Lie-Kolchinova věta

Lie-Kolchin věta je výsledkem trigonalisabilité z podskupin spojených a rozlišitelných ze skupiny invertible matic GL n ( K ), kde K je algebraicky uzavřené těleso z charakteristického jeden. Názorné dílo, které bylo prokázáno v roce 1948, je odvozeno od jeho autora Ellise Kolchina (en) a podle analogie s Lieovou větou o řešitelných Lieových algebrách (s nulovou charakteristikou), kterou v roce 1876 předvedl Sophus Lie .

Státy

Definice - Říkáme, že část E z M n ( K ) je trigonalizovatelná, pokud existuje základ trigonalizace společný pro všechny prvky E.

Lie-Kolchinova věta - Pro jakékoli algebraicky uzavřené pole K je libovolná řešitelná připojená podskupina GL n ( K ) trigonalizovatelná.

Topologie na GL n ( K ) je tady, implicitně, to Zariski . (Pro K rovná pole ℂ z komplexních čísel , stejný důkaz poskytuje, s obvyklou topologií na GL n (ℂ) - tedy že indukovaná podle topologie vyrobeného na M n (ℂ) ≃ ℂ ( n 2 ) -, který je analogický Výsledek, ale méně silný, protože tato topologie je jemnější, a proto má méně souvisejících.) Tato věta je někdy uvedena s dalším předpokladem (nadbytečný, ale neškodný, protože adheze podskupiny je stále spojena a řešitelná), než je podskupina považována za uzavřenou. v GL n ( K ), tj. je ve skutečnosti lineární algebraická skupina . Tato verze je zvláštním případem Borelovy věty o pevném bodě (en) .

Demonstrace

Důkaz je založen na následujících dvou lemmatech.

První, čistě algebraická, zobecňuje na sadu matic, které dojíždějí za skutečností, že na algebraicky uzavřeném poli nebo dokonce pouze obsahující všechny vlastní hodnoty dané matice je tato matice trigonalizovatelná. (Když je toto pole ℂ, dokážeme stejnou metodou analogické zobecnění přesnějšího výsledku, který v roce 1909 předvedl Schur : změnu základu lze zvolit jednotně .)

Lemma 1 ( Frobenius , 1896) - Nechť K je algebraicky uzavřené pole a G část M n ( K ) tvořená maticemi, které dojíždějí, pak G je trigonalizovatelné.

Důkaz lemma 1

Pokud jsou všechny matice G homothety matice (zejména pokud n = 0), je výsledek pravdivý. Uvažujme indukcí na n , za předpokladu, že pro n > 0, že lemma platí v jakékoli dimenzi striktně menší než n , a dokazujeme to v dimenzi n za předpokladu, že G obsahuje prvek g, který není homothety matice .

Nechť V je správný (nenulový) podprostor g (existují některé, protože K je algebraicky uzavřeno) ad jeho dimenze (která je tedy striktně mezi 0 a n ). Protože všechny prvky G dojíždějí, V je G - stabilní .

V základu K n vytvořeného dokončením základu V má prvek G tvar:

{\ displaystyle g = {\ begin {pmatrix} \ varphi _ {1} (g) & \ psi (g) \\ 0 & \ varphi _ {2} (g) \ end {pmatrix}},}

pro některé aplikace

{\ displaystyle \ varphi _ {1}: G \ až M_ {d} (K), \ quad \ varphi _ {2}: G \ až M_ {nd} (K) \ quad {\ text {a}} \ quad \ psi: G \ až M_ {d, nd} (K)}

kteří kontrolují mimo jiné:

{\ displaystyle \ forall g_ {1}, g_ {2} \ in G \ quad \ varphi _ {1} (g_ {1} g_ {2}) = \ varphi _ {1} (g_ {1}) \ varphi _ {1} (g_ {2}) \ quad {\ text {et}} \ quad \ varphi _ {2} (g_ {1} g_ {2}) = \ varphi _ {2} (g_ {1}) \ varphi _ {2} (g_ {2}).}

Tyto obrazy z $φ 1$ a $φ 2$ jsou proto sady dojíždění matic. Protože d a n - d jsou přísně menší než n , můžeme použít indukční hypotézu, totiž že existuje základ trigonalizace pro $φ 1$ ( G ), v horních trojúhelníkových maticích, a jeden pro $φ 2$ ( G ), a my na závěr zřetězením těchto dvou základen.

Druhé lemma bude použitelné pro související podskupiny G GL n ( K ).

Lemma 2 - odvozená skupina D ( G ) podle kteréhokoliv z připojeného topologické skupiny G je připojen.

Důkaz Lemmy 2

Dovolit být sada přepínačů a . je připojen a je spojitý, proto je připojen. Buď a sada produktů se s . Jedná se o souvislý obraz aplikace, který souvisí tak, jak je. Takže, je příbuzný. Nyní, stejně jako se vším , souvisí. $S$ ${\ displaystyle \ Phi: (M, N) \ v G \ krát G \ mapsto MNM ^ {- 1} N ^ {- 1} \ v S}$ ${\ displaystyle G \ krát G}$ $\ Phi$ ${\ displaystyle \ Phi (G \ krát G) = S}$ ${\ displaystyle m \ geq 1}$ $S_ {m}$ ${\ displaystyle s_ {1} \ tečky s_ {m}}$ ${\ displaystyle _ {i} \ v S}$ ${\ displaystyle (g_ {1}, \ tečky, g_ {m}) \ mapsto g_ {1} \ tečky g_ {m}}$ ${\ displaystyle S ^ {m}}$ $S$ $S_ {m}$ ${\ displaystyle D (G) = \ {Id \} \ pohár \ vlevo (\ pohár _ {m \ geq 1} S_ {m} \ vpravo)}$ ${\ displaystyle Id \ in S_ {m}}$ ${\ displaystyle m \ geq 1}$ $D (G)$

Nakonec přichází důkaz věty.

Důkaz věty

Pokud G je abelian (zejména pokud n = 0), je výsledek pravdivý u Lemmy 1, aniž by předpokládal G připojené. Uvažujme indukcí na n , za předpokladu, že pro n > 0, že věta platí v jakékoli dimenzi striktně menší než n , a dokážeme to v dimenzi n za předpokladu, že G není neabelian.

Nejprve si ukážeme, že K n má netriviální vektorový podprostor G- stabilní, tj. Odlišný od {0} a od K n .
- Poznámka:
  - m třída resolubility G , tj. celé číslo (> 1, protože se předpokládá, že G není neabelovské) tak, že D m - 1 ( G ) je komutativní, ale ne redukovaný na neutrální,
  - H = D m - 1 ( G ),
  - P sada vektorů (nenulová) vlastní současně pro všechny prvky H
  - a pro takový vektor p , χ p ( h ) vlastní číslo spojené s p as prvkem h z H.
- Opravme vektor v v P (existují některé podle lemmatu 1). Podskupina H je normální v G (protože podskupina odvozený od skupiny je charakteristické ) a odvodíme, že pro každý prvek g z G , GV stále patří k P (s χ GV ( h ) = χ v ( g -1 Hg ) pro všechny h v H ).
  Pro pevné h je obraz G mapou g ↦ χ gv ( h ) konečný, protože je zahrnut v sadě vlastních čísel h . Souvisí to také proto, že aplikace je nepřetržitá. Jedná se tedy o singleton, takže podprostor Vect ( Gv ) je vhodný pro h. Konstrukčně je tento podprostor G- stabilní a není redukován na nulový vektor.
- Ukažme absurdně, že se nerovná ani K n . Pokud tomu tak bylo, každý prvek h z H by dilatace. Navíc, protože h patří do D ( G ) (protože m > 1), jeho determinant se rovná 1, proto by jeho poměr homothety - označme ho χ ( h ) - byl n- tým kořenem jednoty. Množina χ ( h ), když h prochází H, by pak byla konečná, ale také spojená (protože H je spojena podle lemmatu 2), tedy redukována na {1}. Tak, H by se snížil na neutrál, což by bylo v rozporu definici m.
Nyní víme, že K n má G- stabilní vektorový podprostor V, jehož dimenze d je striktně mezi 0 a n. Pak na základě K n vytvořeného vyplněním základu V má prvek G tvar: ${\ displaystyle g = {\ begin {pmatrix} \ varphi _ {1} (g) & \ psi (g) \\ 0 & \ varphi _ {2} (g) \ end {pmatrix}}}$ a aplikace ${\ displaystyle \ varphi _ {1}: G \ až GL_ {d} (K), \ quad \ varphi _ {2}: G \ až GL_ {nd} (K)}$ jsou spojité jako projekce a jsou skupinovým morfismem . Nyní je obraz skupiny, kterou lze vyřešit morfismem skupin, rozpustný. Obraz spojeného spojitou spojovanou mapou můžeme, jako v Lemmě 1, použít na závěr indukční hypotézu.

Kolchinova věta

Ve stejném roce předvedl Kolchin následující čistě algebraickou variantu pro podskupiny sestávající pouze z unipotentních matic (en) , tedy formy I n + N , kde N je nilpotentní matice . Podle této věty (platí pro pole, které nemusí být nutně algebraicky uzavřené) je taková skupina automaticky nilpotentní, protože v GL n ( K ) je konjugována s podskupinou nilpotentní skupiny horních trojúhelníkových matic s 1 s na hlavní úhlopříčce . Horní (resp. Dolní) trojúhelníková matice se všemi úhlopříčnými koeficienty rovnými 1 se nazývá horní (resp. Dolní) jednotková trojúhelníková matice.

Kolchin věta - Pro každý komutativní pole K , jakákoliv skupina (a dokonce ani sub -skupina ) LD n ( K ) sestává z unipotentní matic je trigonalisable.

To lze považovat za analogii Engelovy věty o Lieových algebrách.

U levého těla existují částečné výsledky v tomto směru.

Poznámky a odkazy

(in) ER Kolchin , „ Algebraické maticové skupiny a teorie Picard-Vessiotových homogenních lineárních obyčejných diferenciálních rovnic “ , Ann. Matematika , řada 2 E , sv. 49,1948, str. 1-42 ( JSTOR 1969111 , Math Reviews 0024884 )
(en) Tamás Szamuely , Přednášky o lineárních algebraických skupinách ,2011( číst online ), Poznámky 7.2
(in) William C. Waterhouse (in) , Introduction to Affine Group Schemes , Springer , al. " GTM " ( n o 66)1979, 164 s. ( ISBN 978-0-387-90421-4 , číst online ) , s. 74
(in) Robert Steinberg , „We theorems of Lie-Kolchin, Borel, and Lang“ in Hyman Bass , Phyllis J. Cassidy and Jerald Kovacic, (eds.) Contends to Algebra: A Collection of Papers Dedicated to Ellis Kolchin , Academic Stiskněte ,1977( číst online ) , s. 350
(de) G. Frobenius , „ Über vertauschbare Matrizen “ , S'ber. Akad. Wiss. Berlín ,1896, str. 601-614
Jean-Pierre Serre , konečné skupiny: kurzy na ENSJF ,1979, arXiv : math.GR/0503154 , věta 3.10
Definice „horní unitriangular matrice“ v DJS Robinson, kurs teorie skupin , 2 e vydání, Springer, 1996, s. 127. Použití francouzského výrazu „lower unitriangular matrix“ v Jounaidi Abdeljaoued a Henri Lombardi, Matric methods - Introduction to algebraic complexity , Springer, 2003, s. 57, částečně dostupné na Googlu .
Waterhouse 1979 , str. 62
(in) ER Kolchin , „ On Some Concepts in the Theory of Algebraic Groups Matric “ , Ann. Matematika. , 2 nd série, vol. 49, 1948b, s. 774-789 ( číst online )
(in) Katie Gedeon , Simultánní triangulace určitých sad matic ,2012( číst online )
nebo obecněji: součty matic skalární matice a nilpotentní matice: srov. Gedeon 2012 nebo (en) Heydar Radjavi a Peter Rosenthal , Simultánní triangulace , Springer ,2000, 318 s. ( ISBN 978-0-387-98466-7 , číst online ) , s. 79.
Gedeon 2012 to odvodil z věty Jacoba Levitzkiho „Pro každé levé pole K je libovolná poloviční skupina M n ( K ) vytvořená z nilpotentních matic trigonalizovatelná“, demonstroval v (en) Irving Kaplansky , Fields and Rings , UCP ,1995, 2 nd ed. , 206 s. ( ISBN 978-0-226-42451-4 , číst online ) , s. 135. Klasický důkaz Kolchinovy věty ( Kolchin 1948b , Serre 1979 ) používá pouze Burnside-Wedderburnovu větu o neredukovatelných reprezentacích skupin , nebo její zobecnění na poloviční skupiny, demonstroval Serge Lang , Algebre [ detail vydání ], XVII, § 3 vyd. Angličtina 1978 (Důsledek 17.3.4, str. 663, S. Lang, algebry , 3. ročník revidované vydání, Dunod, Paříž, 2004)
Frédéric Paulin , " Na automorphisms volných skupin a povrchových skupin ", Séminaire Bourbaki , n O 1023,červen 2010, arXiv : 1110.0203.pdf , s. 15
(in) Irving Kaplansky , „The Engel-Kolchin theorem revisited“ , v H. Bass, PJ Cassidy a J. Kovacic Příspěvky k algebře: Sbírka příspěvků věnovaná Ellisovi Kolchinovi , Academic Press,1977, str. 233-237
(in) Abraham A. Klein , „ Solventní unipotentní skupiny prvků v kruhu “ , Kanada. Matematika. Býk. , sv. 25,1982, str. 187-190 ( číst online )