Věta o konečných přírůstcích

V analýze se věta střední hodnota (zkráceně TAF) je jak zobecnění a důsledkem z Rolle věty . U jakékoli funkce odvozitelné od reálné proměnné lze její rychlost nárůstu mezi dvěma hodnotami realizovat jako sklon jedné z tečen k jejímu grafu .

Funkce reálné proměnné se skutečnými hodnotami

Státy

Pro jakoukoli skutečnou funkci reálné proměnné $f : [ a , b ] \to ℝ$ ( $a$ a $b$ reálné takové, že $a <b$ ), se předpokládá, že je spojitá v uzavřeném intervalu $[ a , b ]$ a odvoditelná v otevřeném intervalu $] a , b [$ , existuje skutečné $c$ v $] a , b [$ ověření:

{\ displaystyle {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} = f '(c).}

Graficky věta o konečných přírůstcích naznačuje, že pro každou přímku sečenou ve dvou bodech s diferencovatelnou křivkou existuje mezi těmito dvěma body tečna rovnoběžná se sečenkou.

Věta může být ilustrována následovně: „Pokud vozidlo ujede vzdálenost průměrnou rychlostí 60 km / h , pak jeho měřič (má indikovat s nekonečnou přesností okamžitou rychlost) indikoval alespoň jednou přesnou rychlost 60 km / h . "

Řešení $c$ není obecně jedinečné. Přesněji řečeno, pro diferencovatelné funkce v intervalu $I$ , roztok $C$ je jedinečná pro všechny $<b$ v $I$ tehdy, pokud $f$ je striktně konvexní nebo striktně konkávní na $I$ .

Dva přímé důsledky věty o konečném přírůstku jsou:

souvislost mezi jednotvárnost a znamení derivát ;
věta o „limitu derivace“ (pokud je funkce f , spojitá v a , diferencovatelná s výjimkou snad v a , ale pokud má její derivace konečnou hranici v bodě a , pak f je ve skutečnosti třídy C 1 v a ).

Zobecněná věta o konečném přírůstku

Tato věta platí v případě dvou spojitých funkcí na $[ a , b ]$ a diferencovatelných na $] a , b [$ . Zajišťuje, že existuje reálné číslo $c$ intervalu $] a , b [$ takové, že

{\ displaystyle (f (b) -f (a)) g '(c) = (g (b) -g (a)) f' (c).}

Geometricky to znamená, že každá křivka představující funkci diferencovatelnou od ℝ do ℝ 2 , $t t ( f ( t ), g ( t ))$ , má tečnu rovnoběžnou s jakýmkoli z jejích řetězců.

V případě, že $g '$ nezmizí nad $] a , b [$ , lze rovnost napsat:

{\ displaystyle {\ frac {f (b) -f (a)} {g (b) -g (a)}} = {\ frac {f '(c)} {g' (c)}}.}

V této formě se věta nazývá Cauchyova průměrná věta . Může být použit k prokázání pravidla L'Hôpital .

Poznámka Pokud a =

-\infty

nebo b =

+ \infty

a pokud jsou f a g diferencovatelné na] a , b [a mají konečné limity v a a b , označené f ( a ), f ( b ), g ( a ) a g ( b ), získáme stejnou metodou (nahrazením Rolleho věty upravenou generalizací ) stejný závěr.

Zobecnění na křivky parametrizované v prostoru

Pro každou trojici reálných funkcí spojitě zapnutou a diferencovatelnou zapnutou existuje taková, že determinant je nula. ${\ displaystyle f, g, h}$ $[a, b]$ $] a, b [$ ${\ displaystyle c \ in \ left] a, b \ doprava [}$ ${\ displaystyle \ left \ vert {\ begin {pole} {ccc} f '(c) & f (a) & f (b) \\ g' (c) & g (a) & g (b) \\ h '(c) & h (a) & h (b) \ end {pole}} \ doprava \ vert}$

Pokud se předpokládá , , a , teorém uvádí existenci pro parametrické křivky spojující v tečně (v ), rovnoběžné s rovinou , determinant nula označující kolinearitou vektorů , a . ${\ displaystyle M (t) = (f (t), g (t), h (t))}$ ${\ displaystyle A = M (a)}$ ${\ displaystyle B = M (b)}$ ${\ displaystyle C = M (c)}$ $NA$ $B$ $VS$ $(OAB)$ $\ overrightarrow {OA}$ $\ overrightarrow {OB}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} '(c)}$

Protože bod lze zvolit libovolně, ve skutečnosti uvádí existenci akordu rovnoběžného s danou rovinou procházející skrz a . Na druhou stranu, jak to člověk vidí opačně, zobecnění, které by spočívalo v tom, že existuje tečna rovnoběžná s, je falešné. $Ó$ ${\ displaystyle [CD]}$ $NA$ $B$ $[AB]$

Všimněte si, že tato věta obsahuje zobecněný TAF, který obsahuje TAF, který sám obsahuje Rolleovu větu.

Demonstrace

Postačí použít Rolleovu větu na funkci definovanou, která ověří , stejně jako . $\ varphi$ ${\ displaystyle \ varphi \ left (x \ right) = \ left \ vert {\ begin {pole} {ccc} f (x) & f (a) & f (b) \\ g (x) & g (a ) & g (b) \\ h (x) & h (a) & h (b) \ end {pole}} \ doprava \ vert}$ ${\ displaystyle \ varphi (a) = \ varphi (b) (= 0)}$ ${\ displaystyle \ varphi '\ left (x \ right) = \ left \ vert {\ begin {pole} {ccc} f' (x) & f (a) & f (b) \\ g '(x) & g (a) & g (b) \\ h '(x) & h (a) & h (b) \ end {pole}} \ doprava \ vert}$

Nerovnost konečných přírůstků

Nerovnost konečných přírůstků (IAF):

Nechť f : [ a , b ] → ℝ (s a a b skutečné takové, že a <b ). Ano :

f je spojité přes uzavřený interval [ a , b ];
f je diferencovatelné v otevřeném intervalu] a , b [;
M je reálné číslo takové, že pro jakýkoli prvek x z] a , b [, | f ' ( x ) | ≤ M ;

poté , ${\ displaystyle \ left | {{f (b) -f (a)} \ přes {ba}} \ vpravo | \ leq M}$

vlastnost, kterou lze ilustrovat: „Pokud okamžitá rychlost vozidla nemůže překročit 120 km / h, pak ani jeho průměrná rychlost. "

Za stejných předpokladů je f tedy M- lpschitzian (protože jeho omezení na jakýkoli dílčí interval [ a , b ] stále předpoklady splňuje). Všimněte si, že podle věty o mezích platí tyto předpoklady pro jakoukoli funkci f třídy C 1 na [ a , b ], s . ${\ displaystyle M = \ sup _ {x \ in \ left [a, b \ right]} \ left | f '(x) \ right |}$

Stejným způsobem existuje „zobecněná nerovnost konečných přírůstků“:

Nechť f a g : [ a , b ] → ℝ spojité na [ a , b ] a rozlišitelné na] a , b [, s g ' konstantního znaménka. Pokud J je interval ℝ takový, že pro všechna x z] a , b [, f ' ( x ) ∈ g' ( x ) J pak f ( b ) - f ( a ) ∈ ( g ( b ) - g ( )) J .

Můžeme dokonce přímo dokázat, bez věty o konečných přírůstcích , že tento závěr zůstává pravdivý, pokud diferencovatelnost f a g (a předpoklady f ' ( x ) a g' ( x )) jsou splněny pouze na doplňkovém d spočetná množina .

Věta o konečných přírůstcích a integrace

Integrální verzí TAF je věta o průměru:
Pro každou funkci u se skutečnými hodnotami, spojitou na segmentu [ a , b ] s a < b , existuje reálné c z] a , b [takové, že $u (c) = {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} u (x) ~ \ mathrm {d} x.$
Integrálním analogem zobecněné věty o konečných přírůstcích je zobecněná střední věta:
Pro všechny funkce u a v se skutečnými hodnotami, spojité na segmentu [ a , b ] s a < b , v udržující konstantní znaménko na [ a , b ] existuje reálný c z taková, že $] a, b [$ $u (c) \ int _ {a} ^ {b} v (x) ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {b} u (x) v (x) ~ \ mathrm {d} X.$

Částečné vzájemné

Protože věta o konečných zvýšeních zaručuje, že (pro funkci splňující hypotézy) je jakákoli míra zvýšení odvozeným číslem , přirozenou otázkou je: naopak, je nějaké odvozené číslo mírou nárůstu? $F$

Odpověď je ne. Například (srov. Obrázek naproti), pro funkci není odvozené číslo mírou zvýšení. Ale patologie tohoto případu ( zde je maximální hodnota ) je jedinou překážkou. ${\ displaystyle \ sin: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ sin '\ left (0 \ right) = \ cos \ left (0 \ right) = 1}$ $1$ $f '$

Věta konečných přírůstků má ve skutečnosti následující parciální reciproční („slabý“ reciproční):

Pro jakékoliv funkce diferencovatelné v intervalu, jakýkoliv non extremální hodnota z je zvýšení rychlost . $F$ $f '$ $F$

Jinými slovy: jakákoli tečna ke grafu, jejíž sklon není ani maximální, ani minimální, má sekundu rovnoběžnou s grafem ve dvou bodech. TAF také umožňuje konstatovat, že pokud je hodnota dosažena pouze v bodě , pak jsou dva konce tětivy na obou stranách bodu tečny (reciproční „silný“). $F$ ${\ displaystyle f '(c)}$ ${\ displaystyle f '(c)}$ $vs.$

Výše uvedené „slabé vzájemné“ lze odvodit z následujícího lemmatu, které (připojené k samotné TAF) nám také umožňuje demonstrovat, že jakákoli odvozená funkce splňuje vlastnost mezilehlých hodnot :

Pro jakoukoli funkci, kterou lze v intervalu rozlišit, je jakákoli reálná hodnota striktně mezi dvěma čísly odvozenými z rychlosti nárůstu o .

F

F

F

Dále jen „silný reciproční“ je snadno lokalizován : pro všechny funkce diferencovatelné v intervalu, pokud se nejedná o lokální extrém z a v případě, v sousedství části , je hodnota dosáhne jen pouze , pak je ještě rychlost d ‚zvýšení mezi dvěma body a tak . (O potřebě druhé hypotézy viz obrázek naproti.) $F$ ${\ displaystyle \ lambda = f '(c)}$ $f '$ $vs.$ $\ lambda$ $f '$ $vs.$ $\ lambda$ $F$ $X$ $y$ ${\ displaystyle x <c <y}$

U věty o zobecněných konečných přírůstcích dokazujeme podobné převrácené hodnoty.

Funkce vektorové proměnné se skutečnými hodnotami

Nechť je otevřená množina na normovaný lineární prostor E (například E = ℝ n , který zahrnuje případ E = ℂ identifikované v ℝ 2 ), bod a nenulový vektor E tak, že , a kontinuální funkci zapnuto a rozlišitelné podle vektoru h na . Pak existuje takový $\ Omega$ $X$ $\ Omega$ $h$ $[x, x + h] \ podmnožina \ Omega$ $f: \ Omega \ to \ mathbb {R}$ ${\ displaystyle [x, x + h]}$ ${\ displaystyle] x, x + h [}$ $\ xi \ in] x, x + h [$

{\ displaystyle f (x + h) -f (x) = D_ {h} f (\ xi),}

jednoduchou aplikací věty o konečných přírůstcích na složenou funkci . ${\ displaystyle [0,1] \ to \ mathbb {R}, \; t \ mapsto f (x + th)}$

Funkce s vektorovou hodnotou

Pro takovou funkci neexistuje analogie věty (s rovností ) konečných přírůstků, ani její konkrétní případ, kterým je Rollova věta (srov. § Poznámky k článku o této větě).

Alternativně, když je příjezdový prostor f ℝ n , můžeme použít větu o konečných přírůstcích na každou ze skutečných složek f k funkce f = ( f 1 ,…, f n ), ale c k , které takto konstruujeme (nebo ξ k, jak je uvedeno výše, pokud je proměnná vektorová), nemají důvod být si rovni.

Lze však v tomto rámci stanovit nerovnost konečných přírůstků.

Nerovnost konečných přírůstků

Nechť $<$ $b být$ dva reals, E lokálně konvexní prostory a dvě funkce

f: [a, b] \ to E \ quad {\ text {a}} \ quad g: [a, b] \ to \ mathbb {R}

předpokládá se, že je spojitý na $[ a , b ]$ a diferencovatelný na $] a , b [$ .

Pokud je $g '$ konstantního znaménka, pak pro jakoukoli uzavřenou konvexní podmnožinu A z E takovou

{\ displaystyle \ forall t \ in] a, b [\ quad f '(t) \ v g' (t) A,}

my máme :

{\ Displaystyle f (b) -f (a) \ in (g (b) -g (a)) A.}

Když $g '$ není jen konstantní znaménko, ale nenulové hodnoty, závěr se přeformuluje na:

{\ frac {f (b) -f (a)} {g (b) -g (a)}} \ in \ overline {{\ text {Co}}} \ left (\ left \ {{\ frac { f '(t)} {g' (t)}}, ~ t \ in] a, b [\ right \} \ right),

kde „ $Co$ “ označuje uzavřenou konvexní obálku .

Zejména pokud $g$ ( t ) = t , získáme: f ( b ) - f ( a ) ∈ ( b - a ) Co ({ f ' ( t ), t ∈ [ a , b ]}).

Poznámky.

Tato věta je o to překvapivější, že neexistuje žádná vektorová Rolleova věta , nebo, což se rovná stejné věci, neexistuje rovnost konečných přírůstků, ale pouze nerovnost, jak dokazuje funkce definovaná $f ( t ) = e i t,$ které splňuje $f (0) = f (2π),$ zatímco jeho derivace nezmizí nad $[0, 2π]$ .
Z toho vyplývá, že diferencovatelná funkce, jejíž derivace je nula, může být pouze konstantní.
Je odvozen přímo z jeho protějšku pro funkce se skutečnými hodnotami pomocí Hahn-Banachovy věty nebo její geometrické verze, která je Eidelheitovou větou .
Jeho závěr zůstává platný, se stejným důkazem, za slabších hypotéz:
- stačí, aby f ‚ ( t ) a g‘ ( t ) existují, (a ověření vlastností uvedeno) po dobu t , které patří do komplementu části spočetné množiny ;
- pro f lze kontinuitu a diferencovatelnost brát ve slabém smyslu .

Důsledek

Okamžitě odvodíme následující důsledek (který je také ukázán přímo):

Nechť $<$ $b jsou$ dvě reals, E normalizovaný vektorový prostor a dvě funkce

{\ displaystyle f: \ left [a, b \ right] \ to E \ quad {\ text {and}} \ quad g: [a, b] \ to \ mathbb {R}}

předpokládá se, že je spojitý na $[ a , b ]$ a diferencovatelný na $] a , b [$ .

Ano

{\ displaystyle \ forall t \ in \ left] a, b \ right [\ quad \ | f '(t) \ | \ leq g' (t)}

tak

\ | f (b) -f (a) \ | \ leq g (b) -g (a).

Zejména pokud pro určitou konstantu $M$ (nutně kladnou nebo nulovou) máme

{\ displaystyle \ forall t \ in \ left] a, b \ right [\ quad \ | f '(t) \ | \ leq M}

tak

\ | f (b) -f (a) \ | \ leq M (ba).

Funkce vektorové proměnné s vektorovými hodnotami

Předchozí důsledek umožňuje zvýšit nárůst diferencovatelné funkce, pokud známe zvýšení jejího diferenciálu . Přesněji :

Nechť E a F se dvěma skutečnými normalizované vektorové prostory, U otevřené jedno z E a $F$ : U → F differentiable mapa. Pro jakýkoli segment $[ a , b ]$ zahrnutý v U máme:

\ | f (b) -f (a) \ | _ {F} \ leq \ left (\ sup _ {{x \ in [a, b]}} \ | f \, {'} (x) \ | \ right) \ | ba \ | _ {E}

kde, pro jakýkoli bod $x$ z U , $║ f ' ( x ) ║$ je operátor normou z diferenciálu $f$ v bodě $x$ .

Tento důsledek je okamžitým důsledkem předchozího, aplikovaného na funkci reálné proměnné ${\ displaystyle [0,1] \ až F, \, t \ mapsto f \ left [(1-t) a + tb \ right].}$

Zajímavé je samozřejmě jen to, jestli je $sup,$ který zahrnuje, konečný, tj. Pokud je rozdíl $f$ ohraničen na $[ a , b ]$ . Tato podmínka je zajištěna zejména, pokud $f$ je třídy C 1 v U .

Generalizuje se na jakékoli připojené otevřené U a na jakoukoli funkci, jejíž rozdíl je omezen k . Pokud $d$ $U$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ je dolní mez délek polygonálních čar spojujících $a$ s $b$ a zahrnutých v U , máme

\ | f (b) -f (a) \ | _ {F} \ leq kd_ {U} (a, b).

Polynom na uzavřeném reálném těle

Nechť je skutečným uzavřeným tělem . Pokud tam, jako v , všechny . Tak : $R$ ${\ displaystyle a <b \ v R}$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle] a, b [}$ ${\ displaystyle \ lbrace x \ v R | a <x <b \ rbrace}$

Buď a . Existují například: ${\ displaystyle P \ v R [X]}$ ${\ displaystyle a <b \ v R}$ ${\ displaystyle c \ in] a, b [}$

{\ displaystyle P (b) -P (a) = (ba) P '(c)}

Aplikace v kinematice

V kinematice je vektor rychlosti bodu mobilního bodu tečný k trajektorii tohoto bodu. Ze záznamu pohybu (sled pozic zaznamenaných v konstantních časových intervalech) lze určit směr vektoru rychlosti v bodě i zvážením akordu (M i -1 M i +1 ).

Skutečně, v malém intervalu se sklon tečny mírně mění, takže odhadujeme, že hodnota v M i splňuje teorém o konečných přírůstcích.

Poznámky a odkazy

Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku s názvem „ Nerovnost konečných přírůstků pro funkce s vektorovými hodnotami “ (viz seznam autorů ) .

Důkaz viz například „Věta konečných přírůstků“ na Wikiversity .
Podívejte se na toto opravené cvičení z lekce „Funkce skutečné proměnné“ na Wikiversity .
Důkaz viz například „Nerovnost konečných přírůstků“ na Wikiversity .
(in) Andreas Kriegl a Peter W. Michor (de) , Pohodlné nastavení globální analýzy , AMS ,1997, 618 s. ( ISBN 978-0-8218-0780-4 , číst online ) , s. 10.
(in) Stephen D. Casey a Richard Holzsager, „ Pozitivní deriváty a monotonicita “ , Missouri J. Math. Sci. , sv. 17, n o 3,2005, str. 161-173 ( číst online ).
Důkaz v „Zobecněné konečné nerovnosti přírůstku“ na Wikiversity .
vlastnost redémontrée od (v) Jingcheng Tong a Peter A. Braza, " Opačný teorému střední hodnota " , Amer. Matematika. Měsíčně , sv. 104, n o 10,1997, str. 939-942 ( JSTOR 2974475 )a znovu (jednodušeji) (ne) Cristinel Mortici, „ Snadná konverze věty o střední hodnotě “ , Int. J. Math. Educ. Sci. Tech. , sv. 42, n o 1,2011, str. 89-91 ( číst online ).
Důkaz najdete například na stránce Darbouxovy věty o Wikiverzitě .
Mortici 2011 .
Věta 2.1 (in) Robert H. Martin, Jr. , Nelineární operátory a diferenciální rovnice v Banachových prostorech , John Wiley & Sons ,1976, str. 26Citováno v (en) JM Ayerbe Toledano, T. Domínguez Benavides a G. Lopez Acedo Measures of Noncompactness in Metric Fixed Point Theory , Springer , al. "Operator Theory: Advances and Applications" ( n O 99),1997, 211 str. ( ISBN 978-3-7643-5794-8 , číst online ) , s. 16.
(en) Andreas Kriegl a Peter W. Michor (de) , Pohodlné nastavení globální analýzy , AMS ,1997, 618 s. ( ISBN 978-0-8218-0780-4 , číst online ) , s. 10 : Věta o střední hodnotě .
(en) Jerzy Albrycht (pl) , „ Pravidlo L'Hôpital pro funkce s vektorovou hodnotou “ , Colloquium Mathematicum , sv. 2, n kost 3-4,1951, str. 176-177 ( číst online ) : Cauchyova věta o střední hodnotě .
Sylvie Benzoni-Gavage , Diferenciální počet a diferenciální rovnice: lekce a opravená cvičení , Dunod ,2014, 2 nd ed. ( číst online ) , s. 29-31.
„Věta: Nerovnost konečných přírůstků pro funkce s vektorovou hodnotou“ na Wikiversity .
Přímý důkaz vyžaduje pouze existenci správného derivátu pro funkce $g$ a $f$ : Jacqueline Lelong-Ferrand a Jean-Marie Arnaudiès , Cours de matematics , t. 2: Analýza , Bordas ,1977, str. 132-133. Můžeme navíc pouze předpokládat, že tyto správné deriváty existují (a uspokojují nerovnost) na doplnění spočetné množiny: Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. „ All-in-one Mathematics for License 2 , Dunod ,2014, 2 nd ed. ( číst online ) , s. 602, th. 88.
Benzoni-Gavage 2014 , s. 31.
(in) Jacek Bochnak Michel Coste a Marie-Françoise Roy , „Ordered Fields, Real Closed Fields“ v Real Algebraic Geometry , Springer al. "Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete / A Series of Modern Surveys in Mathematics",1998( ISBN 978-3-662-03718-8 , DOI 10.1007 / 978-3-662-03718-8_2 , číst online ) , s. 7–21

Podívejte se také

Související článek

Univerzální akord věta , která studuje existenci akordu souběžné se základnou, namísto tangenty.

Bibliografie

Joseph-Louis Lagrange , „ Teorie analytických funkcí obsahujících principy diferenciálního počtu, osvobozený od úvah o nekonečně malých nebo mizejících faktorech, limitech nebo fluxiích a redukovaný na algebraickou analýzu konečných veličin“, Journal de l 'École polytechnique , 9 th sekce , t. III , 1797, § 52, s. 1 49
Hélène Gispert-Chambaz, Camille Jordan a základy analýzy , Matematické publikace Orsay, University of Paris-Sud , 1982. Podle tohoto autora ( str. 44 ), první pojednání o analýze představující správnou demonstraci věty o konečné přírůstky (a shodné s moderní prezentací) je Dini , publikované v Itálii v roce 1878.

Externí odkaz

„ Věta konečných přírůstků “ , na uel.unisciel.fr