Dokončené měření

Na měřitelné prostoru , což je konečný opatření (nebo ohraničený opatření ) je pozitivní opatření μ, pro které μ ( X ) je konečný, nebo obecněji podepsané opatření , nebo dokonce komplex opatření (v) , jehož hmotnost (hodnota na X z celková variace | μ | μ) je konečná. $(X, {\ mathcal A})$ ${\ displaystyle | \ mu | (X)}$

Integrované funkce

Jakákoli měřitelná a ohraničená komplexní funkce f je integrovatelná proti jakékoli konečné míře ; a máme nárůst: $\ mu$

{\ displaystyle \ left | \ int _ {X} fd \ mu \ right | \ leq \ | f \ | _ {\ infty}. | \ mu | (X)}

Příklady hotových měření

Míra počtu na množině X je konečná, pokud X je konečná množina .
Tyto Dirac masy jsou konečné opatření, bez ohledu na měřitelném prostoru v úvahu.
Obecněji řečeno, míry pravděpodobnosti jsou příklady konečných opatření: jsou to pozitivní míry hmotnosti 1.
Lebesgue měří přes ohraničený doménu ℝ n .
Pro komplexní opatření $VCO$ není nezbytně konečným a za $VCO$ -integrable funkce $f$ , celková variace opatření $f ν$ je přesně $| f | | ν |$ ; ve skutečnosti je míra $f ν$ konečná.

Klesající posloupnost mezer $L str$

Podle Hölderovy nebo Jensenovy nerovnosti tvoří prostory $L p$ konečné míry sestupnou rodinu pro inkluzi s kontinuálními injekcemi . Přesněji :

{\ displaystyle {\ text {si}} \ mu (X) <+ \ infty {\ text {then}} 0 <p \ leq q \ leq + \ infty \ Rightarrow \ mathrm {L} ^ {p} (\ mu) \ supset \ mathrm {L} ^ {q} (\ mu) {\ text {auto}} \ forall f \ in \ mathrm {L} ^ {q} (\ mu), \ | f \ | _ { p} \ leq \ mu (X) ^ {{\ frac {1} {p}} - {\ frac {1} {q}}} \ | f \ | _ {q}.}

Platí velmi silná konverzace: pokud $μ$ je σ-konečný a pokud existuje $p$ a $q$ , s $1 \leq p <q \leq + \infty$ , takže $L p (μ) \supset L q (μ)$ , pak $μ$ je konečné.

Konečná opatření prostoru

Jakýkoli součet konečných měr (podepsaných nebo komplexních) je konečnou mírou. Jakákoli míra úměrná konečné míře je konečnou mírou.

Prostor konečných opatření ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (X, {\ mathcal {A}})}$ (podepsány nebo komplex) tvoří Banachův prostor (reálnou nebo komplexní) pro normu :

{\ displaystyle \ | \ mu \ | = | \ mu | (X).}

Pro jakékoliv opatření $vmax$ na (konečných nebo ne), na mapě $f$ $\mapsto$ $f$ $ν$ vyvolává isometry z $L$ $1$ $(ν)$ na uzavřeném vektoru podprostoru . ${\ displaystyle \ scriptstyle (X, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (X, {\ mathcal {A}})}$

Když $ν$ je σ-konečný , tento podprostor, s nímž se $L 1 (ν)$ identifikuje, se rovná (podle Radon-Nikodymovy věty ) množině všech konečných měr absolutně spojitých s ohledem na $ν$ . To je zahrnuta v topologické dual of $L \infty (VCO)$ :

{\ displaystyle \ mathrm {L} ^ {1} (\ nu) \ podmnožina \ mathrm {(} L ^ {\ infty} (\ nu)) '.}

Toto zahrnutí je přísné (s výjimkou triviálních případů), protože $(L \infty (ν)) '$ je tvořeno „opatřeními“ (konečnými a absolutně spojitými s ohledem na $ν$ ), která jsou pouze konečně aditivní .

Příklad: přísné zahrnutí

ℓ 1

= do

(ℓ

\infty

) '

{\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (\ mathbb {N})}

Pokud $ν$ je míra počítání na ℕ, potom $ν$ znamená σ-konečná a absolutní kontinuita ve vztahu k $ν$ je automatické, proto $L 1 (ν),$ (který je zde napsáno $ℓ 1$ ) je označena libovolné celé číslo. Zahrnutí $pásmy$ $1$ ve dvojí $pásmy$ $\infty$ za následek: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (\ mathbb {N})}$

{\ displaystyle \ forall a \ in \ ell ^ {1}, \ forall b \ in \ ell ^ {\ infty}, ~ \ langle a, b \ rangle = \ sum a_ {n} b_ {n}.}

Ale existují spojité lineární formy, na prostor $pásmy \infty$ omezených sekvencí, které nespadají tímto způsobem z prvku $A$ z $pásmy 1$ : například na podprostoru konvergentních sekvencí (en) , jsme má kontinuální lineární formu který s jakoukoli konvergentní posloupností spojuje svůj limit. Můžeme Hahnovou-Banachovou větou rozšířit tento tvar na tomto podprostoru v spojité formě na $ℓ \infty,$ tedy v „konečné míře“, která je na ℕ jen konečně aditivní, protože i když není nulová, ruší se na každém singletonu .

Hodnocení a reference