Desetinná soustava

Desetinný systém je číslo systém pomocí základny deset. V tomto systému mají mocnosti deseti a jejich násobky privilegované zastoupení.

Desetinná čísla

Desetinný systém je široce používán. Tak jsou tvořena například čísla:

Systémy hodnocení

Lidé s desetinnou základnou používají v průběhu let různé techniky, které představují čísla. Zde je několik příkladů.

Číselné systémy, ve kterých číslice představují mocniny deseti, jsou aditivního typu. To je případ egyptského číslování . Příklad: 1506 je zapsáno

Lotus-stylized-1000.svg Hiero obrázek 100.pngHiero obrázek 100.pngHiero obrázek 100.png Hiero obrázek 1.pngHiero obrázek 1.pngHiero obrázek 1.png
Hiero obrázek 100.pngHiero obrázek 100.png Hiero obrázek 1.pngHiero obrázek 1.pngHiero obrázek 1.png

hieroglyfickým písmem (1000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).

Takové systémy číslování jsou také aditivního typu, ale zahrnují pomocný quinární systém. To je případ čísel Attic, Etruscan, Roman a Chuvash . Příklad: 2604 je zapsáno MMDCIIII. v římských číslicích (1000 + 1000 + 500 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1). Římská číslice také zná aditivní a subtraktivní variantu: 2604 se tímto způsobem píše MMDCIV. (1000 + 1000 + 500 + 100 - 1 + 5).

Číselné systémy využívající devět číslic pro jednotky, stejně jako pro desítky, stovky atd. jsou stále aditivního typu. To je případ arménských , abecedních arabských , gotických , řeckých a hebrejských číslic . Příklad: 704 je zapsáno ψδ v iontových řeckých číslicích (700 + 4).

Číselné soustavy, jejichž číslice představují jednotky a mocniny deseti, jsou hybridního typu. To je případ čínských a japonských čísel . Příklad: 41 007 se v japonském systému zapisuje 四万 千七 (4 × 10 000 + 1 000 + 7). Čínský systém také používá nulu k označení prázdných pozic před jednotkami: 41 007, je zapsán 四 萬千 〇 七 v čínských číslicích (4 × 10 000 + 1 000 + 0 + 7).

Číselné systémy, jejichž číslice představují jednotky, jsou pozičního typu . To je případ neabecedních arabských , evropských, většinových indických a mongolských a thajských číselných čísel . Příklad: 8002 je napsáno ๘๐๐๒ v thajských číslicích (8002).

Historický

Základna deset je velmi stará. Vyplývá to z přirozené volby diktované počtem prstů obou rukou. Tyto Proto-Indo-Evropané pravděpodobně počítáno v základním deseti. Byl vyvinut systém desetinných notací:

Všimněte si však použití nedesítkových systémů, jejichž zde uvádíme několik příkladů.

Kombinované základny

Desetinné číslování v kombinaci s pomocnou základnou

Desetinná čísla někdy používají pomocné báze:

Desetinné číslo použité jako pomocný systém

Systémy jednotek

V Číně jsou měření kapacity a hmotnosti zdecimována kolem roku 170 před naším letopočtem. AD . Ve Spojených státech byl měnový systém desítkový v roce 1786. V Evropě byla ve Francii zahájena decimalizace jednotek od 22. srpna 1790, kdy Ludvík XVI. Požádal Académie des Sciences o jmenování komise pro definování jednotek. . Ten obhajuje desetinné dělení.

Výhody a nevýhody

Většina moderních jazyků rozděluje čísla na základní desítku kvůli některé ze svých silných stránek:

Avšak až po zobecnění pozičního zápisu a existenci dělícího algoritmu přizpůsobeného tomuto zápisu jednotky měření postupně ztrácejí své desítkové dílčí násobky - zejména zápis, který zahrnuje 3 faktory, jako je senary, duodecimal a octodecimal.

Když libra ve Francii zahrnovala 20 centů po 12 popíračích (nebo ve Velké Británii 20 šilinků po 12 pencí ), ekonomické subjekty ocenily, že tuto jednotku lze přesně rozdělit 20 různými děliteli (včetně 1 a 240). V roce 1971, navzdory informační technologii, která nyní umožňuje snadno zvládnout heterogenitu nedecimálních vztahů mezi podskupinami, Velká Británie neváhala decimalizovat svoji měnu.

Matematika

Převod na číslo N čísla zapsaného v desítkové soustavě

Chcete-li přejít z čísla v desítkové soustavě na číslo v základně N , můžeme použít následující metodu:

Nechť K je číslo v desítkové základně pro převod na N základnu .

  1. Provedení celého čísla rozdělení K o N . Nechť D je výsledkem tohoto dělení a R zbytek
  2. Pokud D > = N , začněte znovu od 1
  3. V opačném případě je psaní v základním N o K se rovná zřetězení posledního výsledku a všech zbytků počínaje posledním.

Příklad: převod na hexadecimální základnu (základnu šestnáct) čísla 3257 zapsaného v desítkové základně

S vědomím, že 11 (jedenáct) je napsáno B a 12 (dvanáct) je napsáno C, zápis 3257 (tři tisíce dva sta padesát sedm) v hexadecimálním základu je CB9.

Převod na desetinné číslo čísla zapsaného v základně N

Chcete-li přejít z čísla v základně N na číslo v desítkové soustavě, můžeme použít následující metodu:

Nechť K je číslo v základně N, které se má převést.

Pro jakoukoli číslici c hodnosti r v K vypočítáme c × N r . Zastoupení K v základu deset je součtem všech produktů.

Počet r začíná na nule zprava doleva.

Příklad
Číslo „10110“ v základu dva je napsáno v základu deset:

1 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 22 (základní deset)

Příklad
Číslo „14043“ v základu šest je zapsáno v základu deset:

1 × 6 4 + 4 × 6 3 + 0 × 6 2 + 4 × 6 1 + 3 × 6 0 = 2187 (základní deset)

Příklad
Číslo „3FA“ v základní šestnáctce se zapíše do základní desítky:

3 × 16 2 + 15 × 16 1 + 10 × 16 0 = 1018 (základní deset)

Připomenutí: F v základně šestnáct má hodnotu patnáct, A v základně šestnáct má hodnotu deset.

Poznámky a odkazy

  1. Maurice Caveing, Esej o matematických znalostech: V Mezopotámii a starověkém Egyptě , Villeneuve d'Ascq, Presses Univ. Severní,1994, 417  str. ( ISBN  2-85939-415-X ) , str.  243,244.
  2. Walter William Rouse Ball Krátký popis dějin matematiky, Dover Publications, 2001, kapitola I, str.   2 a 4 raná egyptská aritmetika (aritmetika ve staroegyptských dobách), str.  3 raně egyptský matematik , str.  5 egyptská a fenická matematika , str.  6, 7 a 8 časná egyptská geometrie (s odkazem na papyrus Rhind a PI), str.   ( ISBN  1402700539 )
  3. Viz strana 13 v Matematika Egypta, Mezopotámie, Číny, Indie a islámu: zdrojová kniha , Victor J. Katz a Annette Imhausen , Princeton University Press, 2007
  4. Viz strana 118 v Encyklopedický slovník matematiky - EDM 2 , Kiyosi Itô, MIT Press, 2000
  5. Temple 2007 , str.  152-154.
  6. Viz strana 104 ve Starověké a středověké vědě , René Taton, Quadrige PUF, 1966
  7. viz strany 20-21 v historii věd pod vedením Philippe Cotardière Tallandier, 2004 - výňatky: „Na začátku druhé th tisíciletí, kdy klínové písmo je nyní na místě, unikátní digitální systém s'uložena. Toto je systém šedesátkových čísel, to znamená, že je založen na základně šedesáti, a ne na desetinném základu, který je nám známý. "
  8. Viz strany 40–41 v The Technology of Mezopotamia , Graham Faiella, Rosen Publishing, 2006
  9. Viz strana 77 v Princeton společník matematiky upravovat podle Timothy Gowers , červen Barrow-Green a Imre Leader , Princeton University Press, 2008
  10. Viz strany 111–114 v části „První psaní: vynález skriptů jako historie a proces , editoval Stephen D. Houston, Cambridge University Press, 2004
  11. Viz také strana 341 v Abstrakce a reprezentace: eseje o kulturní evoluci myšlení , Peter Damerow, Luwer Academic Publishers, 1996
  12. Viz strana 16 v Fleeting Footsteps - Tracking the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China , Lay Yong Lam & Tian Se Ang, World Scientific Publishing, 2004. Výňatky (týkající se mayské číselné základny): „začalo to jako vigesimální po jednotce 1 až 19, ale poté pokračoval tři sta šedesátá léta a nakonec (na čtyřech místech) sedm tisíc dvě stě) . “

Podívejte se také

Bibliografie

Související články