Segment (matematika)
V geometrii je úsečka (často zkráceně jako „ úsečka “) část úsečky ohraničená dvěma body , která se nazývá konce úsečky. Segment spojující dva body a je označen nebo a představuje část přímky, která je umístěna „mezi“ body a . Intuitivně segment odpovídá drátu roztaženému mezi dvěma body, přičemž zanedbává tloušťku drátu a deformaci v důsledku jeho hmotnosti.
NA{\ displaystyle \ mathrm {A}}B{\ displaystyle \ mathrm {B}}[NA,B]{\ displaystyle [\ mathrm {A}, \ mathrm {B}]}[NAB]{\ displaystyle [\ mathrm {AB}]}(NAB){\ displaystyle (\ mathrm {AB})}NA{\ displaystyle \ mathrm {A}}B{\ displaystyle \ mathrm {B}}
Formalizace v kontextu afinní geometrie
V rámci afinit geometrie na poli reálných čísel může segment získat přesnou definici:
[NA,B]{\ displaystyle [\ mathrm {A}, \ mathrm {B}]}
Definice - Segment je množina barycenter s kladnými nebo nulovými koeficienty a .
[NA,B]{\ displaystyle [\ mathrm {A}, \ mathrm {B}]}NA{\ displaystyle \ mathrm {A}}B{\ displaystyle \ mathrm {B}}
V této definici předpokládáme, že a jsou prvky stejného afinního prostoru (konečné nebo nekonečné dimenze, který může být také vektorovým prostorem ) na poli reálných čísel.
NA{\ displaystyle \ mathrm {A}}B{\ displaystyle \ mathrm {B}} R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Když se barycentrum nemění, když jsou všechny koeficienty vynásobeny stejnou nenulovou konstantou, okamžitě z této poznámky odvodíme následující prohlášení:
Návrh - Segment je také množinou barycenter obdařených hmotností a opatřených hmotností , když je překročena .
[NA,B]{\ displaystyle [\ mathrm {A}, \ mathrm {B}]}NA{\ displaystyle \ mathrm {A}}1-t{\ displaystyle 1-t}B{\ displaystyle \ mathrm {B}}t{\ displaystyle t}t{\ displaystyle t}[0;1]{\ displaystyle [0 \,; 1]}
Při práci ve vektorovém prostoru poskytuje tato poznámka užitečný popis segmentu , jmenovitě:
[NA,B]{\ displaystyle [\ mathrm {A}, \ mathrm {B}]}
[NA,B]={(1-t)NA+t B ∣ t∈[0;1]}.{\ displaystyle [\ mathrm {A}, \ mathrm {B}] = \ {\, (1-t) \, \ mathrm {A} + t ~ \ mathrm {B} \ \ střední \ t \ v [0 \,; 1] \, \}.}Pokud je afinní prostor topologický a oddělený (ve smyslu Hausdorffa), pak je segment kompaktní , jako obraz kompaktu kontinuální mapou .
[0;1]{\ displaystyle [0 \,; 1]}t↦(1-t)NA+tB{\ displaystyle t \ mapsto (1-t) \; \! \ mathrm {A} + t \, \ mathrm {B}}
Mohli bychom převrátit limity segmentů; tedy je docela přípustné psát například pro . Existuje však nejednoznačnost v případě : pokud jsou segmenty a jsou stejné v afinním smyslu, nejsou jako intervaly, protože je prázdný interval (char ).
[B,NA]{\ displaystyle [\ mathrm {B}, \ mathrm {A}]}[NA,B]{\ displaystyle [\ mathrm {A}, \ mathrm {B}]}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}[1,2]{\ displaystyle [1,2]}[2,1]{\ displaystyle [2,1]}[2;1]{\ displaystyle [2 \,; 1]}2>1{\ displaystyle 2> 1}
Segmenty v euklidovské geometrii
Podle euklidovské geometrie je segment umístěn v euklidovském prostoru - může to být zejména rovina nebo prostor ve třech rozměrech se vzdáleností známou mezi tečkami .
E{\ displaystyle E}
Nechť a jakékoli body z . Segment je pak množina bodů, kde se trojúhelníková nerovnost stává rovností, kterou můžeme napsat:
NA{\ displaystyle \ mathrm {A}}B{\ displaystyle \ mathrm {B}}E{\ displaystyle E}[NA,B]{\ displaystyle [\ mathrm {A}, \ mathrm {B}]}
Návrh - V Euclidean prostoru , .
E{\ displaystyle E}[NA,B]={M∈E∣NAM+MB=NAB}{\ displaystyle [\ mathrm {A}, \ mathrm {B}] = \ {\ mathrm {M} \ v E \, \ mid \, \ mathrm {AM} + \ mathrm {MB} = \ mathrm {AB} \}}
Segmenty v hyperbolické geometrii
V hyperbolické geometrii můžeme stejným způsobem mít stejný intuitivní koncept „segmentu“ mezi a představující část hyperbolické čáry umístěnou „mezi“ těmito dvěma body, umístěnými v hyperbolické rovině (nebo v tomto ohledu v hyperbolickém prostoru jakékoli dimenze).
NA{\ displaystyle \ mathrm {A}}B{\ displaystyle \ mathrm {B}}(NAB){\ displaystyle (\ mathrm {AB})}
Na druhou stranu, když píšeme přesnější definici, nemáme koncept podobný barycentrům a jsme nuceni zvolit jinou cestu. Existuje samozřejmě několik způsobů, jak toho dosáhnout, v závislosti na tom, zda jsme se rozhodli upřednostňovat topologickou strukturu hyperbolického prostoru, jeho strukturu metrického prostoru nebo koncept geodetického . Tady je jeden:
Definice - Pro a dva body hyperbolického prostoru se segment získá připojením a k připojeným komponentám, které jsou v hyperbolickém prostoru relativně kompaktní .
NA{\ displaystyle \ mathrm {A}}B{\ displaystyle \ mathrm {B}}[NA,B]{\ displaystyle [\ mathrm {A}, \ mathrm {B}]}NA{\ displaystyle \ mathrm {A}}B{\ displaystyle \ mathrm {B}}(NAB)∖{NA,B}{\ displaystyle (\ mathrm {AB}) \ setminus \ {\ mathrm {A}, \ mathrm {B} \}}
Metrická charakterizace uvedená výše v euklidovské geometrii je platná také v hyperbolické geometrii.
Segmenty v kontextu uspořádaných množin
Koncept počátečního segmentu
Můžeme definovat počáteční segment , někdy zkráceně jako segment , jako „začátek“ uspořádané množiny. Tato představa je užitečná pro práci s řadovými čísly nebo pro konstrukci pole reálných čísel ℝ a reálné linie doplněné ℝ Dedekindovými řezy, nebo obecněji zcela dokončené (pro relační řád) zcela uspořádané množiny.
Zobecnění v jakémkoli seřazeném poli
V teorii objednávky v definici konvexní množiny nahradíme pojem segmentu pojmem omezeného uzavřeného intervalu . Tato definice je však nekompatibilní s určitým počtem „klasických“ vět o konvexních množinách: například konvexita neznamená spojitost ( ℚ je konvexní, ale není spojena).
Zobecnění v afinním prostoru nad jakýmkoli uspořádaným polem
Můžeme také zobecnit pojem skutečného afinního prostoru na pojem afinního prostoru na jakémkoli uspořádaném poli. V tomto případě je segment je stále sada těžišť z a s pozitivními nebo nulových koeficientů.
[NA,B]{\ displaystyle [\ mathrm {A}, \ mathrm {B}]}NA{\ displaystyle \ mathrm {A}}B{\ displaystyle \ mathrm {B}}
Stejně jako v jakémkoli uspořádaném poli však nemusí platit klasické věty o topologii nebo geometrii: konvexní množina tedy nemusí být nutně spojena (můžeme uvažovat o ℚ n pro jakékoli n ).
Reference
-
Marc Troyanov , kurz geometrie , Lausanne / Paříž, PPUR , kol. "Letáky z EPFL ",2009, 358 s. ( ISBN 978-2-88074-817-3 , číst online ) , s. 5.
-
Dany-Jack Mercier, kurz Geometrie: příprava na Capes a agregace , Publibook ,2005, 498 s. ( ISBN 978-2-7483-0556-2 , číst online ) , s. 41.
-
Claude Delode v geometrii a afinní Euclidean , Dunod, 2002 ( ISBN 2100046438 ) , s. 7 používá tuto definici.
-
Claude Delode, op. cit. uvádí tento návrh ve formě alternativní definice, s. 1. 223 .
-
Toto prohlášení je například k dispozici na webu Homeomath (pro známou euklidovskou rovinu).
-
Toto si vybrali (in) Alan F. Beardon, Geometrie diskrétních skupin , Springer-Verlag , al. " GTM " ( n o 91)2012( 1 st ed. 1983), 340 str. ( ISBN 978-1-4612-1146-4 , číst online ) , s. 135 (uvádí se tam v kontextu geometrie roviny).
-
Toto je věta 7.3.2 z Beardonu 2012 , s. 135.
-
Aviva Szpirglas, Matematika L3 Algebra , Pearson ,2009[ detail vydání ] ( číst online ) , kap. 1 („Sady“), s. 1 9, II.4. Segmenty.
-
nebo částečně, ale v tomto případě budeme dávat přednost dokončení Dedekind - MacNeille ( fr )
-
M. Eytan, „ Konvexita v uspořádaných množinách “, Matematika a humanitní vědy , t. 30,1970, str. 35–42 ( číst online ).
-
Bernard Le Stum, „ Doplňky algebry a geometrie pro agregaci “ ,7. února 2003.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">