Trigonalisation
V lineární algebře , je čtvercová matice s koeficienty v terénu K se říká, že trigonalisable (nebo triangularizable ) na K , pokud je podobný k trojúhelníkové matice T s koeficienty v K , přes průchod matice P také s koeficienty v K :
NA=PTP-1.{\ displaystyle A = PTP ^ {- 1}.}
Trigonaliser (také nazývaný triangulariser ) až K o nalezení takových matric T a P . To je možné (říkáme, že je triangulable) tehdy a jen tehdy, pokud je charakteristický polynom of A je rozdělené na K . Například pokud má A skutečné koeficienty , může být trigonizováno na ℝ právě tehdy, pokud jsou všechny jeho vlastní hodnoty ( komplexní a priori ) skutečné.
V následujícím textu, dáváme celé číslo n > 0 a jmenovat algebry čtvercových matic, aby n s koeficienty v K .
Mne(K.){\ displaystyle \ operatorname {M} _ {n} (K)}
Trojúhelníkové matice
Horní trojúhelníková matice je čtvercová matice, jejíž všechny koeficienty umístěné striktně pod hlavní úhlopříčkou jsou nulové, to znamená matice tvaru
(na1,1⋯⋯na1,ne0⋱⋱na2,ne⋮⋱⋱⋮0⋯0nane,ne).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & \ cdots & \ cdots & a_ {1, n} \\ 0 & \ ddots & \ ddots & a_ {2, n} \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & a_ {n, n} \ end {pmatrix}}.}
Podobně je dolní trojúhelníková matice čtvercová matice, ve které jsou všechny koeficienty umístěné striktně nad úhlopříčkou nulové.
Endomorfismy a trigonalizovatelné matice
- Buď říkáme, že jde o trigonalizovatelnou matici, pokud existuje invertibilní matice a horní trojúhelníková matice, jako například:M∈Mne(K.){\ displaystyle M \ in \ operatorname {M} _ {n} (K)}M{\ displaystyle M} P∈GLne(K.){\ displaystyle P \ in GL_ {n} (K)}T∈Mne(K.){\ displaystyle T \ in \ operatorname {M} _ {n} (K)}
M=PTP-1{\ displaystyle M = PTP ^ {- 1}} (nebo, což je ekvivalent :) .T=P-1MP{\ displaystyle T = P ^ {- 1} MP}To je ekvivalentní říká, že je podobný v k horní trojúhelníkové matice (nebo nižší trojúhelníkovou matici, která je ekvivalentní). Zejména :
M{\ displaystyle M}Mne(K.){\ displaystyle \ operatorname {M} _ {n} (K)}
- libovolná horní trojúhelníková matice je trigonalizovatelná (stačí vybrat, kde je
matice identity dimenze );P=Jáne{\ displaystyle P = I_ {n}}Jáne{\ displaystyle I_ {n}}ne{\ displaystyle n}
- jakákoli diagonalizovatelná matice je tím spíše trigonalizovatelná (protože diagonální matice je konkrétním případem trojúhelníkové matice).
Nechť je - konečný rozměrný vektorový prostor a je endomorphism o . Říkáme, že je trigonalizable endomorphism pokud je základem z ve kterém je matrice je horní trojúhelníková.E{\ displaystyle E}K.{\ displaystyle K}u{\ displaystyle u}E{\ displaystyle E}u{\ displaystyle u}E{\ displaystyle E}u{\ displaystyle u}
Tyto dvě definice jsou spojeny skutečností, že endomorfismus je trigonalizovatelný právě tehdy, je-li jeho matice v alespoň jedné základně trigonalizovatelná; v tomto případě je jeho matice na libovolném základě trigonalizovatelná.E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}
Podmínky trigonalizace
Existuje několik kritérií, která je třeba vědět, zda je matice nebo endomorfismus trigonalizovatelný:
Schurova věta o rozkladu - Jakákoli složitá čtvercová matice je trigonalizovatelná na ortonormální bázi .
Poznámky
-
Příklady viz například lekce o Wikiverzitě .
-
Ukázku najdete například v lekci o Wikiverzitě .
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">