Topologický vektorový prostor

V matematice jsou topologické vektorové prostory jednou ze základních struktur funkční analýzy . Jsou to prostory vybavené topologickou strukturou spojenou se strukturou vektorového prostoru se vztahy kompatibility mezi těmito dvěma strukturami.

Nejjednodušší příklady topologických vektorových prostorů jsou normalizované vektorové prostory , mezi nimiž jsou Banachovy prostory , zejména Hilbertovy prostory .

Definice

Topologický vektorový prostor ("evt") je vektorový prostor E na topologickém těle K (obvykle R nebo C opatřený jejich obvyklou topologií) opatřený topologií kompatibilní se strukturou vektorového prostoru , tj. Kontrolou následujících podmínek:

Součet dvou vektorů je spojitá mapa od E × E do E ;
Produkt o skalární vektorem je spojité zobrazení K x E v E .

Kategorie topologických vektorových prostorů na pole topological K je označen TVS K nebo TVect K , kde objekty jsou K- topologické vektorové prostory a morphisms jsou spojité K- lineární mapy.

Vlastnosti

Evt E je zejména topologická skupina (pro přidání). Dedukujeme dvě separační kritéria : E je oddělené právě tehdy, když je uzavřen singleton redukovaný na nulový vektor 0 . Rovněž E je oddělena právě tehdy, když je průsečík sousedství 0 snížen na {0}.
Každý překlad (jakýmkoli vektor E ) je homeomorfismus z E v E :
překladu x je kontinuální, jak je složena ze sestavy aplikací k být spojené ( x , y ), a jeho podobné je překlad - x .
Jakékoli měřítko nenulového poměru je také homeomorfismem E samo o sobě:
měřítkový poměr k je spojitý, složený ze zákona externí aplikací, která má být spojena ( k , y ), a jeho obrácená hodnota je homothety poměru 1 / k .
Každý lineární nanesení evt E v EVT F , která je spojitá v bodě 0 E je stejnoměrně spojitá na E .
V případě evt je adheze F libovolného vektorového podprostoru F vektorovým podprostorem (ve skutečnosti 0 ∈ F ⊂ F a máme F + F ⊂ F + F ⊂ F a pro každé skalární k , k F ⊂ kF ⊂ F ) . (O části A evt E se říká, že je celková v E, pokud je vektorový prostor generovaný A hustý v E. )
V reálném EVT, rukojeť a vnitřek konvexní části jsou konvexní .

Kvocientový prostor

Nechť F je vektorový podprostor evt E , vektorový prostor kvocientu zdědí z topologie kvocientu : ať φ je kanonická projekce E na E / F , podle definice je topologie indukovaná na kvocientu E / F nejjemnější, která dělá φ spojitou. Otevřenými jsou všechny části E / F, jejichž reciproční obraz o φ je otevřený.

Všimněte si, že φ je tedy nejen kontinuální, ale otevřený, to znamená, že obraz V o cp všechny otevřené U z E je otevřená množina E / F .
Ve skutečnosti je φ −1 ( V ) otevřené E , jako spojení množin U + x, když x prochází F , které jsou otevřené (protože obrazy otevřeného U překlady).
E / F se tak stává evt, tj. Jeho kvocient topologie je kompatibilní s jeho strukturou kvocientového vektorového prostoru.
Nechť je W otevřený E / F , ukážme, že množina V = + −1 ( W ) je otevřený E / F × E / F , kde + označuje sčítání v E / F (+ označuje ten v E ). Podle předchozí komentář (a definice topologie produktu ), stačí si přečíst, že V = (φ x φ) ( U ) pro nějaké otevřené U všech E × E . Nejvhodnějším kandidátem je otevřené U = (φ ∘ +) −1 ( W ), které (podle definice struktury vektorového prostoru kvocientu ) se také rovná ( + ∘ (φ × φ)) −1 ( W ) = ( φ × φ) -1 ( V ). Surjektivitou φ tedy máme (φ × φ) ( U ) = V , což uzavírá. Důvod pro externí násobení je analogický.
Topologie I / F je oddělena právě tehdy, je-li F uzavřena.
Ve skutečnosti je nula podprostor z E / F je uzavřen pouze v případě F je uzavřen v E (přechodem na komplementy a definování kvocient topologie).

Sousedství původu

V celé této části, topologická pole K je „hodnotou pole“ (v tom smyslu, opatřené absolutní hodnotě ) č diskrétní (např K = R nebo C ), a E je lze i na K .

Sada absorbentů

Část U z E se říká, že absorpční , jestliže:

\ forall v \ in E \ quad \ existuje \ alpha \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ forall \ lambda \ v K \ quad | \ lambda | \ leq \ alpha \ Rightarrow \ lambda v \ v U.

Kontinuitou na 0 mapy K v E : λ ↦ λ v máme:

Návrh - Jakékoli sousedství původu pohlcuje.

Konverzace je jasně falešná, dokonce i v konečné dimenzi . Nicméně, pro jakýkoli absorpční uzavřenou konvexní části E , sada je hlaveň , takže sousedství 0, pokud E je Barreled prostor , podle definice. Nyní je omezen jakýkoli Banachův prostor nebo obecněji Fréchet nebo indukční limit Fréchetových prostor. Tak : $VS$ ${\ displaystyle C \ cap -C}$

Ve Fréchetově prostoru nebo indukčním limitu Fréchetových prostorů je jakýkoli absorbující uzavřený konvex sousedící s původem.

Můžeme upustit od „uzavřené“ hypotézy v konečné dimenzi, protože jakýkoli neprázdný konvex má stejný relativní vnitřek jako jeho adheze.

Symetrická sada

Část U z E se říká, že je symetrické , pokud:

\ forall v \ in U \ quad -v \ v U.

Vyvážené jádro součásti

Část U z E se říká, že je dáno (nebo v kroužku ), jestliže:

{\ displaystyle \ forall \ lambda \ v K \ quad \ forall v \ v U \ quad | \ lambda | \ leq 1 \ Rightarrow \ lambda v \ v U.}

Vyvážený jádro N na část A z E je spojení vyvážených částí E zahrnuty v A . Jedná se o vyvážený set, protože každé setkání vyvážených setů je vyvážené. Jádro A je největší vyvážený balíček je obsažen v .

Toto jádro N je neprázdné, právě když A obsahuje nulový vektor. V tomto případě N také obsahuje nulový vektor.

Motion - Nechť N Vyvážený jádro části A až E , a v vektor E . Aby v patřilo k N , je nutné a dostačující, aby pro každé skalární λ vyhovující | λ | ≤ 1 musíme lambda V ∈ A .

Ve skutečnosti, v patří do N tehdy a jen tehdy, pokud mezi symetrických částí, které obsahují V , alespoň jeden z nich je zahrnut v A , nebo v případě, že nejmenší z nich, {λ v ; | λ | ≤ 1} je součástí A .

Tvrzení - Vyvážené jádro libovolného sousedství 0 je sousedství 0. Přesněji, jakýkoli otevřený obsah obsahující nulový vektor obsahuje vyvážený otevřený obsah obsahující nulový vektor.

Nechť je otevřený obsahující nulový vektor. Vnější násobení, které je spojité, tedy spojité v bodě , existuje skutečné a otevřené W obsahující nulový vektor, jako například: $Ó$ $(0_ {K}, 0_ {E})$ $\ alfa> 0$

| \ lambda | <\ alpha \; {\ text {and}} \; y \ ve W \ Rightarrow \ lambda y \ v O.

Sada , definovaná takto, je pak vyvážená otevřená sada zahrnutá v : $\ Omega$ $Ó$

\ Omega = \ bigcup _ {{0 <| \ lambda | <\ alpha}} \ lambda W.

Navíc toto spojení není prázdné (a obsahuje 0), protože K není diskrétní.

Podle aplikace, kterou z toho člověk dělá, obvykle používá další omezení topologické struktury prostoru. Níže uvádíme některé konkrétní typy topologických prostorů, které jsou zhruba klasifikovány podle jejich „laskavosti“.

Lokálně konvexní topologické vektorové prostory : v těchto prostorech jakýkoli bod připouští základ konvexních čtvrtí. Technikou známou pod názvem Minkowského funkcionálu můžeme ukázat, že prostor je lokálně konvexní právě tehdy, když jeho topologii lze definovat rodinou polořadovek . Místní konvexita je minimum požadované pro geometrické argumenty, jako je Hahn-Banachova věta .
Barreled spaces : locally convex spaces where everything barrel is a okolia of 0.
Montel míst: zakázaná místa, kde je vše uzavřené a ohraničené je kompaktní .
Bornologické prostory: lokálně konvexní prostory, kde každá vyvážená konvexní část, která pohlcuje ohraničené části, je sousedství 0.
LF mezery (de)
Mezery F ( palce )
Fréchetové prostory
Schwartzovy prostory
Jaderné prostory
Normalizované a polonormované vektorové prostory : lokálně konvexní prostory, kde lze topologii popsat jedinou normou nebo polonormou . V normalizovaných vektorových prostorech je lineární operátor spojitý právě tehdy, pokud je ohraničený.
Banachovy prostory : kompletní normalizované vektorové prostory . Většina funkční analýzy je formulována pro Banachovy prostory.
Reflexní prostory: Banachovy prostory jsou izomorfní se svou dvojitou dvojkou. Důležitým příkladem non reflexivní prostoru je L 1 , jejichž dvojí je L ∞ ale je přísně obsažena v dvojí L ∞ .
Hilbertovy prostory : mají bodový součin ; i když tyto prostory mohou mít nekonečnou dimenzi, platí také většina známých geometrických úvah v konečné dimenzi.
Euklidovské nebo hermitovské prostory : jedná se o Hilbertovy prostory konečné dimenze. Pak existuje jedinečná topologie udělující celku stav normalizovaného vektorového prostoru. Tato konfigurace je studována v článku Topologie konečného dimenzionálního vektorového prostoru .

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z anglického článku Wikipedie s názvem „ Topologický vektorový prostor “ ( viz seznam autorů ) .

Viz pro případ Banachova prostoru: (en) Robert E. Megginson, An Introduction to Banach Space Theory , kol. " GTM " ( n o 183)1998( číst online ) , s. 22nebo (en) Stephen Simons, od Hahna-Banacha k monotónnosti , Springer ,2008, 2 nd ed. ( 1 st ed. , 1998) ( číst on-line ) , str. 61a pro zobecnění na jiné než štíhlé evt samo o sobě: (en) John L. Kelley a Isaac Namioka , Linear Topological Spaces , coll. "GTM" ( n o 36)2013, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1963) ( číst čára ) , str. 104.

Podívejte se také

Bibliografie

N. Bourbaki Základy matematiky , EVT
(en) Alexandre Grothendieck , Topological vector spaces , New York, Gordon and Breach, 1973 ( ISBN 0677300204 )
(en) Gottfried Köthe , Topologické vektorové prostory , sv. Já, New York, Springer , kol. " GMW " ( n o 159)1969
(en) AP Robertson a WJ Robertson , Topologické vektorové prostory , CUP ,1980, 2 nd ed. ( číst online )
(en) Helmut H. Schaefer (de) a Manfred P. Wolff , Topological Vector Spaces , Springer , coll. " GTM " ( n o 3)1970( ISBN 0-387-05380-8 , číst online )
(en) François Trèves , Topological Vector Spaces, Distribuce, and Kernels , Academic Press, 1967 ( ISBN 0486453529 )

Související články

Baire Space • Prehilbertian Space