Centrální symetrie

V geometrii , je centrální symetrie je transformace z afinního prostoru .

Realizuje se z pevného bodu označeného Ω, který se nazývá střed symetrie . To transformuje jakýkoliv bod M do obrazového bodu M ‚tak, že se bod Ω je střed na segment [MM‘].

Pokud jde o vektory , znamená to:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega M '}} = - {\ overrightarrow {\ Omega M}}.}

Jako každá symetrie jde o involuci , to znamená, že pokud použijeme dvakrát , najdeme výchozí bod nebo číslo . Zejména jde o bijekci .

V euklidovské rovině jsou centrální symetrie rotací o půl otáčky.

Vlastnosti centrální symetrie

Vazební majetek

Centrální symetrie je afinní aplikace ; udržuje:

zarovnání (symetrické ze tří zarovnaných bodů jsou zarovnány),
rovnoběžnost (symetrický dvě rovné rovnoběžné jsou rovnoběžné).

Dokonce transformuje jakoukoli přímku na přímku, která je s ní rovnoběžná, protože se jedná o homothety (poměr –1).

Když afinní prostor má euklidovské konstrukce je i afinní isometry (a pohyb v případě, že rozměr prostoru je dvojice a posunutí prevence , pokud je liché); udržuje:

na vzdálenosti ,
že geometrické úhly (symetrické z úhlu je měření ve stejném úhlu), a to i v rovině, přičemž orientované úhly ,
že obvody (symetrie postavy je postava se stejnou obvodu),
že plochy (symetrické z obrázku je postava stejné oblasti).

Příklady

S ohledem na bod Ω,

symetrický Ω je Ω;
symetrický segmentu je segment;
symetrický oblouk z křivky je oblouk stejné délky ;
symetrická přímky d je přímka rovnoběžná s d ;
symetrický kruhu centrum O je kružnice se stejným poloměrem a středem symetrického O .

Komplexy a centrální symetrie

V euklidovské rovině je symetrií středu Ω rotace středu Ω a úhlu $π$ .

V komplexní rovině nechť ω je přípona Ω a z přípona M

Připevnit z ‚ z M‘ je

{\ displaystyle \, z '= {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ pi} (z- \ omega) + \ omega = -z + 2 \ omega.}

Konstrukce symetrie bodu středovou symetrií

Pravítko a kompas

Umístěte bod Ω a bod M odlišně od Ω.
Nakreslete čáru (Ω M ).
Stopové střed kruhu a poloměr Ohmů Ohmů M .
Dva průsečíky mezi kružnicí a přímkou jsou bod M na jedné straně a bod M ' symetrický k M vzhledem k Ω na druhé straně.

Pouze s kompasem

Umístěte bod Ω a bod M odlišně od Ω.
Stopové střed kruhu a poloměr Ohmů Ohmů M .
Nakreslete kružnici se středem M a poloměrem 2 × Ω Μ .
Bod průniku mezi dvěma kruhy je bod M ' souměrné M .

Související články