q - analog

V matematice , přesněji v oblasti kombinatoriky , je q -analog věty, identity nebo výrazu zevšeobecněním zahrnujícím nový parametr q a který se specializuje na původní větu, když člověk vezme limit, když se q blíží 1 Matematiky obvykle zajímají spíše případy, kdy se q -analog vyskytuje přirozeně, spíše než případy, kdy k již známé teorému libovolně přidáme parametr q . První q -analogues studována podrobně byly Hypergeometrické řada základních, které byly zavedeny v XIX th století.

Tyto Q- analogy nacházejí uplatnění v mnoha oblastech, včetně studia fraktálů , teorie čísel , a projevů entropie chaotických dynamických systémů. Tyto q -analogues objevují také při studiu kvantových skupin a superalgebry (v) q -déformées .

Existují dvě hlavní skupiny q -analogů: q klasické -analogy, které byly představeny v díle Leonharda Eulera a poté byly rozšířeny Frankem Hiltonem Jacksonem (in) , a q nekonvenční -analogy.

q - klasická teorie

q - derivát

Derivát funkce reálné proměnné v je limit rychlosti růstu, když se blíží , a tradičně se nazývá rozdíl tak . Ale pro non-nula, můžeme také naznačovat kvocient tak, aby . Je to tento poslední kvocient, který se nazývá q- derivát en , který má tendenci dobře, když má sklon k 1, pokud je derivovatelný v . Pak jsme na vědomí, že q -derivát funkce je hodnota , která má tendenci také k derivátu , když má tendenci k 1. To ospravedlňuje následující definice: $F$ $X$ ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (x ') - f (x)} {x'-x}}}$ $X '$ $X$ $h$ ${\ displaystyle x'-x}$ ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}$ $X$ $q$ ${\ displaystyle x '/ x}$ ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}}$ $F$ $X$ $f '(x)$ $q$ $F$ $X$ $x \ mapsto x ^ {n}$ ${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}} x ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle nx ^ {n-1}}$ $q$

q -entiers

Definujeme q -analog kladného celého čísla pomocí: $ne$

{\ displaystyle [n] _ {q} = {\ frac {1-q ^ {n}} {1-q}} = {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}} = 1 + q + q ^ {2} + \ ldots + q ^ {n-1}.}

q -faktoriál

Potom přirozeně definujeme q -analog faktoriálu celého čísla pomocí: $ne$

${\ displaystyle n! _ {q}}$	$= [1] _q \ cdot [2] _q \ cdots [n-1] _q \ cdot [n] _q$
	$= \ frac {1-q} {1-q} \ cdot \ frac {1-q ^ 2} {1-q} \ cdots \ frac {1-q ^ {n-1}} {1-q} \ cdot \ frac {1-q ^ n} {1-q}$
	$= 1 \ cdot (1 + q) \ cdots (1 + q + \ cdots + q ^ {n-2}) \ cdot (1 + q + \ cdots + q ^ {n-1}).$

Tento q -analóg faktoriálu má následující kombinatorickou interpretaci: zatímco je počet permutací řádu , počítejte tyto stejné permutace při sledování počtu inverzí . To znamená, že pokud je počet inverzí v permutace a všechny permutace řádu n , my máme: . $ne!$ $ne$ ${\ displaystyle n! _ {q}}$ ${\ displaystyle {\ text {inv}} (\ sigma)}$ $\ sigma$ $S_ {n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {\ sigma \ v S_ {n}} q ^ {{\ text {inv}} (\ sigma)} = n! _ {q}}$

Q -factorial je také stručná, pokud jde o Pochhammer je q -symbols :

{\ displaystyle n! _ {q} = {\ frac {(q; q) _ {n}} {(1-q) ^ {n}}}}

q -binomiální koeficienty

Z q -faktoriálu definujeme q -binomiální koeficienty nebo Gaussovy binomické koeficienty , q -analogy binomických koeficientů :

{\ displaystyle {\ binom {n} {k}} _ {q} = {\ frac {n! _ {q}} {(nk)! _ {q} k! _ {q}}}}

, také uvedeno .

\ left [\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix} \ right] _q

To také umožňuje definovat q -analog exponenciálu (in)

e_q ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {[n] _q!}

pak definovat q -analogy trigonometrických a hyperbolických funkcí, stejně jako q -analog Fourierovy transformace .

q - neklasické analogy

Aplikace

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ q-analog “ ( viz seznam autorů ) .

(in) Harold Exton, q-Hypergeometric Functions and Applications , E. Horwood, 1983 ( ISBN 978-0-85312491-7 ) .
(in) FH Jackson, „We q-functions and has some difference operator“, Trans. Roy. Soc. Edin. , let. 46, 1908, str. 253-281.
(en) Thomas Ernst , „ Metoda pro q-počet “ , JNMP , sv. 10, n O 4,2003, str. 487-525 ( číst online ).
(en) Victor Kac a Pokman Cheung, kvantový kalkul , Springer,2002( číst online ) , kapitola 1
(in) George Pólya a Gábor Szegő , Problémy a věty v analýze , sv. Já, Springer ,1997( 1 st ed. 1972) ( číst čára ) , str. 11. Ve spodní části této stránky 11 je napsáno: „ Srov. CF Gauss: Summatio quarundam serierum singularium, Opera, sv. 2, zejména str. 16–17 . "
Srov. Například (in) Eric W. Weisstein , „ q -binomiální koeficient “ , na MathWorld nebo (in) „Umbral calculus“ , v Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , číst online ).

Podívejte se také

Související článek

q - odvozeno (v)

externí odkazy

(en) Eric W. Weisstein , „ q -analog “ , na MathWorld
(en) Eric W. Weisstein , „ q- bracket “ , na MathWorld
( fr ) Eric W. Weisstein , „ q -factorial “ , na MathWorld