Cevova věta

V matematiky , CEVA věta je věta rovinné geometrie afinní který dává nutnou a postačující podmínkou pro tři linií , procházejících třemi vrcholy jednoho trojúhelníku být paralelní nebo souběžné . Interpretuje se přirozeně v euklidovské geometrii a zobecňuje se v projektivní geometrii .

Za své jméno vděčí italskému matematikovi Giovannimu Cevovi, který několik let poté, co španělský matematik José Zaragoza uvedl a předvedl jeho verzi v De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio v roce 1678. Již však bylo známo, koncem XI -tého století z Yusuf Al-Mu'taman ibn Hud , zeměměřič a King of Zaragoza . On to dokazuje ve své knize dokonalosti ( Kitab al-Istikmal v arabštině : كتاب الإستكمال ), která je známá ve své době a jehož text byl nově objevený v roce 1985.

Euklidovská geometrie

Tato část představuje konkrétní případ Cevovy věty, kde jsou tři linie procházející každým z vrcholů trojúhelníku uvnitř. Výrok je zjednodušený: tyto tři řádky nemohou být rovnoběžné a stačí mluvit o vztazích délek.

Prohlášení o vzdálenostech

Věta - Nechť ABC je trojúhelník, nechme D , E a F tři body odlišné od vrcholů a příslušně k segmentům [ BC ], [ CA ] a [ AB ]. Řádky ( AD ), ( BE ) a ( CF ) jsou souběžné právě tehdy, když

{\ displaystyle {\ frac {DB} {DC}} \ krát {\ frac {EC} {EA}} \ časy {\ frac {FA} {FB}} = 1.}

V Cévienneově sérii trojúhelníku budeme nazývat čáru procházející vrcholem a setkávající se s opačným segmentem. Zde jsou body D , E a F po stranách.

Ukážeme demonstraci zahrnující pouze představy o proporcionalitě délek a ploch, nástroje, které již byly k dispozici v době Euklida .

Demonstrace

Označíme v následující oblasti trojúhelník ABC a vlastnost prokážeme ve dvou krocích. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {ABC}}$

Pokud jsou řádky souběžné v M, pak je součin poměrů roven 1. Protože trojúhelníky MDB a MDC mají stejnou výšku, jsou jejich oblasti úměrné základnám DB a DC . Stejným způsobem pro trojúhelníky ADB a ADC , potom rozdílem pro trojúhelníky MAB a MAC . Získáváme tedy rovnost

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {A}} _ {MAB}} {{\ mathcal {A}} _ {MAC}}} = {\ frac {DB} {DC}}}

Z podobného důvodu máme a

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {A}} _ {MBC}} {{\ mathcal {A}} _ {MBA}}} = {\ frac {EC} {EA}}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {A}} _ {MCA}} {{\ mathcal {A}} _ {MCB}}} = {\ frac {FA} {FB}}}

Součin těchto tří poměrů se skutečně rovná 1. Pokud je součin poměrů 1, pak jsou řádky souběžné Přímky Céviennes, přímky ( AD ) a ( BE ) se protínají v M a přímka ( CM ) protíná [ AB ] v F ' . Podle předchozího uvažování máme

{\ displaystyle {\ frac {DB} {DC}} \ krát {\ frac {EC} {EA}} \ časy {\ frac {F'A} {F'B}} = 1}

Jak to přichází zjednodušením . Teď je tam jen jeden bod na segmentu, který rozděluje ji podle dané zprávy je F . Proto F = F ' a pravá ( CF ), také vyžaduje M .

{\ displaystyle {\ frac {DB} {DC}} \ krát {\ frac {EC} {EA}} \ časy {\ frac {FA} {FB}} = 1}

{\ displaystyle {\ frac {FA} {FB}} = {\ frac {F'A} {F'B}}}

Výrok v trigonometrické formě

Můžeme z Cevovy věty odvodit zákonem sinusů jeho trigonometrickou verzi.

{\ displaystyle {\ frac {\ sin {\ widehat {BAD}}} {\ sin {\ widehat {CAD}}}} \ times {\ frac {\ sin {\ widehat {ACF}}} {\ sin {\ widehat {BCF}}}} \ times {\ frac {\ sin {\ widehat {CBE}}} {\ sin {\ widehat {ABE}}}} = 1.}

Afinní geometrie

Ukazuje se, že Cevova věta (první verze) je výrokem afinní geometrie , tj. Není třeba hovořit o délce, ortogonálnosti nebo úhlu, i když v této souvislosti věta samozřejmě platí tím spíše. Za to musíme opustit délku a vydat prohlášení, pokud jde o poměry algebraických měr . Algebraická míra je v euklidovské geometrii intuitivně délkou se znaménkem, která závisí na libovolné orientaci na dané přímce. Můžeme ale definovat čistě afinním způsobem, aniž bychom hovořili o délce nebo orientaci, přičemž následující algebraický poměr měření pro tři zarovnané body P , Q , R , Q a R se liší od P , a to:

{\ displaystyle {{\ overline {PR}} \ over {\ overline {PQ}}}}

Jde o poměr jediné homotety středu P, která transformuje Q na R , nebo ekvivalentním způsobem, jediného skalárního ověření:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {PR}} = {{\ overline {PR}} \ over {\ overline {PQ}}} \ cdot {\ overrightarrow {PQ}}}

Následující věta je tedy výrokem afinní geometrie.

Věta

Věta - Nechť ABC je trojúhelník, nechme D , E a F tři body odlišné od vrcholů a příslušně k přímkám ( BC ), ( CA ) a ( AB ). Čáry ( AD ), ( BE ) a ( CF ) jsou souběžné nebo paralelní, právě když

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} {\ frac {\ overline {FA}} { \ overline {FB}}} = - 1}

Demonstrace

Existuje mnoho důkazů o Cevově teorému v afinní geometrii. Místo přizpůsobení předchozího důkazu, který by vyžadoval zavedení pojmu algebraické oblasti, použijeme přímo barycentrum a odvoláme se na následující vlastnosti.

Pokud M je barycentrum ${( A , α ); ( B , β )}$ odlišný od A a B, pak . ${\ displaystyle {\ frac {\ overline {MB}} {\ overline {MA}}} = - {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}$
Nechť M je barycentrum ${( A , α ); ( B , p ); ( C , γ )}$ , M není umístěn na [ AB ], [ BC ] nebo [ CA ]. ( AM ) se setkává ( BC ) v D tehdy a jen tehdy . ${\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} = - {\ frac {\ gamma} {\ beta}}}$

Demonstrace probíhá ve třech fázích.

Pokud jsou úsečky ( AD ), ( BE ), ( CF ) rovnoběžné, pak součin tří poměrů je –1 Aplikace Thalesovy věty na jedné straně v trojúhelníku ( CBE ), s ( DA ) rovnoběžně s ( BE ), na druhé straně v trojúhelníku ( BCF ), s ( DA ) rovnoběžně s ( CF ) vede k říci že :

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} = {\ frac {\ overline {BC}} {\ overline {BD}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {FA}} {\ overline {FB}}} = {\ frac {\ overline {CD}} {\ overline {CB}}}}

Poté stačí nahradit, aby se ukázalo, že součin tří poměrů se rovná –1.Pokud jsou řádky souběžné, pak součin tří poměrů je –1 Označíme M průsečík . Není umístěn na [ AB ], ani na [ BC ], ani na [ CA ]. Je to barycentrum

{( A , α ); ( B , p ); ( C , γ )}

. ( AM ) splňuje ( BC ) v D proto .

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} = - {\ frac {\ gamma} {\ beta}}}

Podobným zdůvodněním také získáváme a

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} = - {\ frac {\ alpha} {\ gamma}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {FA}} {\ overline {FB}}} = - {\ frac {\ beta} {\ alpha}}}

Součin těchto tří poměrů se potom rovná –1. Pokud je součin tří poměrů –1, pak jsou čáry rovnoběžné nebo souběžné Pokud jsou tři řádky rovnoběžné, není co dokazovat. V opačném případě jsou minimálně dva sečenlivé, lze bez ztráty obecnosti předpokládat, že se jedná o řádky ( AD ) a ( BE ) sečnující v M, které se nenacházejí na [ AB ], [ BC ] nebo [ CA ] a barycentru

{( A , a ); ( B , p ); ( C , γ )}

. Protože ( AM ) splňuje ( BC ) v D a ( BM ) splňuje ( CA ) v E , můžeme psát a

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} = - {\ frac {\ gamma} {\ beta}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} = - {\ frac {\ alpha} {\ gamma}}}

Konečně máme

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = {\ frac {\ gamma} {\ beta}} \ krát {\ frac {\ alpha} {\ gamma}} = {\ frac {\ overline { DB}} {\ overline {DC}}} \ times {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}}}

Nyní tedy

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} \ times {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} \ times {\ frac {\ overline { FA}} {\ overline {FB}}} = - 1}

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} \ times {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} = - {\ frac {\ overline { FB}} {\ overline {FA}}}}

Tak je zajištěno, že právo ( CM majetek) protíná přímku ( AB ) v F .

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = - {\ frac {\ overline {FB}} {\ overline {FA}}}}

Tyto tři řádky jsou skutečně souběžné v M.

Pozorujeme formální vztah mezi tímto důkazem a tím, že podle oblastí: M je barycentrum bodů A , B a C tím, že jako koeficienty vezmeme oblasti tří trojúhelníků MAB , MBC a MCA prvního důkazu.

Cevova věta a Menelausova věta

Cevova věta úzce souvisí s Menelausovou větou, která dává velmi podobnou podmínku (stejný součin se musí rovnat 1), takže tři body po stranách (jako čáry) trojúhelníku jsou zarovnány.

Konfigurace Ménélaüsovy věty je ve skutečnosti dvojitá s konfigurací Cevovy věty: dualita odpovídá bodu a linii a nabývá svého plného významu v projektivní geometrii , duál trojúhelníku je trojúhelník, jehož vrcholy a vrcholy byly vyměněny. . Dvojité body Céviennes (procházející vrcholy) jsou body na stranách dvojitého trojúhelníku. Podmínka konkurence Céviennes se stává podmínkou vyrovnání těchto bodů.

Na druhou stranu ukážeme Cevovu větu tak, že dvakrát použijeme Menelausovu větu. Toto je jeden z důsledků ekvivalence věty a dále předpokládáme tři souběžné linie. Se stejnými zápisy jako výše použijeme Menelausovu větu na trojúhelníky ABD , přičemž tři body dopadnou na strany F , M a C a na trojúhelník ADC s B , M a E a získáme Cevovu větu kvocientem.

Nakonec přejdeme od Cevovy věty k Menelaüsově větě harmonickým dělením . V trojúhelníku ABC jsou body D , E a F po stranách ( BC ), ( AC ) a ( AB ), takže přímky ( AD ), ( CF ) a ( BE ) jsou souběžné a přímka ( FG ) není rovnoběžný se stranou ( BC ), bod D ' je pak průsečík těchto dvou přímek, to znamená, že D' je na ( BC ) a D ' , F a G jsou zarovnány; pak jsou čtyři body [ D ' , D , B , C ] v harmonickém rozdělení:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} {\ frac {\ overline {FA}} {\ overline {FB}}} & = & - 1 & \ qquad {\ text {(Ceva)}} \\ [3pt] {\ frac {\ overline {D'B}} {\ overline {D'C}}} {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} {\ frac {\ overline {FA}} {\ overline {FB}}} & = & 1 & \ qquad {\ text {(Ménélaüs)}} \\ [3pt] {\ frac {\ overline {D'B}} {\ overline {D'C}}}: {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} & = & - 1 & \ end {zarovnáno}}}$

( AD ) je polární z D ' , pokud jde o ( AB ) a ( AC )

Jedním součinem nebo kvocientem přejdeme ze dvou z těchto výsledků ke třetímu (viz definice harmonického dělení článku pro definici polární a ukázku použité vlastnosti, to je ta, která umožňuje sestrojit polární pomocí harmonické paprsky). Dalším způsobem, jak demonstrovat tuto vlastnost, je všimnout si, že čtyři čáry ( AB ), ( BE ), ( CF ) a ( CA ) jsou strany úplného čtyřúhelníku s vrcholy A , F , M , E , B a C : úhlopříčka [ BC ] je proto rozdělena dvěma úhlopříčkami ( EF ) a ( AM ) podle harmonického dělení.

V projektivní geometrii

V projektivní rovině jsou všechny čáry sečny. Můžeme sestavit projektivní rovinu přidáním přímky, která se nazývá přímka v nekonečnu, k afinní rovině. Řádky afinní roviny stejného směru jsou sečny ve stejném bodě (někdy nazývaném nesprávný bod) na této přímce v nekonečnu. Stává se zbytečné rozlišovat dva případy ve větě. Na druhou stranu, poměry algebraických měr nejsou projektivními pojmy. Můžeme hovořit o křížovém poměru : v konstrukci projektivní roviny dokončené afinní rovinou se křížový poměr [ A , B , C , D ] rovná poměru algebraické míry [ CA ] k [ CB] ] když D je v nekonečnu. Můžeme také dát verzi věty v homogenních souřadnicích, které jsou rozšířením barycentrických souřadnic do projektivní roviny.

Příklady použití

Cevova věta nám umožňuje dokázat mnoho vlastností souběžných linií.

Můžeme to použít na jednoduchý případ, jako je průsečík mediánů . V tomto případě je D středem [ BC ] a tedy BD = DC . Stejně tak pro ostatní body. Všechny poměry zapojené do věty mají hodnotu 1, a tedy i jejich součin, což dokazuje, že mediány trojúhelníku jsou souběžné.
Isogonal spojí a isotomiques jsou dva příklady použití CEVA teorému.
Čáry spojující vrcholy trojúhelníku s body dotyku vepsané kružnice jsou souběžné s bodem Gergonne tohoto trojúhelníku.
Čáry spojující každý vrchol trojúhelníku s bodem kontaktu kružnice vyjmuté ze strany protilehlé k tomuto vrcholu jsou souběžné v bodě Nagel tohoto trojúhelníku.

Poznámky a odkazy

viz odkazy na článek Giovanni Ceva (viz Giovanni Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio )
(in) January Hogendijk , „Al-Mutaman Ibn Hud, král století v Saragosse a skvělý matematik“, v Historia Mathematica , sv. 22, 1995, s. 1-18
(in) JP Hogendijk , „Objev geometrické kompilace z 11. století: Istikmal Mu'taman ibn Yusuf al-Huda, krále Saragossy,“ v Historia Mathematica , sv. 13, 1986, s. 43-52
Tato definice není univerzální, v některých dílech je segmentem a v jiných se Cévienne obecně setkává s linií nesoucí opačnou stranu, viz například Coxeter a Greitzer, první kapitola a glosář.
vztahující se k ploše daného trojúhelníku, použijeme determinant , viz například (en) HSM Coxeter , Úvod do geometrie [ detail vydání ], kapitola o afinní geometrii.

Dodatky

Bibliografie

HSM Coxeter a SL Greitzer Geometry revisited , The mathematical Association of America (1967), francouzský překlad Redécouvrons la géometry , Dunod Paris (1971).
Jean Fresnel, Moderní metody v geometrii , Paříž, Hermann ,1996, 408 s. ( ISBN 2-7056-1437-0 ).
Jean-Denis Eiden, Classical analytical geometry , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-916352-08-4 )
Bruno Ingrao, Affine, Euclidean and Projective Conics , Calvage & Mounet, 2011 ( ISBN 978-2-916352-12-1 )
Yves Ladegaillerie, Geometrie: afinní, projektivní, euklidovská a anallagmatická , Paříž, elipsy ,2003, 515 str. ( ISBN 2-7298-1416-7 ).
Michel Chasles Historický přehled o původu a vývoji metod v geometrii, zejména těch, které se týkají moderní geometrie, Bruxelles Hayez (1837), zejména poznámka VII s. 294 o de linea rectis .. de Ceva, přístupná z knih Google .

Související články

Cévienne
Giovanni Ceva
Symédiane
Menelausova věta
Routhova věta, z nichž Cevu lze považovat za zvláštní případ
Van Aubelova věta