V geometrii je Wythoffův symbol krátkou notací vytvořenou matematikem Willemem Abrahamem Wythoffem , která pojmenuje pravidelné a polopravidelné mnohostěny pomocí kaleidoskopické konstrukce , která je představuje jako naklonění na povrchu koule , na euklidovské rovině nebo hyperbolické rovině .
Wythoffův symbol dává 3 čísla p, q, ra poziční svislou čáru (|), která odděluje čísla před a za ním. Každé číslo představuje pořadí zrcadel na vrcholu základního trojúhelníku.
Každý symbol představuje jednotný mnohostěn nebo mozaikování , ačkoli stejný mnohostěn / mozaikování může mít různé symboly Wythoff od různých symetrických generátorů. Například normální kostka může být reprezentována 3 | 4 2 se symetrií O h a 2 4 | 2 jako hranatý hranol se dvěma barvami a symetrií D 4h , až 2 2 2 | s 3 barvami a 2h D souměrnosti .
K dispozici je 7 generujících bodů s každou sadou p, q, r: (a některé konkrétní formy)
Všeobecné | Pravý trojúhelník (r = 2) | |||
---|---|---|---|---|
Popis | Wythoffův symbol |
Konfigurační summit (en) | Wythoffův symbol |
Konfigurace summitu |
pravidelné a kvazi pravidelné |
q | pr | (pr) q | q | p 2 | p q |
p | qr | (qr) str | p | q 2 | q str | |
r | pq | (qp) r | 2 | pq | (qp) ² | |
zkrácen (in) a development (en) |
qr | p | q.2p.r.2p | q 2 | p | q.2p. 2p |
pr | q | p.2q.r.2q | p 2 | q | str. 2q. 2q | |
pq | r | 2r.q.2r.p | pq | 2 | 4.q.4.p | |
dokonce i tváře | pqr | | 2r. 2q. 2p | pq 2 | | 4,2q. 2p |
pq (rs) | | 2p. 2q.-2p.-2q | p 2 (rs) | | 2 s. 4. - 2 s. 4/3 | |
změkl | | pqr | 3.r.3.q.3.p | | pk 2 | 3.3.q.3.p |
| pqrs | (4.p.4.q.4.r.4.s) / 2 | - | - |
Existují tři speciální případy:
Písmena p, q, r představují tvar základního trojúhelníku pro symetrii, přesněji každé číslo je počet reflexních zrcadel, která existují v každém vrcholu. Na kouli existují tři hlavní typy symetrií: (3 3 2), (4 3 2), (5 3 2) a nekonečná rodina (p 2 2), pro p = 2, 3, ... libovolná (všechny jednoduché rodiny mají pravý úhel, takže r = 2)
Poloha svislého pruhu v symbolu se používá k označení konkrétních tvarů (poloha kategorie generujícího bodu) v základním trojúhelníku. Bod generátoru může být buď na nebo vedle každého zrcadla, aktivovaný nebo ne. Toto rozlišení generuje 8 (2³) možných tvarů, zanedbává jeden, kde je bod generátoru na všech zrcadlech.
V této notaci jsou zrcadla označena v pořadí odrazu opačného vrcholu. Hodnoty p, q, r jsou uvedeny před pruhem, pokud je aktivní odpovídající zrcadlo.
Symbol nemožného | pqr , což znamená, že bod generátoru je na všech zrcadlech, což je jediné možné, pokud je trojúhelník generován v bodě. Tento neobvyklý symbol je přeřazen tak, aby znamenal něco jiného. Tyto symboly představují případ, kdy jsou aktivní všechna zrcadla, ale liché odražené obrazy jsou ignorovány. Tím se generují výsledky rotační symetrie.
Tento symbol je funkčně podobný obecnějšímu Coxeter-Dynkinovu diagramu, který zobrazuje trojúhelník označený p, q, r na okrajích a kruhy na uzlech, což představuje zrcadla, což znamená, že pokud se bod generátoru dotkl tohoto zrcadla ( diagram Coxeteru -Dynkin je zobrazen jako spojnicový graf, když r = 2, protože neexistují žádné odrazy interagující přes pravý úhel).
K dispozici jsou 4 třídy symetrie odrazů na kouli a 2 pro euklidovskou rovinu a nekonečná rodina pro hyperbolickou rovinu , první:
Sférická vzepětí | Sférické | |||
---|---|---|---|---|
D 2h | D 3h | T d | O h | Já h |
* 222 | * 322 | * 332 | * 432 | * 532 |
(2 2 2) |
(3 2 2) |
(3 3 2) |
(4 3 2) |
(5 3 2) |
Skupiny symetrie výše zahrnují pouze celočíselná řešení na kouli. Seznam Schwarzových trojúhelníků (en) obsahuje racionální čísla a určuje celou sadu řešení jednotných mnohostěnů .
Euklidovské letadlo | Hyperbolický | ||
---|---|---|---|
p4m | p3m | p6m | |
* 442 | * 333 | * 632 | * 732 |
(4 4 2) |
(3 3 3) |
(6 3 2) |
(7 3 2) |
Ve výše uvedených vrstvách je každý trojúhelník základní doménou , barvenou sudými a lichými odrazy.
Níže je uveden výběr obkladů vytvořených konstrukcí Wythoff.
(strana 2) | Základní trojúhelník |
Rodič | Zkráceno | Opraveno | Bitronqué | Přesměrované (duální) |
Zkosený | Omnitronque ( zkosený ) |
Změkčeno |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Wythoffův symbol | q | p 2 | 2 q | p | 2 | pq | 2 p | q | p | q 2 | pq | 2 | pq 2 | | | pk 2 | |
Schläfliho symbol | t 0 {p, q} | t 0,1 {p, q} | t 1 {p, q} | t 1,2 {p, q} | t 2 {p, q} | t 0,2 {p, q} | t 0,1,2 {p, q} | s {p, q} | |
Coxeter-Dynkinův diagram | |||||||||
Horní část obrázku (palce) | p q | (q.2p.2p) | (pqpq) | (str. 2q. 2q) | q str | (str.4.q.4) | (4,2p. 2q) | (3.3.p.3.q) | |
Čtyřboká (3 3 2) |
{3.3} |
(3.6.6) |
(3.3a.3.3a) |
(3.6.6) |
{3.3} |
(3a.4.3b.4) |
(4.6a.6b) |
(3.3.3a.3.3b) |
|
Octahedral (4 3 2) |
{4.3} |
(3.8.8) |
(3.4.3.4) |
(4.6.6) |
{3,4} |
(3.4.4a.4) |
(4.6.8) |
(3.3.3a.3.4) |
|
Icosahedral (5 3 2) |
{5.3} |
(3.10.10) |
(3.5.3.5) |
(5.6.6) |
{3.5} |
(3.4.5.4) |
(4.6.10) |
(3.3.3a.3.5) |
Je uveden reprezentativní hyperbolický obklad, který je zobrazen jako projekce Poincarého disku .
(strana 2) | Základní trojúhelník |
Rodič | Zkráceno | Opraveno | Bitronqué | Přesměrované (duální) |
Zkosený | Omnitronque ( zkosený ) |
Změkčeno |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Wythoffův symbol | q | p 2 | 2 q | p | 2 | pq | 2 p | q | p | q 2 | pq | 2 | pq 2 | | | pk 2 | |
Schläfliho symbol | t 0 {p, q} | t 0,1 {p, q} | t 1 {p, q} | t 1,2 {p, q} | t 2 {p, q} | t 0,2 {p, q} | t 0,1,2 {p, q} | s {p, q} | |
Coxeter-Dynkinův diagram | |||||||||
Horní část obrázku (palce) | p q | (q.2p.2p) | (pqpq) | (str. 2q. 2q) | q str | (str.4.q.4) | (4,2p. 2q) | (3.3.p.3.q) | |
Čtvercová dlažba (4 4 2) |
{4.4} |
4.8.8 |
4.4a.4.4a |
4.8.8 |
{4.4} |
4.4a.4b.4a |
4.8.8 |
3.3.4a. 3.4b |
|
(Hyperbolická rovina) (5 4 2) |
{5.4} |
4.10.10 |
4.5.4.5 |
5.8.8 |
{4.5} |
4.4.5.4 |
4.8.10 |
3.3.4.3.5 |
|
Šestihranná dlažba (6 3 2) |
{6.3} |
3.12.12 |
3.6.3.6 |
6.6.6 |
{3.6} |
3.4.6.4 |
4.6.12 |
3.3.3.3.6 |
|
(Hyperbolická rovina) (7 3 2) |
{7.3} |
3.14.14 |
3.7.3.7 |
7.6.6 |
{3.7} |
3.4.7.4 |
4.6.14 |
3.3.3.3.7 |
Coxeter-Dynkin diagram je uveden v lineární formě, i když se jedná o trojúhelník, s odtokovou segmentu r spojen s prvním uzlem.
Symbol Wythoff (pqr) |
Základní trojúhelník |
q | pr | rq | p | r | pq | rp | q | p | qr | pq | r | pqr | | | pqr |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Coxeter-Dynkinův diagram | |||||||||
Horní část obrázku (palce) | (pq) r | (r.2p.q.2p) | (pr) q | (q.2r.p.2r) | (qr) str | (q.2r.p.2r) | (r.2q.p.2q) | (3.r.3.q.3.p) | |
Trojúhelníkový (3 3 3) |
(3.3) 3 |
3.6.3.6 |
(3.3) 3 |
3.6.3.6 |
(3.3) 3 |
3.6.3.6 |
6.6.6 |
3.3.3.3.3.3 |
|
Hyperbolický (4 3 3) |
(3.4) ³ |
3.8.3.8 |
(3.4) ³ |
3.6.4.6 |
(3.3) 4 |
3.6.4.6 |
6.6.8 |
3.3.3.3.3.4 |
Obklady jsou zobrazeny jako mnohostěn . Některé z těchto tvarů jsou zdegenerované, dané složenými závorkami vrcholných obrazců (v) , s překrývajícími se hranami nebo vrcholy.
(strana 2) | Základní trojúhelník |
Rodič | Zkráceno | Opraveno | Bitronqué | Přesměrované (duální) |
Zkosený | Omnitronque ( zkosený ) |
Změkčeno |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Wythoffův symbol | q | p 2 | 2 q | p | 2 | pq | 2 p | q | p | q 2 | pq | 2 | pq 2 | | | pk 2 | |
Schläfliho symbol | t 0 {p, q} | t 0,1 {p, q} | t 1 {p, q} | t 1,2 {p, q} | t 2 {p, q} | t 0,2 {p, q} | t 0,1,2 {p, q} | s {p, q} | |
Coxeter-Dynkinův diagram | |||||||||
Horní část obrázku (palce) | p q | (q.2p.2p) | (pqpq) | (str. 2q. 2q) | q str | (str.4.q.4) | (4,2p. 2q) | (3.3.p.3.q) | |
Ikosahedrální (5/2 3 2) |
{3,5 / 2} |
(5 / 2.6.6) |
(3,5 / 2) 2 |
[3.10 / 2.10 / 2] |
{5 / 2.3} |
[3.4.5 / 2.4] |
[4,10 / 2,6] |
(3.3.3.3.5 / 2) |
|
Icosahedral (5 5/2 2) |
{5,5 / 2} |
(5 / 2.10.10) |
(5 / 2,5) 2 |
[5.10 / 2.10 / 2] |
{5 / 2.5} |
(5 / 2.4.5.4) |
[4,10 / 2,10] |
(3.3.5 / 2.3.5) |