Epigraf (matematika)

Nechť je funkce definovaná na množině s hodnotami v dokončené reálné linii . Epigraf z je sada uvedeno a definováno $F$ $\ mathbb {E}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}} = \ mathbb {R} \ pohár \ {- \ infty, + \ infty \}}$ $F$ $\ operatorname {epi} \, f$

\ operatorname {epi} \, f: = \ {(x, \ alpha) \ in {\ mathbb {E}} \ times \ mathbb {R}: f (x) \ leqslant \ alpha \}.

Je tedy o sadu bodů sady produktů , které se nacházejí nad grafem ( ucho pochází z staré řečtiny a znamená o , výše ). ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ krát \ mathbb {R}}$ $F$

Přísné Epigraf ze je množina uvedeno a definováno $F$ $\ operatorname {epi} _ {s} \, f$

$\ operatorname {epi} _ {s} \, f: = \ {(x, \ alpha) \ in {\ mathbb {E}} \ times \ mathbb {R}: f (x) <\ alpha \}.$

Příklady použití

Epigraf umožňuje přenášet pojmy definované pro množiny do funkcí. Zde jsou dva příklady.

Pokud je topologický prostor , dokážeme, že mapa je inferiorly poloprůběžné tehdy a jen tehdy, pokud jeho epigraf je uzavřený jeden z výrobku topologické prostor . V konvexní analýze je taková mapa považována za uzavřenou. $\ mathbb {E}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {E} \ na {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ mathbb {E}} \ times \ mathbb {R}$
Pokud je reálný vektorový prostor , můžeme říci, že je konvexní , jestliže jeho epigraf je konvexní na produkt vektorového prostoru . $\ mathbb {E}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {E} \ na {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ mathbb {E}} \ times \ mathbb {R}$

Poznámky a odkazy

Tento pojem by neměl být zaměňován s pojmem uzavřené aplikace v obecné topologii .
(in) Charalambos D. Aliprantis a Kim C. Border Infinite Dimensional Analysis: A Stopařův průvodce , Springer ,2007, 3 e ed. ( číst online ) , s. 254.

Související článek

Hypograf