Sardova věta

Věta Sard , známé také pod názvem z Sard lemma nebo věta Morse-Sard je výsledkem z matematiky , které poskytuje informace o obrazu K všech kritických bodů v závislosti dostatečně pravidelně do jednoho euklidovském prostoru vůči druhému. Sada K je pak pro Lebesgueovu míru zanedbatelná .

Tato věta je jedním ze základních výsledků diferenciální topologie , protože na ní jsou založeny argumenty transverzality nebo genericity  (in) ( obecné poziční studie ).

Státy

Domníváme se, že funkci f definovaný na otevřené U o , s hodnotami v , a třídy . Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}Rm{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}} VSr{\ displaystyle C ^ {r}}

Říkáme kritických bodů body, v nichž rozdíl žádost o f je non-surjektivní a kritické hodnoty obrazy kritických bodů. O nekritických hodnotách se říká, že jsou pravidelné (ať už jde o hodnoty skutečně přijaté f nebo ne).

S těmito notacemi je Sardova věta uvedena následovně.

Sardova věta  -  Pokud , pak je sada kritických hodnot pro Lebesgueovu míru zanedbatelná . r>max(0,ne-m){\ displaystyle r> \ max (0, nm)}

Na druhou stranu může být sada kritických bodů velmi důležitá, například pokud jsou kritické všechny body, ale obrazová sada f bude mít stále nulovou míru. ne<m{\ displaystyle n <m}

To má za následek zejména z věty, že sada pravidelných hodnot je hustá v , což je skutečnost, A. Brown již osvědčil v roce 1935, od této doby jméno Sard (nebo Sard-Brown) věta hustota někdy podávány věty. Rm{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}

Případ m = 1 prokázal Anthony Morse  (v) v roce 1939 a obecný případ Arthur Sard v roce 1942.

Prodloužení v nekonečné dimenzi

Platná verze věty o Banachových prostorů o rozměru nekonečna se ukázalo, že Stephen Smale v roce 1965. Je však třeba vyvinuto několik prvků. Pokud tedy pojem Lebesgueovy míry již v tomto kontextu nemá smysl, je možné místo toho použít formulaci ve smyslu štíhlé nebo comaigerovy množiny . Kromě toho mapa považovat musí být Fredholmova, to znamená, že ve všech bodech, jeho rozdíl je Fredholmova operátor , jehož index bude hrát roli přiřazené k rozdílu nm v SARD teorému. Prohlášení, napsané pod různými potrubími , je následující:

Věta o hustotě Smale  -  Pokud X a Y jsou dvě různá potrubí třídy , X je Lindelöfův prostor a pokud je Fredholmova mapa, také třídy , s pro všechna x , pak je sada regulárních hodnot comaiger (a obzvláště hustá) . VSr{\ displaystyle C ^ {r}}F:X→Y{\ displaystyle f: X \ až Y}VSr{\ displaystyle C ^ {r}}r>max(0,JánedTXF){\ displaystyle r> \ max (0, \ mathrm {Ind} T_ {x} f)}

Poznámky

1. Abraham a Robbin 1967 , 15 s. 37
2. (en) A. Brown, funkční závislost , Trans. Hořký. Matematika. Soc. 38 (1935), 379-394 .
3. „  Věta o Sardovi a Brownovi  “ od Milnora, „  Sardova věta o hustotě  “ od Abrahama-Robbina.
4. (in) AP Morse, Chování funkce je kritická sada prvků , Ann. Matematika. 40 (1939), str. 62-70.
5. (in) A. Sard, Míra kritických hodnot diferencovatelných map , Bull. Hořký. Matematika. Soc. 48 (1942), str. 883-890.
6. viz zejména Abraham a Robbin 1967 , 16 s. 41
7. (in) S. Smale, Nekonečné dimenzionální vydání Sardovy věty , Amer. J. Math. 87 (1965), str. 861-866.

Reference

• (en) John Milnor , Topologie z odlišitelného hlediska [ detail vydání ]
• (en) Ralph Abraham a Joel Robbin  (de) , Příčné mapování a toky ,1967[ detail vydání ]

Související článek

Společný vzorec