Freimanova věta

V matematiky , Freiman věta je kombinatorická výsledek z aditivní teorie čísel v důsledku Gregory Freiman (en) , podle kterého, pro konečné množiny A z celých čísel , je-li součet z A se sebou samým je „ne příliš mnoho tuku“ ve vztahu k A, , pak A je zahrnuto do zobecněné aritmetické progrese, která sama o sobě „není příliš tlustá“.

Státy

Pro jakoukoli konstantu c > 0 existuje přirozené celé číslo n a konstanta c ' taková, že:

pro jakoukoli konečnou množinu A celých čísel, jako je karta ( A + A ) ≤ c karta ( A ), existují celá čísla a , q 1 , ..., q n , l 1 , ..., l n takové, že

A \ podmnožina Q = \ {a + x_1q_1 + \ ldots + x_nq_n ~ | ~ \ forall i = 1, \ ldots, n, ~ 0 \ le x_i <l_i \} \ quad \ text {a} \ quad \ text { karta} (Q) \ le c '\ text {karta} (A).

Jednoduchý poučný případ je následující: vždy máme kartu ( A + A ) ≥ 2 kartu ( A ) - 1, s rovností právě tehdy, když A je aritmetický postup .

Zájem o tuto větu a její zobecnění a aplikace oživil nový důkaz od Imre Z. Ruzsy (en) . V roce 2002 Mei-Chu Chang poskytl nové polynomiální odhady velikosti aritmetických postupů, které se objevují ve větě.

Green a Ruzsa zobecnili teorém pro libovolnou abelianskou skupinu : zde A může být obsažen v součtu zobecněného aritmetického postupu a podskupiny .

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Freimanova věta “ ( viz seznam autorů ) .

(in) Melvyn B. Nathanson , Additive Theory Number: Inverse Problems and Geometry of Sumsets , New York / Berlin / Heidelberg, Springer , al. " GTM " ( n o 165),1996, 293 s. ( ISBN 0-387-94655-1 , číst online ) , s. 252, Zbl. 0859.11003 .
(en) GA Freiman, „ Přidání konečných množin “ , Sov. Matematika. Dokl. , sv. 5,1964, str. 1366-1370- přeloženo z ruštiny v Doklu. Akad. Nauk SSSR , sv. 158, 1964, str. 1038-1041 , Zbl. 0163.29501 .
(en) GA Freiman, Základy teorie přidávání strukturálních sad , AMS , al. "Překlady matematické Monographs" ( n o 37)1973- přeloženo z ruštiny, Kazan Gos. Ped. Inst., 1966, 140 s., Zbl 0203,35305 .
(en) GA Freiman, „Struktura přidání teorie množin“ v dokumentu Jean-Marc Deshouillers Bernard Landreau a Alexander A. Yudin, Struktura teorie přidání množiny , SMF , al. "Hvězdička" ( n o 258)1999, str. 1-33, Zbl 0958.11008 .
Nathanson 1996 , str. 231.
Nathanson 1996 , str. 14-17.
(in) IZ Ruzsa , „ Aritmetické průběhy a počet součtů “ , Období. Matematika. Hungar. , sv. 25, n o 1,1992, str. 105-111 ( DOI 10.1007 / BF02454387 ).
(in) IZ Ruzsa , „ Generalized arithmetical progressions and sumsets “ , Acta Math. Hungar. , sv. 65, n O 4,1994, str. 379-388 ( DOI 10.1007 / BF01876039 ), Zbl 0816.11008 .
(in) Mei-Chu Chang , „ Polynom vázaný na Freimanovu větu “ , vévoda Math. J. , sv. 113, n o 3,2002, str. 399-419 ( DOI 10.1215 / s0012-7094-02-11331-3 , matematické recenze 1909605 ).
(in) Ben Green a Imre Z. Ruzsa, „ Freimanova věta v libovolné abelianské skupině “ , J. London Math. Soc. , sv. 75, n o 1,2007, str. 163-175 ( DOI 10.1112 / jlms / jdl021 , arXiv math / 0505198 ).

Podívejte se také

Související články

Externí odkaz

(en) Hamidouneova Freiman-Kneserova věta pro neabelské skupiny ,12. března 2011Na blogu o Terence Tao