Hubená sada
V topologii , v kontextu části Baire prostor , je štíhlý set (nazývaný také první kategorie ) je součástí Baire prostoru, který v technickém slova smyslu, mohou být považovány za malé velikosti. Comaigre sada je komplementární k tenké sestavy. Část, která není tenká, je považována za druhou kategorii .
Definice
Podmnožina topological prostor E je řekl, aby byl hubený, když je obsažena v počitatelné unie z uzavřených částí z E , které jsou všechny vnitřně vyprázdnit .
Jinými slovy, podmnožina E je štíhlá právě tehdy, když je to spočetné sjednocení množin, které v E nikde nejsou husté .
Vlastnosti
Pojem je „bez zájmu“, když okolní prostor E není prostorem Baire . Pokud E není z Baire, štíhlá část se může rovnat celému prostoru. Na druhou stranu, když E je z Baire, definice těchto prostorů okamžitě poskytuje následující charakterizaci:
Součástí prostoru Baire je:
- opřít, když je obsažen v prázdném vnitřku F σ ;
- koma kyselá, když obsahuje hustý G δ .
Z definice také vyplývá, že spočítatelné setkání hubených je hubených. To poskytuje dobře zavedenou metodu dokazování použitou k prokázání, že určitá podmnožina P (neprázdného) prostoru Baire E není prázdná: P popisujeme jako spočetný průnik sekvence množin P n, kterou dokážeme jsou comaigres. Sada P je sama o sobě komická, je hustá v E a tím spíše není prázdná. Mnohem lepší: pokud E je samostatný a ideální ( tj. Bez izolovaných bodu ), P je nespočetná , a pokud E je zcela metrizable perfektní non-prázdný prostor, P i má alespoň sílu kontinua .
Pokud O je otevřený E, pak jakákoli štíhlá část O (pro indukovanou topologii ) je štíhlá v E (protože žádná nikde hustá část O není nikde hustá v E ).
Příklady
- V rámci množiny ℝ reálných čísel, která je úplným metrickým prostorem, a tedy Baireho prostorem, je množina ℚ racionálních čísel štíhlá (je to dokonce štíhlá F σ ), protože ji lze reprezentovat jako spočetné sjednocení singletonů . Na tomto příkladu je třeba poznamenat, že tenká část nemá žádný důvod být nikde hustá v okolním prostoru: zde je naopak hustá v ℝ.
- Dedukujeme, že množina iracionálních ℝ \ ℚ není tenká: pokud by byla, její shledání s ℚ by bylo také tenké; ale rovná se ℝ, což není prázdný vnitřek, tedy ani tenký.
- Sada normálních čísel je štíhlá, „i když“ její doplněk je zanedbatelný .
Reference
-
Laurent Schwartz , Obecná topologie a funkční analýza , Hermann,1970, str. 322-323. Fráze „irelevantní“ je citát z tohoto zdroje; navíc Schwartz definuje pouze pojem „lean set“ v prostoru Baire.
-
(in) James Dugundji , Topology , Boston, Allyn & Bacon ,1966, 447 s. ( ISBN 978-0-697-06889-7 , číst online ) , s. 250pro tuto alternativní prezentaci definice. V této knize, neexistuje žádné zvláštní omezení na okolním prostoru topological E .
-
Pierre Colmez , Elementy analýzy a algebry (a teorie čísel) , Éditions de l'École Polytechnique,2012, 2 nd ed., opraveno pro cvičení 14.3 na straně 223.
-
V konkrétním případě prostoru ℕ ω viz cvičení V.3.9.b od (en) P. Odifreddi , Teorie klasické rekurze , Elsevier, kol. „Studie v logice a základy matematiky“ ( n O 125),1992, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1989) ( číst on-line ) , str. 475.
-
Tento příklad je zmíněn mimo jiné (in) „ Existuje nějaká míra nulové množiny? » , Na MathOverflow .
Související články