Zitterbewegung
Zitterbewegung (který může být přeložen z němčiny o „třese pohybu“) je jev, fyzikální mikro-kmity solitonu , objevené Erwin Schrödinger v roce 1930 v rámci kvantové mechaniky .
Zkoumáno v rámci teorie relativity vede ke Kleinovu paradoxu .
Předpokládá se, že vysvětlit spin a magnetický moment z elektronového .
Všeobecné
K kvantové pozorovatelného v zastoupení Schrödinger odpovídá pozorovatelný v reprezentaci Heisenbergovy . Když je hamiltoniánský operátor nezávislý na čase a kdy , pozorovatelné a jsou příbuzné jako:
NA^S(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t)}NA^H(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)} H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}NA^H(t0)=NA^S(t0){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t_ {0}) = {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t_ {0})}NA^S(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t)}NA^H(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)}
NA^H(t)=Ei(t-t0)H^/ℏNA^S(t)E-i(t-t0)H^/ℏ{\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t) = e ^ {i (t-t_ {0}) {\ hat {H}} / \ hbar} {\ hat {A }} _ {\ rm {S}} (t) e ^ {- i (t-t_ {0}) {\ hat {H}} / \ hbar}}Časová derivace je dána Heisenbergovou rovnicí:
NA^H(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)}
dNA^H(t)dt=iℏ[H^,NA^H(t)]+(∂NA^S(t)∂t)H{\ displaystyle {\ frac {d {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)} {dt}} = {\ frac {i} {\ hbar}} \ vlevo [{\ hat { H}}, {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t) \ right] + \ left ({\ frac {\ částečné {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t)} {\ částečné t}} \ pravé) _ {\ rm {H}}}
Matematická derivace zitterbewegung
Uvažujme Diracovu rovnici volné částice:
iℏ∂ψ∂t(X,t)=(mvs.2α0-iℏvs.∑j=13αj∂∂Xj)ψ(X,t){\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ částečné \ psi} {\ částečné t}} (\ mathbf {x}, t) = \ left (mc ^ {2} \ alpha _ {0} -i \ hbar c \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ alpha _ {j} {\ frac {\ částečný} {\ částečný x_ {j}}} \, \ pravý) \ psi (\ mathbf {x}, t) }Dá se to napsat jako Schrödingerova rovnice :
iℏ∂ψ∂t(X,t)=H^ψ(X,t){\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ částečné \ psi} {\ částečné t}} (\ mathbf {x}, t) = {\ hat {H}} \ psi (\ mathbf {x}, t)}kde je hamiltonovský operátor Diracova rovnice:
H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}
H^=mvs.2α0+vs.∑j=13αjp^j{\ displaystyle {\ hat {H}} = mc ^ {2} \ alpha _ {0} + c \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ alpha _ {j} {\ hat {p}} _ {j}}Komutační vztahy mezi operátory impulsu, polohy, hamiltoniánu a jsou:
αj{\ displaystyle \ alpha _ {j}}
[q^j,p^k]=iℏδjk{\ displaystyle [{\ hat {q}} _ {j}, {\ hat {p}} _ {k}] = i \ hbar \ delta _ {jk}}
[H^,p^j]=0{\ displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {p}} _ {j}] = 0}
[H^,q^j]=-iℏvs.αj{\ displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {q}} _ {j}] = - i \ hbar c \ alpha _ {j}}
[H^,α^j]=2(vs.p^j-αjH^){\ displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {\ alpha}} _ {j}] = 2 (c {\ hat {p}} _ {j} - \ alpha _ {j} {\ hat {H}})}
[q^j,α^k]=0{\ displaystyle [{\ hat {q}} _ {j}, {\ hat {\ alpha}} _ {k}] = 0}
[p^j,α^k]=0{\ displaystyle [{\ hat {p}} _ {j}, {\ hat {\ alpha}} _ {k}] = 0}
Nyní přejdeme k zastoupení Heisenberg pózováním:
pj(t): =(p^j)H{\ displaystyle p_ {j} (t): = ({\ hat {p}} _ {j}) _ {\ rm {H}}}
qj(t): =(q^j)H{\ displaystyle q_ {j} (t): = ({\ hat {q}} _ {j}) _ {\ rm {H}}}
H(t): =(H^)H{\ displaystyle H (t): = ({\ hat {H}}) _ {\ rm {H}}}
αj(t): =(αj)H{\ displaystyle \ alpha _ {j} (t): = (\ alpha _ {j}) _ {\ rm {H}}}
Jejich časový vývoj je dán Heisenbergovou rovnicí:
ddtpj(t)=iℏ[H^,p^j]H=0{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} p_ {j} (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {p}} _ { j}] _ {\ rm {H}} = 0}
ddtqj(t)=iℏ[H^,q^j]H=(vs.αj)H=vs.αj(t){\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} q_ {j} (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {q}} _ { j}] _ {\ rm {H}} = (c \ alpha _ {j}) _ {\ rm {H}} = c \ alpha _ {j} (t)}
ddtH(t)=0{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} H (t) = 0}
ddtαj(t)=iℏ[H^,αj]H=2iℏ(vs.pj(t)-αj(t)H(t)){\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ alpha _ {j} (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, \ alpha _ {j}] _ {\ rm {H}} = {\ frac {2i} {\ hbar}} (cp_ {j} (t) - \ alpha _ {j} (t) H (t))}
Protože a jsou konstantní, můžeme psát jednodušeji:
pj=pj(t){\ displaystyle p_ {j} = p_ {j} (t)}H=H(t){\ displaystyle H = H (t)}
ddtαj(t)=2iℏ(vs.pj-αj(t)H){\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ alpha _ {j} (t) = {\ frac {2i} {\ hbar}} (cp_ {j} - \ alpha _ {j} (t) H )}Integrací najdeme:
αj(t){\ displaystyle \ alpha _ {j} (t)}
αj(t)=vs.pjH-1+(αj-vs.pjH-1)E-2i(t-t0)H/ℏ{\ displaystyle \ alpha _ {j} (t) = cp_ {j} H ^ {- 1} + \ left (\ alpha _ {j} -cp_ {j} H ^ {- 1} \ right) e ^ { -2i (t-t_ {0}) H / \ hbar}}kde . Provozovatel rychlosti se proto stává:
αj=αj(t0){\ displaystyle \ alpha _ {j} = \ alpha _ {j} (t_ {0})}
protij(t)=ddtqj(t)=vs.αj(t)=vs.2pjH-1+vs.(αj-vs.pjH-1)E-2i(t-t0)H/ℏ{\ displaystyle v_ {j} (t) = {\ frac {d} {dt}} q_ {j} (t) = c \ alpha _ {j} (t) = c ^ {2} p_ {j} H ^ {- 1} + c \ left (\ alpha _ {j} -cp_ {j} H ^ {- 1} \ right) e ^ {- 2i (t-t_ {0}) H / \ hbar}}Integrací najdeme:
protij(t){\ displaystyle v_ {j} (t)}
qj(t)=qj(t0)+(t-t0)vs.2pjH-1+iℏvs.2(αj-vs.pjH-1)H-1(E-2i(t-t0)H/ℏ-1){\ displaystyle q_ {j} (t) = q_ {j} (t_ {0}) + (t-t_ {0}) c ^ {2} p_ {j} H ^ {- 1} + {\ frac {i \ hbar c} {2}} \ left (\ alpha _ {j} -cp_ {j} H ^ {- 1} \ right) H ^ {- 1} \ left (e ^ {- 2i (t -t_ {0}) H / \ hbar} -1 \ vpravo)}Diskuse
Rychlost obsluhy:
proti→(t)=vs.2p→H-1+vs.(α→-vs.p→H-1)E-2i(t-t0)H/ℏ{\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = c ^ {2} {\ vec {p}} H ^ {- 1} + c \ doleva ({\ vec {\ alpha}} - c {\ vec {p}} H ^ {- 1} \ vpravo) e ^ {- 2i (t-t_ {0}) H / \ hbar}}se dělí na dvě složky: konstantní složka:
vs.2p→H-1{\ displaystyle c ^ {2} {\ vec {p}} H ^ {- 1}}a oscilační složka:
vs.(α→-vs.p→H-1)E-2i(t-t0)H/ℏ{\ displaystyle c \ left ({\ vec {\ alpha}} - c {\ vec {p}} H ^ {- 1} \ right) e ^ {- 2i (t-t_ {0}) H / \ hbar }}Tento oscilační pohyb se nazývá Zitterbewegung . Úhlová frekvence tohoto kmitání . Jinými slovy, najdeme čistou energii základního režimu kvantového harmonického oscilátoru :
ω=2E/ℏ{\ displaystyle \ omega = 2E / \ hbar}
E=ℏω2{\ displaystyle E = {\ frac {\ hbar \ omega} {2}}}Pomocí rovnosti najdeme zejména vlnovou délku:
E=mvs.2{\ displaystyle E = mc ^ {2}}
λ=2πvs.ω=12hmvs.=λVS2{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi c} {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {h} {mc}} = {\ frac {\ lambda _ { \ rm {C}}} {2}}}kde je Comptonova vlnová délka .
λVS=h/mvs.{\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {C}} = h / mc}
Interpretace tohoto výsledku vedla k vysvětlení několika jevů .
Poznámky a odkazy
-
(in) Kiyoshi Nishikawa, Kvantové systémy v chemii a fyzice: Pokrok v metodách a aplikacích , Dordrecht, Springer,2012, 572 s. ( ISBN 978-94-007-5297-9 ) , str. 29-35
-
(in) David Hestenes, „ Zitterbewegungova interpretace kvantové mechaniky “ , Základy fyziky ,Říjen 1990, str. 1213–1232 ( ISSN 0015-9018 )
externí odkazy
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">