Sinusův zákon

V trigonometrie je sinová věta je vztah úměrnosti mezi délkami těchto stranách trojúhelníka a sinů těchto vzájemně opačných úhlech . Umožňuje, znal dva úhly a jednu stranu, vypočítat délku ostatních stran.

Ve sférické trigonometrii existuje sinusový vzorec podobné prezentace .

Tato práva jsou uvedena a prokázána pro kulovitý tvar, Abu Nasr Mansur na počátku XI th století, do plochého tvaru, Nasir al-rámus Tusi na začátku XIII th století.

Zákon sinusů v rovinné geometrii

Státy

Zvažte libovolný trojúhelník ABC, znázorněný na obr. 1 naproti, kde jsou úhly označeny malými řeckými písmeny a strany naproti úhlům odpovídajícími latinskými malými písmeny:

a = BC a α = úhel tvořený [AB] a [AC];
b = AC a β = úhel tvořený [BA] a [BC];
c = AB a γ = úhel tvořený [CA] a [CB].

Takzvaný sinusový vzorec je pak:

\, {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}

Dokonce máme lepší:

\, {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {abc} {2S}} = 2R

kde R je poloměr kruhu ohraničeného trojúhelníkem ABC a

S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}}

je plocha trojúhelníku dané z poloviny obvodového p o Heron vzorce .

Vztah proporcionality je někdy shrnut takto:

\, a \ ,: \, b \ ,: \, c = \ sin \ alpha \ ,: \, \ sin \ beta \ ,: \, \ sin \ gamma

Věta může být použita

k určení poloměru opsané kružnice
$\, R = {\ frac {a} {2 \ sin \ alpha}}$
k řešení trojúhelníku , který známe dva úhly a jednu stranu.

Demonstrace

Vyjádřením výšky dvěma způsoby

Domníváme se, že trojúhelník stran dobu , b , a c , a a, p, y jeho úhlů ve vrcholech , B , a C, v tomto pořadí. Výška od C dělí trojúhelník ABC na dva pravé trojúhelníky. Označme tuto výšku h ; můžeme použít definici sinusu ve dvou malých pravoúhlých trojúhelnících k vyjádření h :

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {h} {b}} {\ text {et}} \ sin \ beta = {\ frac {h} {a}}.}

Od kterých odvozujeme dva výrazy pro h :

h = b \ sin \ alpha = a \ sin \ beta \,

a tak:

{\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}}.

Stejným postupem s výškou od A získáme:

{\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}.

Výpočtem plochy trojúhelníku

Plochu S trojúhelníku lze vypočítat výběrem strany AB = c jako základny a h jako výšky. Poté získáme:

{\ displaystyle S = {\ frac {c \ krát h} {2}} = {\ frac {c \ krát b \ sin \ alfa} {2}}.}

Vynásobením vynásobíme : ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {S \ sin \ alpha}}}$

{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {abc} {2S}}.}

To také prokazujeme

{\ displaystyle {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {abc} {2S}} \ quad {\ rm {et}} \ quad {\ frac {c} {\ sin \ gamma} } = {\ frac {abc} {2S}}.}

Podle zapsané věty o úhlu

Nahrazením $C$ bodem $D$ diametrálně opačným k $A$ na opsané kružnici zjistíme (obr. 3 a 4):

{\ displaystyle \ sin \ gamma = {\ frac {c} {2R}} \ quad {\ rm {proto}} \ quad {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = 2R.}

Pokud jsou $A$ a $B$ diametrálně odlišné , není tato konstrukce možná, ale rovnost je okamžitá (obr. 5).

To také prokazujeme

{\ displaystyle {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = 2R \ quad {\ rm {et}} \ quad {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = 2R.}

Sinusový vzorec ve sférické trigonometrii

Uvažujme trojúhelník $ABC$ na kouli středu O . Označíme α (respektive β a γ ) úhel trojúhelníku na vrcholu A (respektive B a C ). Označíme pomocí a , b a c úhly podřízené ve středu O koule odpovídající částí velké kružnice. Tak označuje úhel BOC , atd. Samozřejmě jsou délky stran jsou odvozeny z a , b a c vynásobením jejich poloměrem koule.

Sinusový vzorec je pak uveden následovně: ${\ displaystyle {\ frac {\ sin a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {\ sin b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {\ sin c} {\ sin \ gamma}} .}$

Zdůrazňuje dualitu mezi úhly ve středu a úhly ve vrcholech.

Ve vyšších dimenzích

Obecněji řečeno, pro n - simplex (například čtyřstěn ( $n = 3$ ), pentachorus ( $n = 4$ ) atd.; Trojúhelník odpovídá případu n = 2) euklidovského prostoru dimenze n , hodnota absolutní polární sinus množiny vektorů kolmých k plochám kolem vrcholu, děleno plochou tváře naproti tomuto vrcholu, nezávisí na tomto vrcholu a je rovný , kde V je objem simplex a P součin oblastí jeho tváří. ${\ displaystyle {\ frac {(nV) ^ {n-1}} {(n-1)! P}}}$

Poznámky a odkazy

( fr ) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Zákon sinusů “ ( viz seznam autorů ) .

Marie-Thérèse Debarnot, „Trigonometry“ , in Roshdi Rashed (ed.), Histoire des sciences arabe: Mathématiques et physique , t. 2, Prahová hodnota,1997, str. 161-198, str. 173 a 184
R. Bastin, B. Baudelet, S. Bouzette a P. Close, Maths 4 , de Boeck, kol. "Adam",2009( ISBN 978-2-80410143-5 , číst online ) , s. 241-242.
„ Zákon Sines - jednoduchá demonstrace “ , na blogdemaths.wordpress.com ,2011.

Podívejte se také

externí odkazy

(en) Eric W. Weisstein , „ Zákon Sines “ , na MathWorld
(en) Eric W. Weisstein , „ Zobecněný zákon Sines “ , na MathWorld

Související články

Trigonometrie :
- dutiny ;
- trigonometrická funkce ;
- sférická trigonometrie ;
- triangulace .
Geometrie tohoto trojúhelníku :
- zákon kosinů ;
- zákon tečen ;
- rozlišení trojúhelníku .