Dělitelná skupina

V matematiky , a zejména ve skupině teorie , je dělitelné abelian skupina je skupina abelian G tak, aby pro nějaké přirozené číslo n ≥ 1, máme (v aditivní notaci) G = NG. To znamená, že pro jakýkoli prvek x z G a jakékoli přirozené číslo n ≥ 1 existuje alespoň jeden prvek y z G takový, že x = ny. Tuto definici můžeme rozšířit na neabelovské skupiny, přičemž dělitelnou skupinou je skupina, ve které (v multiplikativní notaci) je každý prvek n-tou mocí bez ohledu na přirozené číslo n ≥ 1. Mezi dělitelnými skupinami je však pouze dělitelný abelian Skupiny představují klasickou kapitolu teorie grup a pouze o nich pojednáme v tomto článku.

Příklady

Aditivní skupina ℚ racionálních čísel je dělitelná.
Obecněji je aditivní skupina libovolného vektorového prostoru na poli ℚ dělitelná (získáme tak všechny dělitelné skupiny bez kroucení ).
Libovolný podíl dělitelné skupiny je dělitelný. Zejména ℚ / ℤ je dělitelná.
Pro dané prvočíslo p je p- primární složka ℤ [1 / p ] / ℤ z ℚ / ℤ - také známá ℤ ( p $\infty$ ) - dělitelná. To by znamenalo říci, že skupiny Prüfer jsou dělitelné.
Multiplikativní skupina ℂ * nenulových komplexních čísel je dělitelná, protože komplex má n - té kořeny pro všechna n .

Vlastnosti

Abelianova skupina G je dělitelná právě tehdy, když G = p G pro jakékoli prvočíslo p .
P-primární abelian skupina (jinými slovy abelian p-skupina ) je dělitelná právě tehdy, když G = pG.
Přímý součet rodiny abelian skupin je dělitelné právě tehdy, když každá z těchto skupin je dělitelná.
(Baer, 1940) Pokud f je homomorfismus z abelianské skupiny A do dělitelné abelianské skupiny D, pokud B je abelianská skupina, jejíž A je podskupina, f lze rozšířit na homomorfismus z B do D.
Jakákoli dělitelná podskupina skupiny Abelianů je přímým faktorem . (Je-li podskupina D abelianské skupiny A dělitelná, pak podle předchozí vlastnosti může být homomorfismus identity D na sobě rozšířen na homomorfismus A na D a víme, že z toho vyplývá, že D je a přímý faktor A.)
Jakákoli abelianská skupina může být ponořena do dělitelné abelianské skupiny.
Abelianova skupina je dělitelná právě tehdy, pokud nemá maximální podskupinu .

Věta o struktuře dělitelných abelianských skupin

Struktura dělitelných abelianských skupin je plně popsána následující větou:

Jakákoli dělitelná abelianská skupina je jednoznačně přímým součtem rodiny (konečné nebo nekonečné) skupin, z nichž každá je Prüferova skupina nebo skupina isomorfní k aditivní skupině ℚ racionálních čísel.

Přesněji řečeno, pro jakoukoli dělitelnou abelianskou skupinu $G$ :

{\ Displaystyle G \ simeq T (G) \ oplus (G / T (G)), \ quad G / T (G) \ simeq \ mathbb {Q} ^ {(I)}, \ quad T (G) = \ oplus _ {p} T_ {p} (G), \ quad T_ {p} (G) \ simeq \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty}) ^ {(I_ {p})},}

nebo konečně:

G≃⊕pZ(p∞)(Jáp)⊕Q(Já),{\ displaystyle G \ simeq \ oplus _ {p} \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty}) ^ {(I_ {p})} \ oplus \ mathbb {Q} ^ {(I)},}

{\ displaystyle G \ simeq \ oplus _ {p} \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty}) ^ {(I_ {p})} \ oplus \ mathbb {Q} ^ {(I)},}

kde

T ( G )

je torzní podskupina a

T p ( G )

její primární složky, kardinál

I

je dimenze ℚ-vektorového prostoru, kde

G / T ( G )

je skupina aditiv a kardinál

I p

je rozměr F p -vektorového prostoru, jehož podskupina { g ∈ G | pg = 0} z

T p ( G )

je skupina aditiv.

Jelikož jakákoli podskupina abelianské skupiny konečného typu je sama konečného typu a že ani ℚ, ani žádná Prüferova skupina není konečného typu, vyplývá z toho, že dělitelná abelianská skupina konečného typu je nutně nulová (což lze prokázat příměji).

Snížené abelianské skupiny

Dokazujeme, že jakákoli abelianská skupina G připouští větší dělitelnou podskupinu, to znamená dělitelnou podskupinu, která obsahuje všechny ostatní. Tato podskupina je označena dG. Abelianova skupina G, pro kterou je dG = 0 (jinými slovy abelianská skupina, která má pouze svou nulovou podskupinu jako dělitelnou podskupinu), se říká, že je redukována . Dokazujeme, že jakákoli abelianská skupina G připouští přímý rozklad součtu G = dG ⊕ R, kde R je redukovaná skupina.

Zobecnění

Pojem dělitelné skupiny lze rozšířit na A-moduly , kde A je kruh takového nebo takového typu. Například Bourbaki definuje dělitelný A-modul, přičemž A je integrální kruh , jako A-modul M tak, že pro jakýkoli prvek x z M a jakýkoli nenulový prvek a z A existuje prvek y z M takový, že x = ay. Abelianova skupina je potom dělitelná právě tehdy, když je dělitelná jako Z- modul.
Vlastnost dělitelných skupin uvedená v Baerově teorému (srov. § Vlastnosti ) je ve skutečnosti charakteristická: abelianská skupina D je dělitelná tehdy a jen tehdy, když ji uspokojuje, jinými slovy, pokud je injektivní jako Z -modul (obecněji na hlavní prsten , jsou dělitelné moduly jsou přesně injektivní moduly).

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Divisible group “ ( viz seznam autorů ) .

WR Scott, Group Theory , 1964, reed. Dover 1987, str. 95 definuje dělitelné skupiny, aniž by je považoval za abelianské, ale po této definici jsou všechny dělitelné skupiny, které považuje za abelianské.
Viz například (v) Joseph J. Rotman , Úvod do teorie skupin [ detail vydání ], 4 th ed., 1999 edition, Ex. 10,23, i, s. 324.
Viz například Rotman 1999 , cvičení. 10.23, ii, s. 324.
Viz například Rotman 1999 , příklad 10.7, str. 320.
Demonstrace viz například Rotman 1999 , str. 320-321. JJ Rotman nazývá tuto větu „Injective Property“.
Viz například Rotman 1999 , s. 321.
Demonstraci viz například Rotman 1999 , str. 323.
Viz například Rotman 1999 , cvičení. 10,25, s. 324.
Viz například Rotman 1999 , cvičení. 10.7, ii, s. 318.
Důkaz indukcí na kardinálu n rodiny s konečnými generacemi. Výrok je zřejmý, pokud je tento kardinál nulový. Pokud je dělitelný abelovská skupina G je vytvořen konečný rodiny x 1 , ..., x n , s n ≥ 1, pak G / ⟨x n ⟩ je generován n - 1 prvků, pak tím, že indukční hypotézy o n G / ⟨x n ⟩ je nula, takže G je cyklická. Nemůže to být nekonečně monogenní, protože ℤ není dělitelné. Takže G je hotové. Nechť n je jeho řád. Protože G je dělitelné, G = n G = 0.
Demonstraci viz například Rotman 1999 , str. 322.
N. Bourbaki , Algebra , sv. Já, str. II.197, cvičení 33.
Viz například Rotman 1999 , cvičení. 10,22, s. 324. Pokud má skupina G injektivní vlastnost Baerovy věty, pak pro jakýkoli prvek x z G a pro jakékoli nenulové přirozené číslo n lze jedinečný homomorfismus f z n Z v G, který platí n až x, rozšířit na homomorfismus g od Z do G. Obraz 1 o g je pak prvkem y z G takový, že x = ny. (Mohli jsme také rozšířit na Q homomorfismus Z v G, který platí 1 až x .)