Poincarého indukční věta

Návrat poincarého říká, že pro téměř všechny „počáteční podmínky“, což je dynamický systém, konzervativní, jehož fázový prostor je „svazek“ hotový deska bude v průběhu času tak blízko, jak chceme, aby se její stav počáteční a opakovaně.

Kontext

Dynamický systém

Dovolit být měřený dynamický systém , to znamená triplet, kde: $(X, \ mu, \ phi)$

$X$ je měřitelný prostor, který představuje fázový prostor systému.
$\ mu$ je konečná opatření na , $X$
$\ phi: X \ až X$ je měřitelná funkce zachovávající míru , to znamená, že: $\ mu$

\ forall \ A \ podmnožina X \, \ quad (\ mu \ circ \ phi ^ {- 1}) (A) \ = \ \ mu \ left [\ phi ^ {- 1} (A) \ right] \ = \ \ mu (A)

Opakování bodu

Zvažte měřitelnou podmnožinu. O bodu se říká, že se opakuje, pokud jde o if $\ Podmnožina X$ ${\ displaystyle x \ v X}$ $NA$

{\ displaystyle \ phi ^ {k} (x) \ v A}

pro nekonečno celých čísel .

k

Jinými slovy: je rekurentní s ohledem na to, zda pro jakékoli přirozené celé číslo existuje celé číslo takové , to znamená, že pokud . $X$ $NA$ $p$ ${\ displaystyle k \ geq p}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {k} (x) \ v A}$ ${\ displaystyle x \ in \ cap _ {p \ in \ mathbb {N}} \ cup _ {k \ geq p} \ phi ^ {- k} (A)}$

Poincarého indukční věta

Dovolme být měřitelnou podmnožinou míry . Takže téměř všechny body se opakují ve vztahu k . $\ Podmnožina X$ $\ mu$ $NA$ $NA$

Demonstrace

Nechť (pro všechna přirozená čísla ) a . ${\ displaystyle U_ {p} = \ pohár _ {k \ geq p} \ phi ^ {- k} (A)}$ $p$ ${\ displaystyle U = \ cap _ {p \ in \ mathbb {N}} U_ {p}}$

Jde o prokázání toho, že množina neopakujících se bodů s ohledem na je nulové míry, to znamená (protože se jedná o spočetné sjednocení), že každý má nulovou míru. ${\ displaystyle A \ setminus U = \ cup _ {p \ in \ mathbb {N}} \ left (A \ setminus U_ {p} \ right)}$ $NA$ $NA$ ${\ displaystyle A \ setminus U_ {p}}$

Z a odvodíme, že všechny mají stejnou míru. ${\ displaystyle U_ {p + 1} = \ phi ^ {- 1} (U_ {p})}$ ${\ displaystyle \ mu \ left [\ phi ^ {- 1} (U_ {p}) \ right] = \ mu (U_ {p})}$ $U_ {p}$

Došli jsme k závěru, že to používáme a jsme součástí : $NA$ $U_ {p}$ $U_0$

{\ displaystyle \ mu \ left (A \ setminus U_ {p} \ right) \ leq \ mu \ left (U_ {0} \ setminus U_ {p} \ right) = \ mu \ left (U_ {0} \ right ) - \ mu \ left (U_ {p} \ right) = 0}

Dějiny

Věta byla publikována Poincarým v roce 1890 v článku O problému tří těles a dynamických rovnic . Tato práce bude mít pro jejího autora cenu krále Oscara, krále Norska a Švédska a vášnivého pro matematiku. Porotu tvořili Weierstrass , Mittag-Leffler a Hermite . Příběh této monografie je slavný.

Poznámky a odkazy

V teorii měření říkáme, že vlastnost P platí pro „téměř všechny body“ (měřitelné množiny), pokud množina x, pro kterou je P ( x ) nepravdivá, má nulovou míru .
Yves Coudène, Ergodická teorie a dynamické systémy , EDP Sciences ( číst online ) , s. 11-12.
Luís Barreira a Claudia Valls, Theory of Dynamical Systems: An Introduction , EDP Sciences ( číst online ) , s. 183-184.
Pokud má A nulovou míru, může se dokonce stát, že žádný bod A není rekurentní (vzhledem k A ), což není v rozporu s teorémem, ale neodpovídá tomu, co by člověk intuitivně očekával.
Henri Poincaré , „ K problému tří těles a dynamických rovnic “, Acta Mathematica , sv. 13,1890, str. 1-270
Přečtěte si například (in) June Barrow-Green , Poincaré and the Three Body Problem , AMS & LMS , coll. "Historie matematiky" ( n o 11),1997( číst online ).

Podívejte se také

Související články

Externí odkaz

François Béguin, „ Poincarého věta o opakování “ , na Images des maths ,20. dubna 2012