Jacobi symbol

Symbol Jacobi se používá v matematice v oblasti teorie čísel . Je pojmenován na počest pruského matematika Charlese Gustava Jacoba Jacobiho . Jde o zevšeobecnění symbolu Legendre .

Definice

Symbol Jacobi je definován pro jakékoliv relativní celé číslo a každé liché přirozené celé číslo jako součin Legendrových symbolů, pomocí primární faktorizaci z : pro všechny a všechny liché prvočísla (ne nutně zřetelný), $\ left (\ frac an \ right)$ $na$ $ne$ $ne$ $k \ in \ N$ ${\ displaystyle p_ {1}, \ tečky, p_ {k}}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {\ prod _ {1 \ leq i \ leq k} p_ {i}}} \ right) = \ prod _ {1 \ leq i \ leq k} \ left ( {\ frac {a} {p_ {i}}} \ vpravo)}

Vlastnosti

Nechť jsou kladná lichá a celá čísla libovolná. Tak : ${\ displaystyle m, n}$ $a, b$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {1}} \ right) = 1}$ ;
pokud je prvočíslo, symbol Jacobi je prostě symbolem Legendre; $ne$ $\ left (\ frac an \ right)$
pokud a nejsou nesoudělná , ; $na$ $ne$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = 0}$
pokud a jsou mezi sebou hlavní ; $na$ $ne$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = \ pm 1}$
${\ displaystyle \ left ({\ frac {ab} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) \ left ({\ frac {b} {n}} \ že jo)}$ ;
${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) \ left ({\ frac {a} {m}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {mn}} \ že jo)}$ ;
pokud $a \equiv b ( mod n ),$ pak ; ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {b} {n}} \ right)}$
zobecnění zákona o kvadratické vzájemnosti :
- základní věta , ${\ displaystyle \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {n} {m}} \ right) (- 1) ^ {\ frac {(m-1) (n-1)} {4}}}$
- První doplňková zákon: , ${\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {n-1} {2}}}$
- druhé doplňující zákon: . ${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {n ^ {2} -1} {8}}}$

Zbytky

Obecná tvrzení o kvadratických zbytcích zahrnujících symbol Legendre se nevztahují na symbol Jacobi: pokud pak $a$ není $mod$ $n$ čtverec, ale pokud , $a$ není nutně $mod$ $n$ čtverec . Například: ale $2$ není čtvercový $mod 9$ (ani $mod 3$ ). ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = - 1}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = 1}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {9}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) ^ {2} = (- 1) ^ {2} = 1}$

Poznámky a odkazy

(in) CGJ Jacobi, „ Uber die ihre Anwendung und Kreisteilung auf die Zahlentheorie “ , Bericht Ak. Wiss. Berlín ,1837, str. 127-136.
Viz například:
- (en) Tom M. Apostol , Úvod do teorie analytických čísel , Springer ,1976, str. 188-190 ;
- (en) Kenneth Ireland a Michael Rosen , A Classical Introduction to Modern Number Theory , Springer, coll. " GTM " ( n o 84);1990( číst online ) , s. 56-57 ;
- níže uvedený odkaz na Wikiversity .

Podívejte se také

Kroneckerův symbol (aritmetický) (en)