Jacobiho polynom

V matematice jsou Jacobiho polynomy třídou ortogonálních polynomů . Získávají se z hypergeometrických řad v případech, kdy je řada ve skutečnosti konečná:

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = {\ frac {(\ alpha +1) _ {n}} {n!}} \, _ {2} F_ {1 } \ left (-n, 1 + \ alpha + \ beta + n; \ alpha +1; {\ frac {1-z} {2}} \ right),}

kde je Pochhammerův symbol pro rostoucí faktoriál (Abramowitz & Stegun p561 .) a máme tedy explicitní výraz ${\ displaystyle (\ alpha +1) _ {n} \,}$

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alfa, \ beta)} (z) = {\ frac {\ gama (\ alfa + n + 1)} {n! \ gama (\ alfa + \ beta + n + 1)}} \ sum _ {m = 0} ^ {n} {n \ vyberte m} {\ frac {\ Gamma (\ alpha + \ beta + n + m + 1)} {\ Gamma (\ alpha + m +1)}} \ doleva ({\ frac {z-1} {2}} \ doprava) ^ {m},}

pro kterou je konečná hodnota

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (1) = {n + \ alpha \ zvolit n}.}

Tady, jako celek $ne\,$

{\ displaystyle {z \ vybrat n} = {\ frac {\ gama (z + 1)} {\ gama (n + 1) \ gama (z-n + 1)}},}

a je obvyklá funkce gama , která má vlastnost pro . Tak, ${\ displaystyle \ Gamma (z) \,}$ ${\ Displaystyle 1 / \ Gamma (n + 1) = 0 \,}$ ${\ displaystyle n = -1, -2, \ tečky \,}$

{\ displaystyle {z \ select n} = 0 \ quad {\ hbox {for}} \ quad n <0.}

Polynomy mají vztah symetrie ; tedy další konečná hodnota je ${\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (- z) = (- 1) ^ {n} P_ {n} ^ {(\ beta, \ alpha)} (z)}$

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (- 1) = (- 1) ^ {n} {n + \ beta \ zvolit n}.}

Pro reálné číslo lze Jacobiho polynom napsat ve formě střídavě $X$

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = \ součet _ {s} {n + \ alpha \ zvolit s} {n + \ beta \ zvolit ns} \ left ({\ frac {x-1} {2}} \ right) ^ {ns} \ left ({\ frac {x + 1} {2}} \ right) ^ {s}}

kde a . ${\ displaystyle s \ geq 0 \,}$ ${\ displaystyle ns \ geq 0 \,}$

V konkrétním případě, kdy čtyři veličiny , , a jsou pozitivní celá čísla, Jacobi polynom může být psán jak $ne$ ${\ displaystyle n + \ alpha}$ ${\ displaystyle n + \ beta}$ ${\ displaystyle n + \ alpha + \ beta}$

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = (n + \ alpha)! (n + \ beta)! \ součet _ {s} \ left [s! (n + \ alpha -s)! (\ beta + s)! (ns)! \ right] ^ {- 1} \ left ({\ frac {x-1} {2}} \ right) ^ {ns} \ left ({ \ frac {x + 1} {2}} \ vpravo) ^ {s}.}

Součet over extends over all integer values for which the arguments of the factororials are positive. $s \,$

Tato forma umožňuje vyjádření matice D Wignera ( ) ve smyslu Jacobiho polynomů ${\ displaystyle d_ {m'm} ^ {j} (\ phi) \;}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ phi \ leq 4 \ pi}$

{\ displaystyle d_ {m'm} ^ {j} (\ phi) = \ left [{\ frac {(j + m)! (jm)!} {(j + m ')! (j-m') !}} \ right] ^ {1/2} \ left (\ sin {\ frac {\ phi} {2}} \ right) ^ {mm '} \ left (\ cos {\ frac {\ phi} {2 }} \ right) ^ {m + m '} P_ {jm} ^ {(m-m', m + m ')} (\ cos \ phi).}

Deriváty

Tý derivát explicitních exprese vede k $k$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {k}} {\ mathrm {d} z ^ {k}}} P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = {\ frac {\ Gamma (\ alpha + \ beta + n + 1 + k)} {2 ^ {k} \ Gamma (\ alpha + \ beta + n + 1)}} P_ {nk} ^ {(\ alpha + k , \ beta + k)} (z).}

Odkaz

LC Biedenharn a JD Louck, Moment hybnosti v kvantové fyzice , Addison-Wesley, Reading, (1981)

Související článek

Nerovnost Askey-Gasper