V matematice jsou reprezentace symetrické skupiny příkladem aplikace teorie reprezentací konečné skupiny . Analýza těchto reprezentací je ilustrací konceptů, jako je věta Maschke , postavy , pravidelné reprezentace , indukované reprezentace a Frobeniova vzájemnost .
Historie reprezentací symetrické skupiny a přidružené alternující skupiny hraje pro teorii znaků zvláštní roli.Dubna 1896je obecně považován za měsíc narození této teorie. Inspirován intenzivní korespondencí s Dedekindem, který vypočítal reprezentace S 3 a skupiny čtveřic , Frobenius analyzuje reprezentace skupin S 4 a S 5 a představuje základy, které rozvíjí v následujících letech.
Pokud se metody liší od těch, které se nyní používají - Frobenius skutečně přijímá jako základní nástroj Dedekindovu představu o determinantech skupin (en), které se nyní nepoužívají - jsou nastíněny základy teorie. Roste rychle; Heinrich Maschke demonstruje teorém, který nyní nese jeho jméno, o tři roky později. V roce 1911 , William Burnside zveřejnila druhé vydání dosud referenční knihy obsahující všechny techniky používané v tomto článku.
Tyto reprezentace příslušníky konečné grupy G (na komplexní vektorový prostor konečných rozměrů ) mají vlastnost, která značně zjednodušuje jejich analýzu, jsou všechny přímé sumy z ireducibilních reprezentací. Navíc tento rozklad reprezentace je „číst“ na jeho charakter, což je aplikace, se sdružovat s jakoukoli část G stopové jeho obrazu reprezentace. Vskutku :
Celkem :
Nakonec jsou neredukovatelné reprezentace všechny izomorfní s pravidelnými reprezentacemi symetrické skupiny v podprostoru její algebry .
V konkrétním případě symetrické skupiny S n existuje několik metod umožňujících konstrukci neredukovatelných reprezentací. Jeden z nich bijectively sdružuje každý ireducibilní zobrazení s Youngův polem z n prvků.
Youngovo pole se získá dělením celých čísel od 1 do n do řad se snižující se délkou. Tyto řádky vyplňujeme celými čísly od 1 do n v pořadí. To odpovídá provedení oddílu celého čísla n , přičemž si všimneme jeho rozkladu v sestupné formě. Následující tabulka tedy odpovídá oddílu celého čísla 10 ve tvaru 5 + 4 + 1. Bude označena ve tvaru [[1, 2, 3, 4, 5], [6, 7, 8, 9 ], [10]]. To také odpovídá volbě třídy konjugace v symetrické skupině S 10 vytvořené z permutací, které mají pro délku cyklu 5, 4 a 1. Ve skutečnosti jsou dvě permutace konjugovány právě tehdy, když jejich cykly s disjunktními podpěrami mají stejnou délku .
Jelikož existuje tolik neredukovatelných reprezentací S n, kolik je konjugačních tříd, a tolik konjugačních tříd, kolik existuje Youngových polí délky n , existuje tolik neredukovatelných reprezentací jako Youngových polí. Korespondence je následující:
Dáme si Youngovu řadu délky n . Nachází se v algebře skupině a s ohledem na pravidelné zastoupení v S n , které v každém permutace s přidružené endomorfismů . Spojujeme se s Youngovým stolem:
Pak ukážeme, že:
Nakonec ukážeme, že neredukovatelné reprezentace spojené s různými Youngovými tabulkami nejsou ekvivalentní . Získáme tak všechny neredukovatelné reprezentace symetrické skupiny S n .
Pro jakékoli celé číslo n větší nebo rovné 2 máme čtyři neredukovatelné reprezentace S n, které lze snadno popsat:
Je spojena s Youngovým polem tvořeným jediným řádkem [[1, 2, 3, ..., n ]]. V tom případě, :
Je spojena s tabulkou Young tvořenou jediným sloupcem [[1], [2], [3], ..., [ n ]]. V tom případě, :
Je spojena s Youngovým polem [[1, 2, ..., n -1], [ n ]]. Jsme zjistit, že se jedná o znázornění stupně n - 1, k t v přirozeném akčním p o S n na . Přesněji řečeno, tím, že poznamená ( e i ), pro i měnící se od 1 do n je kanonický základ z :
Obraz S n v reprezentaci φ 1 lze vidět jako skupinu izometrií opouštějících globálně invariantní obyčejný simplex v euklidovském prostoru dimenze n , skupina permutující vrcholy tohoto simplexu.
Je to součin φ 1 podpisem σ, rovněž stupně n –1. Je spojena s Youngovým polem [[1, 2], [3], ..., [ n ]]. Obecně platí, že když je neredukovatelná reprezentace přidružena k Youngově tabulce, produktem této reprezentace podpisem je neredukovatelná reprezentace spojená s Youngovou tabulkou získaná obrácením rolí řádků a sloupců v tabulce Youngovy iniciály.
Existují tři Youngova pole se 3 prvky, a to [[1, 2, 3]], [[1, 2], [3]] a [[1], [2], [3]]. Existují tedy tři neredukovatelné reprezentace skupiny S 3 .
Můžeme také říci, že existují tři třídy konjugací, a to: 1 (identita), ( ab ) (transpozice), ( abc ) ( 3-cyklus ).
Tyto čtyři výše uvedené reprezentace výfuku seznam tří ireducibilních reprezentací S 3 a φ 2 je nezbytně ekvivalentní k cp 1 .
Dvě reprezentace t (triviální) a σ (podpis) jsou stupně 1, takže znak se rovná reprezentaci; obrázek tří výše uvedených tříd je (1, 1, 1) pro t a (1, –1, 1) pro σ.
Charakter φ 1 , aplikovaný na permutaci s , se získá odečtením 1 od počtu pevných bodů s .
Tabulka nesnížitelných znaků (v) z S 3 je tedy:
Protože. irr. | 1 | ( ab ) | ( abc ) |
---|---|---|---|
t | 1 | 1 | 1 |
σ | 1 | –1 | 1 |
φ 1 | 2 | 0 | –1 |
Můžeme najít komplexní reprezentaci φ 1 ( rozšířením skalárů ) ze skutečné reprezentace, která realizuje S 3 jako dihedrální skupinu D 3 izometrií rovnostranného trojúhelníku: identita je stopy 2, tři axiální symetrie jsou nulová stopa a dvě rotace úhlů ± 2π / 3 mají pro stopu –1.
Neredukovatelné vyjádření φ 2 , součin φ 1 skalární funkcí σ, má pro znak součin σ znaku φ 1 . Na této tabulce lze tedy ověřit rovnocennost φ 1 a φ 2 .
Můžeme také ověřit, že tyto tři znaky skutečně tvoří ortonormální rodinu (zejména mají normu 1, která potvrzuje jejich neredukovatelnost), že stupně asociovaných reprezentací jsou děliteli pořadí skupiny a že pravidelné reprezentace , jehož znak je (6, 0, 0), obsahuje tolik kopií dané neredukovatelné reprezentace jako stupeň této neredukovatelné reprezentace: (6, 0, 0) = (1, 1, 1) + (1, –1 , 1) +2 (2, 0, –1).
Všimli jsme si navíc, že všechny hodnoty tabulky jsou celá čísla (proto jsou všechny znaky skupiny s celými hodnotami). Je to obecná vlastnost symetrických skupin.
Existuje pět Youngových polí délky 4, jmenovitě [[1, 2, 3, 4]], [[1, 2, 3], [4]], [[1, 2], [3, 4]], [[1, 2], [3], [4]] a [[1], [2], [3], [4]]. Existuje tedy pět neredukovatelných reprezentací skupiny S 4 , z nichž čtyři již byla uvedena výše . Toto je triviální reprezentace t , reprezentace σ odpovídající podpisu , dvě reprezentace φ 1 a φ 2 , které jsou stupně 3, a reprezentace θ spojená s Youngovou tabulkou [[1, 2], [3, 4] ] který se ukáže jako stupeň 2. Každé vyjádření je získáno z jiného tenzorovým součinem se znázorněním odpovídajícím podpisu. Touto operací dává θ opět reprezentaci ekvivalentní sobě samému.
φ 1 odpovídá izometriím opouštějícím čtyřstěnný invariant , φ 2 odpovídá lineárním rotacím opouštějícím krychli invariant.
V případě S 4 může mít rozklad permutace na disjunktní cykly tvar: 1, ( ab ), ( abc ), ( ab ) ( cd ) (produkt dvou disjunktních transpozic) nebo ( abcd ) (4 -cyklus). 24 prvků skupiny je proto rozděleno do pěti tříd konjugace, které vždy vezmeme v následujícím libovolném pořadí:
Rozklad | 1 | ( ab ) | ( abc ) | ( ab ) ( cd ) | ( abcd ) |
---|---|---|---|---|---|
Kardinál třídy | 1 | 6 | 8 | 3 | 6 |
Výpočet znaků t , σ, φ 1 a φ 2 (stejnou metodou jako pro S 3 ) zde dává: (1, 1, 1, 1, 1), (1, –1, 1, 1, - 1), (3, 1, 0, –1, –1) a (3, –1, 0, –1, 1).
Čtyři již neredukovatelné reprezentace již mají odlišné znaky, a proto nejsou ekvivalentní. Tuto ortonormální rodinu doplňujeme jedinečnou centrální funkcí normy 1, která je vůči nim kolmá a jejíž hodnota na 1 je kladná: (2, 0, –1, 2, 0). Jedná se o charakter páté neredukovatelné reprezentace, θ, která má tedy stupeň 2. (Jak se dalo očekávat, je invariantní součinem podle σ.) Tabulka znaků je konečně:
Protože. irr. | 1 | ( ab ) | ( abc ) | ( ab ) ( cd ) | ( abcd ) |
---|---|---|---|---|---|
t | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
σ | 1 | –1 | 1 | 1 | –1 |
θ | 2 | 0 | –1 | 2 | 0 |
φ 1 | 3 | 1 | 0 | –1 | –1 |
φ 2 | 3 | –1 | 0 | –1 | 1 |
Rozklad znaku pravidelné reprezentace (který mohl být také použit k výpočtu znaku θ) je zde:
(24, 0, 0, 0, 0) = (1, 1, 1, 1, 1) + (1, –1, 1, 1, –1) +2 (2, 0, –1, 2, 0 ) +3 (3, 1, 0, –1, –1) +3 (3, –1, 0, –1, 1).Můžeme určit a interpretovat tři reprezentace φ 1 , φ 2 a θ. Symetrická skupina je generována transpozicemi, proto je nutné určit reprezentace pouze pro ně. Navíc si všimneme, že transpozice (12) , (23) , (34) generují všechny transpozice S 4 , tedy celé skupiny. V následujících odstavcích (kromě φ 2, kde jeden zvolí jiné generátory) jsou vyjádření vyjádřena pouze u těchto tří prvků. Jejich hodnota pro zbytek skupiny se z toho odvozuje podle produktu.
Zvažte standardní reprezentaci φ 1 . Základem nadroviny rovnice x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 je:
Na tomto základě je φ 1 popsán takto:
Obrazy φ 1 permutací S 4 jsou pak ortogonální matice opouštějící globálně invariantní pravidelný čtyřstěn s vrcholy M 1 = (–1, –1, –1), M 2 = (–1,1,1), M 3 = (1, –1,1) a M 4 = (1,1, –1) a permutující tyto čtyři vrcholy.
Transpozice (ab) odpovídají odrazům s ohledem na rovinu prostředníka segmentu [ a , b ], permutace (ab) (cd) na poloviční otáčky osy procházející středy dvou protilehlých stran čtyřstěnu, permutace (abc) ve třetinách otáčení osy procházející invariantním vrcholem a středem protilehlé tváře a permutace (abcd) složené ze čtvrtiny otáčení osy procházející středy dvou protilehlých stran a reflexe s respektem k rovině kolmé k této ose.
Pro získání reprezentace φ 2 stačí vynásobit maticovou reprezentaci φ 1 znakem σ. Lze jej popsat na následujících generátorech:
Rozeznáváme tři rotace opouštějící kostku invariantní , první podél osy x , druhá podél osy y a třetí podél osy z . Obrázek vlevo ilustruje geometrickou interpretaci těchto tří rotací: obraz (1324) je obraz představovaný červenou šipkou, obraz (1234) modrou a obraz (1342) zelenou.
Rotace krychle pak vymění čtyři úhlopříčky krychle nebo ekvivalentně čtyři páry protilehlých vrcholů. Permutace (abcd) (tři generátory nahoře a jejich inverze) odpovídají čtvrtotáčkám os procházejících středy tváří, permutace (ab) (cd) , které jsou jejich čtverci, na poloviční otáčky téhož osy, transpozice (ab) na poloviční otáčky os spojujících středy dvou protilehlých hran a permutace (abc) na třetiny otáček os spojujících dva protilehlé vrcholy.
Můžeme si také představit tuto skupinu rotací, jako je ta v cuboctahedronu , protože se jedná o usměrněnou krychli (in) : středy okrajů krychle se stanou vrcholy cuboctahedronu, osm rohů krychle je vyříznuto a nahrazeno trojúhelníkové plochy a rotace pak vymění čtyři páry protilehlých trojúhelníků.
Vzhledem ke svému charakteru je reprezentace θ stupně 2 a její jádro je zahrnuto v podmnožině H tvořené identitou a třemi involucemi tvaru ( ab ) ( cd ). Toto zahrnutí je ve skutečnosti rovnost, protože v rovině je jedinou lineární involucí stopy 2 identita. Jsme vyvodit, že H je normální podskupina z S, 4, a že θ = θ 2 ∘ y , kde y: S 4 → S 4 / H je kanonický surjekce a θ 2 je znázornění skupiny kvocientu S 4 / H . Nyní je tento podíl izomorfní k S 3 (tento izomorfismus vidíme například realizací S 4 jako skupiny rotací krychle - viz níže - a zvážením jeho působení na tři páry protilehlých ploch). Prostřednictvím této identifikace je tedy θ 2 zcela určeno: jedná se o neredukovatelné vyjádření stupně 2 S 3 . To zcela určuje θ:
Není věrná a každá izometrie trojúhelníku má čtyři předchůdce. Obrázek vpravo ilustruje toto znázornění. Pojmenovali jsme tři vrcholy trojúhelníku pomocí tří štítků 1x2 + 3x4, 2x3 + 1x4 a 1x3 + 2x4. Permutace S 4 působí přímo na číslice každého štítku. Transpozice (12) tedy ponechává vrchol 1x2 + 3x4 invariantní, ale permutuje dva vrcholy 2x3 + 1x4 a 1x3 + 2x4. Můžeme ověřit, že akce této transpozice je totožná s akcí transpozice (34) nebo s kruhovými permutacemi (1324) nebo (1423) . Taková akce skupiny S 4 se používá k řešení rovnic čtvrtého stupně .
Existuje sedm mladých tabulek délky 5. Existuje tedy sedm neredukovatelných reprezentací skupiny S 5 . Kromě triviální reprezentace t , reprezentace σ odpovídající podpisu , jsou dvě reprezentace φ 1 a φ 2 , které jsou stupně 4, jak je uvedeno výše , existují dvě reprezentace stupně 5 a reprezentace stupně 6.
V S 5 jsou třídy konjugace typu: 1, ( ab ), ( ab ) ( cd ), ( abc ), ( abc ) ( de ), ( abcd ) nebo ( abcde ). Počet permutací podle třídy konjugace je uveden v následující tabulce:
Rozklad | 1 | ( ab ) | ( ab ) ( cd ) | ( abc ) | ( abc ) ( de ) | ( abcd ) | ( abcde ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Kardinál třídy | 1 | 10 | 15 | 20 | 20 | 30 | 24 |
Můžeme sestavit tabulku znaků S 5 z obvyklých reprezentací: alternativní čtverec standardní reprezentace poskytuje reprezentaci stupně 6 zvanou θ, která je neredukovatelná (zkontrolujeme ji výpočtem normy jejího charakteru) a zkontrolujeme, že symetrický čtverec standardní reprezentace obsahuje jednou triviální reprezentaci a jednou standardní reprezentaci a že třetí reprezentace, kterou obsahuje, je neredukovatelná (nazýváme ji ψ 1 ). Potom můžeme postavit ψ 2 jako součin ψ 1 a podpisu. Nalezneme následující tabulku:
Protože. irr. | 1 | ( ab ) | ( ab ) ( cd ) | ( abc ) | ( abc ) ( de ) | ( abcd ) | ( abcde ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
t | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
σ | 1 | –1 | 1 | 1 | –1 | –1 | 1 |
φ 1 | 4 | 2 | 0 | 1 | –1 | 0 | –1 |
ψ 1 | 5 | 1 | 1 | –1 | 1 | –1 | 0 |
θ | 6 | 0 | –2 | 0 | 0 | 0 | 1 |
ψ 2 | 5 | –1 | 1 | –1 | –1 | 1 | 0 |
φ 2 | 4 | –2 | 0 | 1 | 1 | 0 | –1 |