagorova věta umožňuje určit BD a CD. Všechny modré segmenty proto mají známou délku. Ptolemaiova věta nám umožňuje odvodit délku červeného segmentu BC. Ptolemaios proto může určit délku šňůry spojené s úhlem 12 ° = 72 ° - 60 °.

Vidíme tedy, že Ptolemaiova věta hraje ve starověké matematice roli, kterou pro nás hrají vzorce trigonometrie (siny a kosiny součtu nebo rozdílu dvou úhlů).

Ptolemaios také ví, jak určit akord zesílený polovičním lukem. Na opačném obrázku nechť BC je oblouk, jehož akord známe, a AC průměr kruhu. Podle Pythagorovy věty v pravém trojúhelníku ABC známe také délku AB. Nakreslíme přímku (AD) úhlu BAC, takže BD = CD. Jeden nese [AC] bod E tak, že AE = AB. Trojúhelníky ABD a AED jsou pak izometrické. Máme tedy CD = BD = ED a trojúhelník ECD je rovnoramenný. Jeho výška (EZ) prochází (AC) v Z, střed [EC]. Ale EC je známo, protože EC = AC - AE = AC - AB a AB a AC jsou známy. ZC, tedy polovina EC, je známa. Požadovaný akord CD je tedy znám, protože v pravém trojúhelníku ACD máme . Znát 12 ° akord, může Ptolemaios dokončit svůj stůl výpočtem délek akordů spojených s oblouky 6 °, 3 °, 1 ° 30 'a 45'. VSD2=NAVS×VSZ{\ displaystyle {\ rm {CD}} ^ {2} = {\ rm {AC}} \ krát {\ rm {CZ}}}

Nemůže tak získat délku akordu pod obloukem 1 °. Tuto hodnotu získá interpolací vyplývající z hodnot získaných pro oblouky 1 ° 30 'a 45'. Poté odvodí řetězec, který je pod 30 'obloukem, a může konečně sestavit tabulku oblouků a podřízených řetězců, půl stupně po polovině stupně.

V šestém svazku Almagestu uvádí Ptolemaios přibližnou hodnotu čísla, které dokázal získat pomocí své tabulky. Znát délku akordu, která je pod úhlem jednoho stupně, stačí tuto délku vynásobit 360, abychom získali přibližnou hodnotu délky obvodu kruhu. Dostane . π{\ displaystyle \ pi}377120≈3,14166...{\ displaystyle {\ frac {377} {120}} \ přibližně 3 14166 \ teček}

Podívejte se také

Související články

• Ptolemaiova nerovnost
• Caseyho věta
• Pythagorova věta

Externí odkaz

Důkaz teoréma a jeho převrácená na místě „Descartes a matematiky“

Reference

1. Ptolemaios, překlad Nicolas Halma , Matematické složení , t.  I, 1927 (reissue) ( číst online ) , s.  29
2. Jean-Paul Colette, Dějiny matematiky , t.  Já, Vuibert,1973( ISBN  2-7117-1020-3 ) , s.  93-94
3. (in) Morris Kline, Matematické myšlení od starověku po moderní dobu , Oxford University Press ,1972, str.  122-126
4. Důvodem je, že Ptolemaios provádí své výpočty v sexagesimálním systému pro úhly i délky a poloměr 60 dílů je pro tento systém vhodný.
5. Ptolemaios, překlad Nicolas Halma , Mathematical Composition , t.  I, 1927 (reissue) ( číst online ) , s.  28
6. Ptolemaios, překlad Nicolas Halma , Mathematical Composition , t.  I, 1927 (reissue) ( číst online ) , s.  30
7. Ptolemaios, překlad Nicolas Halma , Mathematical Composition , t.  I, 1927 (reissue) ( číst online ) , s.  31
8. Ptolemaios, překlad Nicolas Halma , Mathematical Composition , t.  I, 1927 (reissue) ( číst online ) , s.  34-36
9. Ptolemaios, překlad Nicolas Halma , Mathematical Composition , t.  I, 1927 (reissue) ( číst online ) , s.  38
10. (in) Lennard Berggren, Jonathan a Peter Borwein Borwein, Pi: Zdrojová kniha , Springer ( ISBN  978-0-387-98946-4 a 0-387-98946-3 ) , s.  678

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">