V matematice a přesněji v lineární algebry , An endomorphism self-adjoint nebo Hermitian operátor je endomorphism z Hilbert prostoru , který je jeho vlastní asistent (na skutečném prostoru Hilberta je prý také endomorphism symetrické ). Prototyp Hilbertova prostoru je euklidovský prostor , to znamená vektorový prostor na poli reálných čísel , konečné dimenze, a opatřený skalárním součinem . Analog na těle komplexů se nazývá hermitovský prostor . Na těchto konečných dimenzionálních Hilbertových prostorech je autoadjointový endomorfismus diagonalizovatelný na určitém ortonormálním základě a jeho vlastní čísla (i v komplexním případě) jsou reálná. Aplikace strukturálních vlastností endomorfismu spojeného se sebou samým (a tedy s ním spojenou kvadratickou formou ) je mnoho.
Definice - Nechte být Hilbertovým prostorem (skutečným nebo komplexním). O aplikaci se říká, že je připojena sama, pokud kontroluje:
.Takové mapy tedy připustí asistenta (rovná se ), tak, že se jedná o endomorphism z H : je automaticky lineární a (i v případě, H je nekonečné dimenze) kontinuální . Můžeme tedy definici přeformulovat jako: autoadjunkční endomorfismus (nebo „hermitovský operátor“) H je endomorfismus, který se rovná jeho přídavku.
Podle znázornění teorém Riesz je , existuje izomorfismus o v sadě nekonečných bilineární formy (nebo sesquilinear forem v komplexním případě). Tato bijekce, kterou zde budeme označovat Φ, spojuje se s endomorfismem, má tvar Φ a definovaný:
Forma spojená s autoadjointem - Bilineární (resp. Sesquilinear) forma Φ a je symetrická (resp. Hermitská ) právě tehdy, když a je autoadjoint.
Poznámka ke kvadratickým formám . Omezením Φ jsou tedy spojené endomorfismy v bijekci se symetrickými bilineárními formami (resp. Hermitovskými formami). Ty druhé jsou však samy v bijekci s kvadratickými formami (viz článek Identita polarizace ). Sloučenina těchto dvou bijekčních asociací s jakýmkoli autoadjointovým endomorfismem má kvadratickou formu
.Stručně řečeno, pokud mají dva spojené endomorfismy stejnou přidruženou kvadratickou formu, jsou si rovny.
Izomorfismus Φ umožňuje přidat dvě definice:
Pozitivní a jednoznačný pozitivní endomorfismus - O autoadjunkčním endomorfismu a se říká, že je pozitivní (resp. Jednoznačný pozitivní ) tehdy a jen tehdy, když Φ má .
Například pro jakýkoli endomorfismus a je autoadjunktní endomorfismus a ∘ a * vždy pozitivní a je jednoznačně pozitivní právě tehdy, když a je injektivní.
Zde H označuje Hilberta konečné dimenze n . Čtvercová matice se složitými koeficienty se nazývá matice s vlastním spojením (nebo hermitovská ), pokud se rovná její připojené matici . V případě, že jeho koeficienty jsou skutečné, odpovídá to tomu, že jde o symetrickou matici . Následující charakterizace je okamžitá, ale velmi užitečná:
Matice sebe navazujícího endomorfismu - Endomorfismus euklidovského nebo hermitovského prostoru se spojuje sám tehdy a jen tehdy, když existuje ortonormální základ, ve kterém je jeho matice spojena samostatně. Navíc, když je tomu tak pro ortonormální základ, je to pro všechny.
Struktura self-spojený endomorfismus v konečné dimenzi (nebo, co se rovná stejné věci, self-připojené matice) je jednoduchá (tato spektrální věta zobecňuje v nekonečné dimenzi v případě kompaktního normálního operátoru ):
Diagonalizace samostatně připojeného endomorfismu a vlastní připojené matice -
Význam „pokud“ je okamžitý, protože skutečná diagonální matice je spojena sama.
Pro hovořit, můžeme použít, že v prostoru, Hermitovské jakékoliv běžné endomorfismů je diagonalizable v ortonormální báze a pokud λ je vlastní hodnota pro a v přidruženou vlastní vektor pak v je eigenvalue o o * o vlastních čísel konjugátu. Při použití těchto endomorphism A, který je nejen normální, ale s vlastním přidá se Hermitian případ výše uvedené věty je prokázána. Euklidovský případ je z toho odvozen složitostí (s některými technickými jemnostmi).
Přímější důkaz konverzace (která využívá techniky redukce normálních endomorfismů) umožňuje vyhnout se složitosti a současně zpracovat hermitovské a euklidovské případy, a to ve dvou krocích: nejdříve ukážeme, že všechna vlastní čísla a jsou skutečný a že v nenulové dimenzi existuje alespoň jeden (dokonce i v euklidovském případě), pak redukujeme a indukcí na dimenzi prostoru:
nebo X *. X je nenulová, proto λ je skutečné.
Například projekce je spojená sama, právě když je to ortogonální projekce a je stejná pro symetrii .
Výše uvedená diagonalizace je přeformulována z hlediska kvadratické formy:
Současné ortogonalizace kvadratické formy a se skalárním součinem - Let H euklidovské nebo Hermitovské prostoru a v | symetrická bilineární forma (resp Hermitian forma.) Na H . Pak existuje ortonormální základ H, který je ortogonální pro Ψ, tj. Ve kterém je matice spojená s Ψ diagonální. Kromě toho jsou všechny koeficienty této matice skutečné.
Jakýkoli normální operátor (zejména jakýkoli automatický operátor) na Hilbertově prostoru má spektrální poloměr rovný jeho operátorské normě . V konkrétním případě, kdy je dimenze konečná, je spektrální poloměr největší z modulů vlastních čísel a důkaz je elementární. (Tento důkaz najdete v podrobném článku Normální operátor ).
Mapování a od H do H se nazývá anti-autoadjoint nebo antihermitianský endomorfismus (ve skutečném případě také říkáme anti-symetrický), pokud - a je doplněk k a . Autoadjoint a antiautoadjoint endomorfismy tvoří v ℒ ( H ) dva další reálné vektorové podprostory .
V matematice umožňuje struktura samomazných endomorfismů řešit lineární diferenciální rovnice , najít ortogonální základ pro dvě kvadratické formy, pokud je jedna kladně definitivní, nebo klasifikovat kvadrics . Ve fyzice , se používá k vyřešení mnoha parciálních diferenciálních rovnic , jako je tomu na vibrační řetězce , nebo pro expresi moment setrvačnosti z A pevné látky . Používá se ve statistikách k stanovení metody nejmenších čtverců nebo ke studiu vzorku pomocí analýzy hlavních komponent . Nakonec je na této vlastnosti založeno mnoho numerických výpočtových metod . Tyto aplikace jsou zpracovány ve spektrální větě článku . Případ nekonečné dimenze je v oblasti funkční analýzy .
V šance a nečekané , Ivar Ekeland na kritice teorie katastrof z René Thom cituje tento vtip argentinský matematik Hector José Sussmann: „V matematice, jména jsou libovolné. Každý může nazvat svého pomocného operátora „slonem“ a spektrální rozklad „kufrem“. Pak můžeme dokázat větu, podle které „každý slon má chobot“. Nemáme však právo tvrdit, že tento výsledek má něco společného s velkými šedými zvířaty. "
„ Konstrukce samostatně navazujících endomorfismů “ , na Université Joseph Fourier , výzkumná skupina pro Cabri Géomètre ,2001
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">