Vlnová funkce

Vlnová funkce je jedním ze základních konceptů kvantové mechaniky . Odpovídá reprezentaci kvantového stavu systému v základně nekonečné dimenze, obecně v pozicích . V druhém případě je třeba poznamenat , což podle definice odpovídá , pokud je kvantový stav normalizován. |Ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}|r⟩{\ displaystyle | \ mathbf {r} \ rangle}Ψ(r,t){\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t)}Ψ(r→,t)=⟨r|Ψ(t)⟩{\ displaystyle \ Psi ({\ vec {r}}, t) = \ langle \ mathbf {r} | \ Psi (t) \ rangle}|Ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}

Odpovídá amplitudě pravděpodobnosti , obvykle se složitou hodnotou . Pravděpodobnost nalezení částice v blízkosti polohy v čase t je pak úměrná druhé mocnině modulu vlnové funkce , hustotě pravděpodobnosti (objemu) přítomnosti a míře objemu okolí . Tato pravděpodobnostní interpretace pojmu vlnové funkce byla vyvinuta v letech 1925-1927 Maxem Bornem , Wernerem Heisenbergem a dalšími a představuje kodaňskou interpretaci kvantové mechaniky, která tento pravděpodobnostní charakter interpretuje v „interakci mezi měřicím systémem ( makroskopickým , tedy klasický) a kvantový systém, což vede ke zmenšení vlnového paketu . Pokud je tato interpretace v praxi nejčastěji přijímána, vyvolává různé epistemologické problémy (srov. Problém kvantového měření ). r{\ displaystyle \ mathbf {r}}|Ψ(r,t)|2{\ displaystyle \ left | \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ vpravo | ^ {2}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

Pokud je systém ve stacionárním stavu , nezávisí tato hustota pravděpodobnosti na čase a je možné použít funkci stojatých vln, která se v tomto případě liší pouze čistě komplexním fázovým faktorem bez fyzického zájmu. ψ(r){\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r})}Ψ(r,t){\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t)}

Vlnová funkce se vypočítá pomocí Schrödingerovy rovnice . Například v potenciální jamce je vlnovou funkcí částice stojatá sinusová vlna, jejíž vlnová délka je násobkem šířky jamky.

Historicky pojem vlnové funkce implicitně představil Louis de Broglie ve své práci v roce 1924 . Jeho název je vysvětlen skutečností, že to znamenalo dát jakékoli částice interferenční vlastnosti typické pro vlnu, což zobecnilo dualitu vlnových částic zavedenou pro světlo Albertem Einsteinem . Je to Erwin Schrödinger, kdo tuto představu prohlubuje navržením rovnice, která nyní nese jeho jméno v roce 1926, a umožňuje ji určit.

Připomenutí základů kvantové mechaniky

Stavový vektor a Schrödingerova rovnice

V kvantové mechanice je stav daného systému, pokud jde o čistý stav , dán jeho stavovým vektorem . Tento vektor patří do stavového prostoru systému , který má vlastnosti Hilbertova prostoru . Označení „  vektoru  “ nesmí vést k záměně s těmi třemi souřadnicemi se obvykle vyskytují v mechanice: je zde vektor v matematickém slova smyslu, to znamená, že je prvek prostoru vektor. , Který zde je nekonečné dimenze. |Ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}

Jakákoli fyzická veličina (označená A ), jako je energie, poloha systému atd. je pak reprezentován hermitovským operátorem (známým ) působícím v tomto prostoru, nazývaným pozorovatelným . Důležitým zvláštním případem pozorovatelného je operátor spojený s celkovou energií systému, hamiltonián , který je obecně časově závislý. NA^{\ displaystyle {\ hat {A}}} H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}

Stavový vektor se poté řídí řešením Schrödingerovy rovnice :

jáℏddt|Ψ(t)⟩=H^|Ψ(t)⟩{\ displaystyle \ imath \ hbar {\ frac {d} {dt}} | \ Psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ Psi (t) \ rangle}.

Jelikož operátor je lineární, tak je to i Schrödingerova rovnice. Proto, pokud a jsou dva stavové vektory řešení Schrödingerovy rovnice, jakákoli lineární kombinace a je také řešením této rovnice. Tato vlastnost řešení Schrödingerovy rovnice představuje princip superpozice . H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}|Ψ1⟩{\ displaystyle | \ Psi _ {1} \ rangle}|Ψ2⟩{\ displaystyle | \ Psi _ {2} \ rangle}|Ψ1⟩{\ displaystyle | \ Psi _ {1} \ rangle}|Ψ2⟩{\ displaystyle | \ Psi _ {2} \ rangle}

Měření fyzikální veličiny

Působení na stavového vektoru pozorovatelného odpovídá na měření hodnoty fyzikální veličiny představované to pozorovatelné v čase t : toto měření může poskytnout pouze eigenvalue tohoto operátora, c ', který znamená, že , bytí eigenstate operátoru odpovídající rovnici vlastních čísel (uvedeno ) . Hermitovský charakter operátoru spojeného s pozorovatelným znamená, že všechny jeho vlastní hodnoty jsou skutečné, a proto mají fyzický význam. |Ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}NA^{\ displaystyle {\ hat {A}}}NA^|Ψ⟩=nane|ϕne⟩{\ displaystyle {\ hat {A}} | \ Psi \ rangle = a_ {n} | \ phi _ {n} \ rangle}|ϕne⟩{\ displaystyle | \ phi _ {n} \ rangle}NA^{\ displaystyle {\ hat {A}}}nane{\ displaystyle a_ {n}}NA^|ϕne⟩=nane|ϕne⟩{\ displaystyle {\ hat {A}} | \ phi _ {n} \ rangle = a_ {n} | \ phi _ {n} \ rangle}

Bezprostředně po měření se stavový vektor rovná vlastnímu vektoru , pokud je vlastní vlastní hodnota nedegenerovaná, to znamená odpovídá jedinému vlastnímu stavu . Tento konkrétní proces, specifický pro kvantovou mechaniku, během kterého měření fyzikální veličiny mění stav studovaného fyzického systému, odpovídá redukci vlnového paketu . |Ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}|ϕne⟩{\ displaystyle | \ phi _ {n} \ rangle}|ϕne⟩{\ displaystyle | \ phi _ {n} \ rangle}

Operátory spojené s různými pozorovatelnými objekty jsou Hermitian, sada vlastních stavů jakéhokoli pozorovatelného představuje ortonormální základ stavového prostoru systému (tento výsledek představuje spektrální teorém ). V důsledku toho lze stavový vektor (o kterém se také předpokládá, že je normalizovaný) na tomto základě rozložit a zapsat: {|ϕne⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ phi _ {n} \ rangle \ right \}}NA^{\ displaystyle {\ hat {A}}}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}

|Ψ(t)⟩=∑nevs.ne(t)|ϕne⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = \ součet _ {n} c_ {n} (t) | \ phi _ {n} \ rangle},

s , který má následující fyzikální interpretaci: je pravděpodobnost, že (v čase t ) se získá jako výsledek měření fyzikální veličiny A hodnoty . vs.ne(t)=⟨ϕne|Ψ(t)⟩{\ displaystyle c_ {n} (t) = \ langle \ phi _ {n} | \ Psi (t) \ rangle}|vs.ne(t)|2=|⟨ϕne|Ψ(t)⟩|2{\ displaystyle \ left | c_ {n} (t) \ right | ^ {2} = \ left | \ langle \ phi _ {n} | \ Psi (t) \ rangle \ right | ^ {2}}nane{\ displaystyle a_ {n}}

Stacionární stavy

Důležitým zvláštním případem je systém, u kterého Hamiltonián výslovně nezávisí na čase. V tomto případě je množina vlastních stavů tohoto operátoru dána rovnicí , často nazývanou stacionární Schrödingerova rovnice (nebo nezávislá na čase), pro kterou odpovídající vlastní čísla nezávisí ani na čase. Odpovídající vlastní stavy se nazývají stacionární stavy systému. H^|Φne⟩=Ene|Φne⟩{\ displaystyle {\ hat {H}} | \ Phi _ {n} \ rangle = E_ {n} | \ Phi _ {n} \ rangle}

Pokud je systém skutečně v takovém stavu, to znamená , že je napsána Schrödingerova rovnice: |Ψ(t)⟩=|Φne⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = | \ Phi _ {n} \ rangle}

jáℏddt|Φne⟩=Ene|Φne⟩{\ displaystyle \ imath \ hbar {\ frac {d} {dt}} | \ Phi _ {n} \ rangle = E_ {n} | \ Phi _ {n} \ rangle},

který má pro zřejmé řešení , kde , nezávisle na t . Časová závislost vlastních stavů je potom závislostí čistě komplexního fázového faktoru bez zvláštního fyzického významu. Zejména pokud je systém zpočátku ve stacionárním stavu dané energie , zůstává ním i během svého budoucího vývoje. |Φne(t)⟩=exp⁡(-jáEnetℏ)|Φne(t=0)⟩=exp⁡(-jáEnetℏ)|ϕne⟩{\ displaystyle | \ Phi _ {n} (t) \ rangle = \ exp \ left (- \ imath {\ frac {E_ {n} t} {\ hbar}} \ right) | \ Phi _ {n} ( t = 0) \ rangle = \ exp \ left (- \ imath {\ frac {E_ {n} t} {\ hbar}} \ right) | \ phi _ {n} \ rangle}|ϕne⟩=|Φ(t=0)⟩{\ displaystyle | \ phi _ {n} \ rangle = | \ Phi (t = 0) \ rangle}Ene{\ displaystyle E_ {n}}

Koncept vlnové funkce

Reprezentace stavového prostoru systému

Výhodou popisu fyzického stavu systému z hlediska stavového vektoru patřícího do Hilbertova prostoru a různých fyzikálních veličin z hlediska operátorů působících na prvky tohoto stavového prostoru je poskytnout elegantní popis stavu a vývoj kvantového systému, použitelný v různých situacích, včetně v případě částic se stupni volnosti bez klasického ekvivalentu, jako je spin . Na druhou stranu jsou použité pojmy velmi abstraktní a v praxi je nutné umět vyjádřit různé operátory, zejména Hamiltonian , a stavový vektor ve formě přístupné pro výpočet, aby bylo možné vyřešit Schrödingerova rovnice. H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}

K tomu je nutné zvolit základnu, na které budou moci být vyjádřeny různé operátory a stavový vektor: taková volba základu se nazývá reprezentace stavového prostoru . Vybraný základ bude základ tvořený vlastními vektory operátoru spojeného s danou pozorovatelnou. Zejména je možné použít reprezentace spojené s operátory majícími spojité spektrum vlastních čísel, jejichž vlastní stavy tvoří „spojitou základnu“ prostoru států, jako jsou ty spojené s operátory polohy a hybnosti , jejichž „základny“ jsou poznamenal a . Tyto dvě reprezentace odpovídají reprezentaci polohy a impulzní reprezentaci . r^=(X^,y^,z^){\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} = \ left ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}} \ right)}p^=(pX^,py^,pz^){\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {p}}} = \ left ({\ hat {p_ {x}}}, {\ hat {p_ {y}}}, {\ hat {p_ {z}}} \ že jo)}{|r⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ mathbf {r} \ rangle \ right \}}{|p⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ mathbf {p} \ rangle \ right \}}

• V polohové reprezentaci jsou základní vektory vlastní stavy pozičního operátoru částice . Tento operátor je příkladem „vektorového operátoru“, ve skutečnosti tvořeného třemi „skalárními“ operátory , jejichž akce na jednom z vlastních stavů se rovná jednoduché násobení:|r⟩{\ displaystyle | \ mathbf {r} \ rangle}r^{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}(X^,y^,z^){\ displaystyle \ left ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}} \ right)}|r⟩{\ displaystyle | \ mathbf {r} \ rangle}

X^|r⟩=X|r⟩{\ displaystyle {\ hat {x}} | \ mathbf {r} \ rangle = x | \ mathbf {r} \ rangle}(stejné pro a .)y^{\ displaystyle {\ hat {y}}}z^{\ displaystyle {\ hat {z}}}V takovém zobrazení je pulzní operátor částice zapsán v nepřítomnosti magnetického pole .p^=-jáℏ∇→{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {p}}} = - \ imath \ hbar {\ vec {\ nabla}}}Státy nejsou ani sčítatelné, ani normalizovatelné čtverce v obvyklém slova smyslu. V důsledku toho, a přestože jsou kvalifikovány jako „základní“ vektory pro prostor stavů systému, proto do tohoto prostoru nepatří. Je však možné je normalizovat „ve smyslu rozdělení“ uložením podmínky .|r⟩{\ displaystyle | \ mathbf {r} \ rangle}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}⟨r′|r⟩=δ(r′-r){\ displaystyle \ langle \ mathbf {r} '| \ mathbf {r} \ rangle = \ delta \ left (\ mathbf {r}' - \ mathbf {r} \ vpravo)}

• V pulzní reprezentaci se používá základ, který je spojitý, z vlastních stavů pulzního operátoru , který je jako operátor polohy vektorovým operátorem odpovídajícím množině tří operátorů , odpovídající třem složkám hybnosti částice. Stejným způsobem jako dříve se působení jednoho z těchto operátorů na vlastní stav sníží na násobení hodnotou příslušného impulzu: například .{|p⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ mathbf {p} \ rangle \ right \}}p^{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {p}}}}(pX^,py^,pz^){\ displaystyle \ left ({\ hat {p_ {x}}}, {\ hat {p_ {y}}}, {\ hat {p_ {z}}} \ right)}|p⟩{\ displaystyle | \ mathbf {p} \ rangle}pX^|p⟩=pX|p⟩{\ displaystyle {\ hat {p_ {x}}} | \ mathbf {p} \ rangle = p_ {x} | \ mathbf {p} \ rangle}

V této reprezentaci je zapsána poloha operátora , která označuje operátor přechodu působící na proměnné .r^{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}r^=jáℏ∇→p{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} = \ imath \ hbar {\ vec {\ nabla}} _ {p}}∇→p{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} _ {p}}(pX,py,pz){\ displaystyle (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})}Pokud jde o reprezentaci pozice, státy nejsou ani sčítatelné, ani normalizovatelné čtverce v obvyklém smyslu termínu, jsou však „ve smyslu distribucí“ uložením podmínky .|p⟩{\ displaystyle | \ mathbf {p} \ rangle}⟨p′|p⟩=δ(p′-p){\ displaystyle \ langle \ mathbf {p} '| \ mathbf {p} \ rangle = \ delta \ left (\ mathbf {p}' - \ mathbf {p} \ right)}

Vlnová funkce v reprezentaci polohy (částice bez rotace)

Zvýraznění

V polohové reprezentaci a pro částici bez rotace lze stavový vektor rozložit na základě , což dává: |Ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}{|r⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ mathbf {r} \ rangle \ right \}}

|Ψ(t)⟩=∫⟨r|Ψ⟩|r⟩d3r{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = \ int \ langle \ mathbf {r} | \ Psi \ rangle | \ mathbf {r} \ rangle \, d ^ {3} \ mathbf {r}},

a poté podle definice odpovídá vlnové funkci v polohové reprezentaci systému. To pak hraje stejnou roli jako koeficienty zavedené během rozkladu stavového vektoru na diskrétním základě vlastních stavů jakéhokoli pozorovatelného . V druhém případě však odpovídá pravděpodobnosti, že měření pozorovatelného jako výsledek poskytne vlastní hodnotu . Stejným způsobem bude představovat hustotu pravděpodobnosti, kterou jako výsledek poskytne měření v okamžiku t polohy , za předpokladu, že stavový vektor je normalizován na jednotu. Ψ(r,t)=⟨r|Ψ⟩{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ langle \ mathbf {r} | \ Psi \ rangle}vs.ne(t){\ displaystyle c_ {n} (t)}NA^{\ displaystyle {\ hat {A}}}|vs.ne(t)|2{\ displaystyle \ left | c_ {n} (t) \ vpravo | ^ {2}}NA^{\ displaystyle {\ hat {A}}}nane{\ displaystyle a_ {n}}|Ψ(r,t)|2=|⟨r|Ψ⟩|2{\ displaystyle \ left | \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ right | ^ {2} = \ left | \ langle \ mathbf {r} | \ Psi \ rangle \ right | ^ {2}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

Skutečně, protože v tomto případě to přichází zavedením vztahu uzavření na vlastních státech : ⟨Ψ|Ψ⟩=1{\ displaystyle \ langle \ Psi | \ Psi \ rangle = 1}∫|r⟩⟨r|d3r=1^{\ displaystyle \ int | \ mathbf {r} \ rangle \ langle \ mathbf {r} | \, d ^ {3} \ mathbf {r} = {\ hat {1}}}{|r⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ mathbf {r} \ rangle \ right \}}

1=⟨Ψ|∫(|r⟩⟨r|d3r)|Ψ⟩=∫⟨Ψ|r⟩⟨r|Ψ⟩d3r=∫Ψ∗(r,t)Ψ(r,t)d3r=∫|⟨r|Ψ⟩|2d3r{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} 1 & = \ langle \ Psi | \ int \ left (| \ mathbf {r} \ rangle \ langle \ mathbf {r} | \, d ^ {3} \ mathbf {r} \ right) | \ Psi \ rangle \\ & = \ int \ langle \ Psi | \ mathbf {r} \ rangle \ langle \ mathbf {r} | \ Psi \ rangle \, d ^ {3} \ mathbf {r} = \ int \ Psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ Psi (\ mathbf {r}, t) \, d ^ {3} \ mathbf {r} \\ & = \ int \ vlevo | \ langle \ mathbf {r} | \ Psi \ rangle \ right | ^ {2} \, d ^ {3} \ mathbf {r} \ end {zarovnáno}}},

nebo nakonec je tento poslední vztah ( normalizační podmínka ) nezbytný, aby mohl být interpretován pravděpodobnostním způsobem, přičemž pravděpodobnost nalezení částice v celém prostoru je rovna 1. ∫|Ψ(r,t)|2d3r=1{\ displaystyle \ int \ left | \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ vpravo | ^ {2} \, d ^ {3} \ mathbf {r} = 1}|Ψ(r,t)|2{\ displaystyle \ left | \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ vpravo | ^ {2}}

Samotná vlnová funkce má obecně komplexní hodnotu a představuje „amplitudu pravděpodobnosti“ nalezení částice v dané poloze v čase t . Vzhledem k vlnové funkci částice bude střední hodnota jakékoli pozorovatelné částice ve stavu dána vztahemΨ(r,t){\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t)}|Ψ⟩{\ displaystyle | \ Psi \ rangle}⟨NA^⟩=⟨Ψ|NA^|Ψ⟩=∫Ψ∗(r,t)(NA^Ψ(r,t))d3r{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ langle \ Psi | {\ hat {A}} | \ Psi \ rangle = \ int \ Psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ left ({\ hat {A}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ right) \, d ^ {3} \ mathbf {r}}

Demonstrace

K demontáži tohoto vztahu je nutné zavést vztah uzavření ve skalárním součinu . Pak to přijde: ∫|r⟩⟨r|d3r=1^{\ displaystyle \ int | \ mathbf {r} \ rangle \ langle \ mathbf {r} | \, d ^ {3} \ mathbf {r} = {\ hat {1}}}⟨Ψ|NA^|Ψ⟩{\ displaystyle \ langle \ Psi | {\ hat {A}} | \ Psi \ rangle}

⟨Ψ|NA^|Ψ⟩=⟨Ψ|(∫|r⟩⟨r|d3r′)(NA^|Ψ⟩)=∫⟨Ψ|r⟩⟨r|NA^|Ψ⟩d3r=∫Ψ∗(r,t)(NA^Ψ(r,t))d3r{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ langle \ Psi | {\ hat {A}} | \ Psi \ rangle & = \ langle \ Psi | \ left (\ int | \ mathbf {r} \ rangle \ langle \ mathbf {r} | \, d ^ {3} \ mathbf {r} '\ right) \ left ({\ hat {A}} | \ Psi \ rangle \ right) \\ & = \ int \ langle \ Psi | \ mathbf {r} \ rangle \ langle \ mathbf {r} | {\ hat {A}} | \ Psi \ rangle \, d ^ {3} \ mathbf {r} \\ & = \ int \ Psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ left ({\ hat {A}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ right) \, d ^ {3} \ mathbf {r} \ end {zarovnáno} }}. Případ ustáleného stavu

Když je systém ve stacionárním stavu, jeho stavový vektor je ve formě , jeho odpovídající vlnová funkce se poté zapíše , kde je čistě prostorová vlnová funkce, řešení stacionární Schödingerovy rovnice v reprezentační poloze: |Φne⟩=exp⁡(-jáEnetℏ)|ϕne⟩{\ displaystyle | \ Phi _ {n} \ rangle = \ exp \ left (- \ imath {\ frac {E_ {n} t} {\ hbar}} \ right) | \ phi _ {n} \ rangle}Ψne(r,t)=⟨r|Φne⟩=exp⁡(-jáEnetℏ)⟨r|ϕne⟩=exp⁡(-jáEnetℏ)ψne(r){\ displaystyle \ Psi _ {n} (\ mathbf {r}, t) = \ langle \ mathbf {r} | \ Phi _ {n} \ rangle = \ exp \ left (- \ imath {\ frac {E_ { n} t} {\ hbar}} \ vpravo) \ langle \ mathbf {r} | \ phi _ {n} \ rangle = \ exp \ left (- \ imath {\ frac {E_ {n} t} {\ hbar }} \ vpravo) \ psi _ {n} (\ mathbf {r})}ψne(r)=⟨r|ϕne⟩{\ displaystyle \ psi _ {n} (\ mathbf {r}) = \ langle \ mathbf {r} | \ phi _ {n} \ rangle}

H^ψne(r)=Eneψne(r){\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi _ {n} (\ mathbf {r}) = E_ {n} \ psi _ {n} (\ mathbf {r})}.

Ve stacionárním stavu tedy existuje oddělení mezi „prostorovou“ a „časovou“ částí vlnové funkce, přičemž druhá část je čistě imaginárním fázovým faktorem. Tento fázový faktor nemá žádný fyzický význam, když je systém v takovém stavu, protože je vyloučen během vyhodnocení středních hodnot různých pozorovatelných.

Je však důležité zdůraznit, že v obecném případě, a vzhledem k linearitě Schrödingerovy rovnice, bude jakákoli superpozice stacionárních stavů také řešením této rovnice a že následně v daném okamžiku bude systém nalezen v superpozice takových stavů, z nichž každý má určitou „váhu“, přičemž odpovídající vlnová funkce má potom tvar: exp⁡(-jáEnetℏ)ψne(r){\ displaystyle \ exp \ left (- \ imath {\ frac {E_ {n} t} {\ hbar}} \ right) \ psi _ {n} (\ mathbf {r})}

Ψ(r,t)=∑nenaneexp⁡(-jáEnetℏ)ψne(r){\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ součet _ {n} {a_ {n} \ exp \ left (- \ imath {\ frac {E_ {n} t} {\ hbar}} \ vpravo) \ psi _ {n} (\ mathbf {r})}}.

V takovém případě je zřejmé, že neexistuje žádný globální fázový faktor a bude nutné při hodnocení středních hodnot daného pozorovatelného zohlednit časovou část , protože poté: NA^{\ displaystyle {\ hat {A}}}

⟨NA^⟩=⟨Ψ|NA^|Ψ⟩=∑ne′∑nenane′∗naneexp⁡(jáωne′net)NAne′ne{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ langle \ Psi | {\ hat {A}} | \ Psi \ rangle = \ sum _ {n '} \ sum _ {n} a_ {n' } ^ {*} a_ {n} \ exp \ left (\ imath \ omega _ {n'n} t \ right) A_ {n'n}},

kde je maticový prvek operátora mezi dvěma stacionárními stavy a a jsou Bohrovy frekvence uvažovaného systému. NAne′ne=⟨ne′|NA^|ne⟩=∫ψne∗(r)(NA^ψne(r))d3r{\ displaystyle A_ {n'n} = \ langle n '| {\ hat {A}} | n \ rangle = \ int \ psi _ {n} ^ {*} (\ mathbf {r}) \ left ({ \ hat {A}} \ psi _ {n} (\ mathbf {r}) \ right) \, d ^ {3} \ mathbf {r}}NA^{\ displaystyle {\ hat {A}}}ψne′{\ displaystyle \ psi _ {n '}}ψne{\ displaystyle \ psi _ {n}}ωne′ne=Ene′-Eneℏ{\ displaystyle \ omega _ {n'n} = {\ frac {E_ {n '} - E_ {n}} {\ hbar}}}

Střední hodnota pozorovatelné je tedy součtem členů oscilujících na různých Bohrových frekvencích systému, s výjimkou případů, kdy je systém ve stacionárním stavu nebo pokud jsou všechny ne-diagonální maticové prvky pozorovatelné nulové.

Vlnová funkce v impulsním znázornění (částice bez rotace)

Zvýraznění

Stejným způsobem jako v polohové reprezentaci, základně tvořící úplnou základnu, je možné na ní rozložit stavový vektor částice, který dává: {|p⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ mathbf {p} \ rangle \ right \}}|Ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}

|Ψ(t)⟩=∫⟨p|Ψ⟩|p⟩d3p{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = \ int \ langle \ mathbf {p} | \ Psi \ rangle | \ mathbf {p} \ rangle \, d ^ {3} \ mathbf {p}},

a poté podle definice odpovídá vlnové funkci v pulzní reprezentaci systému. Stejně jako v případě polohové reprezentace odpovídá hustota pravděpodobnosti, že měření hybnosti částice v čase t dává hodnotu za předpokladu, že je normalizována na jednotu, to znamená splnit podmínku : Φ(p,t)=⟨p|Ψ⟩{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {p}, t) = \ langle \ mathbf {p} | \ Psi \ rangle}|Φ(p,t)|2{\ displaystyle \ left | \ Phi (\ mathbf {p}, t) \ vpravo | ^ {2}}p{\ displaystyle \ mathbf {p}}

∫|Φ(p,t)|2d3p=1{\ displaystyle \ int \ left | \ Phi (\ mathbf {p}, t) \ vpravo | ^ {2} \, d ^ {3} \ mathbf {p} = 1},

integrace je chápána jako vztahující se k celku „prostoru impulsů“.

V případě stacionárního stavu je možné stejně jako dříve ukázat, že vlnová funkce je dána ve formě , kde je vlnová funkce „čistě v prostoru impulsů“, řešení stacionární Schödingerovy rovnice v reprezentaci hybnosti: Φ(p,t)=exp⁡(-jáEnetℏ)ϕne(p){\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {p}, t) = \ exp \ left (- \ imath {\ frac {E_ {n} t} {\ hbar}} \ right) \ phi _ {n} (\ mathbf {p})}ϕne(p)=⟨p|ϕne⟩{\ displaystyle \ phi _ {n} (\ mathbf {p}) = \ langle \ mathbf {p} | \ phi _ {n} \ rangle}

H^ϕne(p)=Eneϕne(p){\ displaystyle {\ hat {H}} \ phi _ {n} (\ mathbf {p}) = E_ {n} \ phi _ {n} (\ mathbf {p})}. Vztah mezi vlnovými funkcemi ve dvou reprezentacích

Pomocí úzké relace na základně to přijde: {|r⟩}{\ displaystyle \ left \ {| \ mathbf {r} \ rangle \ right \}}

Φ(p,t)=⟨p|Ψ⟩=⟨p|(∫|r⟩⟨r|d3r)|Ψ⟩=∫⟨p|r⟩Ψ(r,t)d3r{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ Phi (\ mathbf {p}, t) & = \ langle \ mathbf {p} | \ Psi \ rangle = \ langle \ mathbf {p} | \ left (\ int | \ mathbf {r} \ rangle \ langle \ mathbf {r} | \, d ^ {3} \ mathbf {r} \ right) | \ Psi \ rangle \\ & = \ int \ langle \ mathbf {p} | \ mathbf {r} \ rangle \ Psi (\ mathbf {r}, t) \, d ^ {3} \ mathbf {r} \ end {zarovnáno}}},

Nicméně , pokud je normalizovaná vlnová funkce, v reprezentaci polohy, spojený s eigenstates impulsem obsluhy, což je dáno (viz článek hybnost ) , v důsledku toho, že je: ⟨p|r⟩=ψp∗(r){\ displaystyle \ langle \ mathbf {p} | \ mathbf {r} \ rangle = \ psi _ {\ mathbf {p}} ^ {*} (\ mathbf {r})}ψp(r){\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {p}} (\ mathbf {r})}ψp(r)=1(2πℏ)3/2exp⁡(ip⋅rℏ){\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {p}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {\ vlevo (2 \ pi \ hbar \ vpravo) ^ {3/2}}} \ exp \ vlevo (i {\ frac {\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r}} {\ hbar}} \ doprava)}

Φ(p,t)=1(2πℏ)3/2∫exp⁡(-ip⋅rℏ)Ψ(r,t)d3r{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {p}, t) = {\ frac {1} {\ vlevo (2 \ pi \ hbar \ vpravo) ^ {3/2}}} \ int \ exp \ vlevo (-i {\ frac {\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r}} {\ hbar}} \ vpravo) \ Psi (\ mathbf {r}, t) \, d ^ {3} \ mathbf {r}},

jinými slovy, vlnová funkce v pulzní reprezentaci je Fourierova transformace vlnové funkce v reprezentaci polohy . Φ(p,t){\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {p}, t)}Ψ(r,t){\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t)}

Je okamžité, že obrácení je pravdivé, tedy inverzní Fourierova transformace . Ψ(r,t)=1(2πℏ)3/2∫exp⁡(ip⋅rℏ)Φ(p,t)d3p{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {\ vlevo (2 \ pi \ hbar \ vpravo) ^ {3/2}}} \ int \ exp \ vlevo (i { \ frac {\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r}} {\ hbar}} \ vpravo) \ Phi (\ mathbf {p}, t) \, d ^ {3} \ mathbf {p}}Φ(p,t){\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {p}, t)}

Poznámky a odkazy

Poznámky

1. Je skutečně „eliminován“ během vyhodnocení druhé mocniny modulu vlnové funkce.
2. Pokud je vlastní hodnota degenerovaná, je stavový vektor hned po měření superpozicí vlastních vektorů (přičemž i = 1, ..., g , g je míra uvažované degenerace vlastní hodnoty) příslušného nevlastního prostoru s vlastním číslem|ϕnei{\ displaystyle | \ phi _ {n} ^ {i}}nane{\ displaystyle a_ {n}}
3. Tato možnost rozložení stavového vektoru na základě vlastních stavů pozorovatelné je samozřejmě úzce spojena s linearitou Schrödingerovy rovnice.
4. Je důležité zdůraznit, že pokud vlastní hodnoty energie nezávisí na čase pro stacionární stav, vlastní stavy , prvky stavového prostoru systému, obecně závisí na t .|Φne⟩{\ displaystyle | \ Phi _ {n} \ rangle}
5. V praxi představuje zavedení takových „spojitých bází“ vážné matematické problémy. Tyto eigenstates nejsou čtvercové integrovatelné účinek a musí být ortogonalizovány „smysl“ distribucí: .⟨r′|r⟩=δ(r′-r){\ displaystyle \ langle \ mathbf {r} '| \ mathbf {r} \ rangle = \ delta \ left (\ mathbf {r}' - \ mathbf {r} \ vpravo)}
6. Tento výsledek je získán kvůli kanonické komutační relaci , notaci označující operátor identity.[X^,pX^]=jáℏ1^{\ displaystyle \ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p_ {x}}} \ right] = \ imath \ hbar {\ hat {1}}}1^{\ displaystyle {\ hat {1}}}
7. Označení „ δ “ odpovídá Diracovu distribuci , často nazývaných zneužívajícím „Diracova delta funkce“, i když to není v pravém slova smyslu o funkci . Hlavní vlastností této „funkce“ je vlastnost pro jakoukoli funkci f .∫δ(r′-r)F(r′)d3r′=F(r){\ displaystyle \ int \ delta \ left (\ mathbf {r} '- \ mathbf {r} \ right) f (\ mathbf {r}') \, d ^ {3} \ mathbf {r} '= f ( \ mathbf {r})}
8. To znamená, že je pravděpodobnost, že míra polohy částice je zahrnuta v elementárním objemu kolem .|Ψ(r,t)|2d3r{\ displaystyle \ left | \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ vpravo | ^ {2} \, d ^ {3} \ mathbf {r}} d3r{\ displaystyle d ^ {3} \ mathbf {r}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}
9. Stacionární stav je tedy podobný stojaté vlně , charakterizované také oddělením prostorové a časové části.
10. To vyplývá z výše uvedeného „principu superpozice“.

Reference

1. Srov. Shankar, Principy kvantové mechaniky , 2. vydání, Plenum, New York, 1994, ( ISBN  0-306-44790-8 ) , kapitola 4.
2. Viz Cohen-Tannoudji et al. , Quantum Mechanics , Volume I, Herman, Paris, 1977, ( ISBN  2-7056-6074-7 ) .
3. Srov. Lev Landau a Evgueni Lifchits , Teoretická fyzika [ detail vydání ], § 2.
4. Srov. Shankar, op. cit. .

Podívejte se také

Související články

• Postuláty kvantové mechaniky
• Kvantový potenciál
• Spinner
• Dualita vlnových částic

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">