Lineární diferenciální rovnice druhého řádu

Tyto lineární diferenciální rovnice druhého řádu jsou diferenciální rovnice formuláře

ay '' + by '+ cy = d

kde $a , b , c$ a $d$ jsou číselné funkce . Nelze je všechny výslovně vyřešit, nicméně existuje mnoho metod k řešení těch, které mohou být, nebo k provedení kvalitativní studie řešení. Mezi nejjednodušší řešení patří rovnice s konstantními koeficienty (kde $a , b , c$ jsou konstanty).

Linearita rovnice má za následek, že je možné aplikovat metody superpozice řešení, a využít výsledků lineární algebry . Zvláštní role je přenesena na homogenní diferenciální rovnice (kde $d = 0$ ). Existuje obecná teorie lineárních (vektorových) diferenciálních rovnic , ale ty, které jsou studovány v tomto článku, patří mezi nejjednodušší a nejčastěji se vyskytující, zejména ve fyzice.

Homogenní diferenciální rovnice

Rovnice je homogenní, když $d = 0$ . V tomto případě je součet dvou řešení rovnice stále řešením, stejně jako součin řešení konstantou. Sada řešení je proto vektorový prostor a zejména obsahuje zřejmé řešení, funkci null .

Při stálých koeficientech

Jsou ve tvaru kde , $b$ a $c$ jsou reálné nebo komplexní, nenulová (můžeme vždy, vydělením , snížit na případu $A$ $= 1$ ). $ay '' + by '+ cy = 0$

Vyskytují se mimo jiné v modelování pohybu se zpětnou silou ( pružinový typ ), s tlumením nebo bez tlumení nebo dokonce v elektrických obvodech zahrnujících induktor a kondenzátor .

Hledáme řešení v exponenciální formě, tj. Taková, že $f ( x ) = e λx$ . Taková funkce bude řešením diferenciální rovnice právě tehdy, když $λ$ je řešením

a \ lambda ^ {2} + b \ lambda + c = 0. ~

Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice diferenciální rovnice.

Skutečný případ

To je případ, kdy jsou koeficienty skutečné a kde se hledají řešení mezi funkcemi se skutečnými hodnotami. Pokud jde o jakoukoli kvadratickou rovnici , vznikají tři případy podle znaménka diskriminačního $Δ$ charakteristické rovnice.

Pokud

Δ> 0

Charakteristická rovnice má dvě reálná řešení $λ 1$ a $λ 2$ .

Řešení jsou pak funkce definované na ℝ, kde $A$ a $B$ jsou dvě reálné. ${\ displaystyle f (x) = A {\ rm {e}} ^ {\ lambda _ {1} x} + B {\ rm {e}} ^ {\ lambda _ {2} x}}$

K určení těchto dvou konstant je přirozené poskytnout dvě informace o funkci

Toto je obvykle prováděno tím, že počáteční podmínky v bodě $x 0$ , to znamená, že zadáním hodnot $y 0$ a $y ‚ 0$ z $y$ a $y‘$ v tomto okamžiku. V tomto případě je zaručena existence a jedinečnost řešení kontrolujícího tyto počáteční podmínky.
pro mnoho fyzických problémů je časté udávat okrajové podmínky zadáním hodnot $y 1$ a $y 2$ v časech $x 1$ a $x 2$ . Často tedy existuje existence a jedinečnost řešení, ale to není vždy pravda.

Pokud

Δ = 0

Charakteristická rovnice má dvojí řešení $λ$ .

Řešení jsou pak funkce $f$ definované na ℝ, kde $A$ a $B$ jsou libovolná reálná čísla. ${\ displaystyle f (x) = (Sekera + B) {\ rm {e}} ^ {\ lambda x}}$

K určení $A$ a $B$ je nutné, stejně jako v předchozím případě, mít na $f$ dvě informace .

Pokud

Δ <0

Charakteristická rovnice má dvě odlišná komplexní konjugovaná řešení, $u + i v$ a $u - i v$ .

Řešení jsou pak funkce $f$ definované na ℝ pomocí

{\ displaystyle f (x) = {\ rm {e}} ^ {ux} (A \ cos (| v | x) + B \ sin (| v | x))}

kde A a B jsou libovolná dvě reálná čísla.

Poznámka: Toto řešení může být zapsán jako: , $q$ a $r$ jsou jakékoliv dva skutečné (tato forma je někdy pohodlnější). ${\ displaystyle f (x) = q {\ rm {e}} ^ {ux} \ cos (| v | x + r)}$

Stanovení $A$ a $B$ (nebo $q$ a $r$ ) se provádí, stejně jako v předchozích případech, údaji dvou informací na $f$ .

Složitý případ

V případě, že jsou koeficienty komplexní a hledáme řešení mezi funkcemi reálné proměnné se složitými hodnotami, zbývají studovat pouze dva případy:

Pokud je diskriminátor nenulový, má charakteristická rovnice dva odlišné kořeny: $λ 1$ a $λ 2$ a funkce ℝ v ℂ řešení diferenciální rovnice jsou funkce definované tím, kde $C$ $1$ a $C$ $2$ jsou libovolné dva komplexy. ${\ displaystyle f (x) = C_ {1} {\ rm {e}} ^ {\ lambda _ {1} x} + C_ {2} {\ rm {e}} ^ {\ lambda _ {2} x }}$
Pokud je diskriminátor nula, má charakteristická rovnice pouze jedno řešení $λ$ a řešením jsou funkce $f$ definované na ℝ, kde $A$ a $B$ jsou jakékoli komplexy. ${\ displaystyle f (x) = (Sekera + B) {\ rm {e}} ^ {\ lambda x}}$

Konstanty jsou určeny, stejně jako v předchozích případech, údaji dvou informací na $f$ .

Rovnice s nekonstantními koeficienty

To je rovnice ve tvaru , kde tentokrát , $b$ a $c$ jsou digitální funkce, předpokládá se, že kontinuální během studie intervalu I , je funkce není zruší se v každém bodě $I$ (můžeme vždy dělením podle $A$ , být redukován na případ $a$ $= 1$ ). ${\ displaystyle ay '' + od '+ cy = 0}$

Řešení této rovnice není obecně vyjádřeno. Je to z toho důvodu, že v XIX th století byly zavedeny mnoho speciálních funkcí ( Besselových funkcí , funkce Airy ...) je definována jako řešení rovnic je nemožné, aby explicitně řešit. Jakmile je však známé konkrétní (nenulové) řešení rovnice, je možné jej vyřešit úplně.

Věta o struktuře

Cauchy-Lipschitz teorém říká, že množina S o řešení rovnice představuje 2-rozměrný vektorový prostor . Proto řešení diferenciální rovnice znamená vystavení dvou neproporcionálních funkcí řešení: vytvoří základ prostoru S řešení. Takový základ se nazývá základní systém řešení .

Kromě toho, pro jakýkoli bod $x 0$ z I , k aplikaci na počáteční podmínky v průběhu $x 0$

{\ begin {matrix} S & \ longrightarrow & \ mathbb {R} ^ {2} \\ y & \ longmapsto & (y (x_ {0}), y '(x_ {0})) \ end {matrix} }

představuje izomorfismus vektorových prostorů .

Wronskien

Vzhledem k dvěma řešením rovnice je jejich wronskien definován jako funkce $y_ {1}, y_ {2}$

W (x) = {\ begin {vmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) \\ y '_ {1} (x) & y' _ {2} (x) \ end { vmatrix}} = y_ {1} (x) y '_ {2} (x) -y_ {2} (x) y' _ {1} (x)

Pomocí vlastností zrušení determinantu lze izomorfismus počátečních podmínek přepsat na wronskien: obě řešení tvoří základní systém právě tehdy, když je jejich wronskien v bodě nenulový. A v tomto případě se wronskien v žádném okamžiku nezruší.

Přímý výpočet ukazuje, že Wronskian dvou řešení splňuje vztah

W '(x) = - {\ frac {b (x)} {a (x)}} W (x)

což je zvláštní případ Liouvilleova vzorce .

Jde o lineární diferenciální rovnici řádu 1 (bez druhého člena), kterou víme vyřešit. Hodnota Wronskiana je tedy známá, až na multiplikativní konstantu, když si všimneme $A pro$ anteriderivát funkce , získáme pro určitou konstantu $W$ $0$ . $- {\ frac ba}$ ${\ displaystyle W (x) = W_ {0} {\ rm {e}} ^ {A (x)}}$

Aplikace k řešení

Základní aplikací této vlastnosti je možnost řešení rovnice, pokud je známé nenulové řešení $y 1$ . Ve skutečnosti lze nyní vztah číst jako novou lineární diferenciální rovnici řádu 1, neznámého $y$ $2$ . ${\ displaystyle W (x) = y_ {1} (x) y '_ {2} (x) -y_ {2} (x) y' _ {1} (x)}$

Příklad Nechť je rovnice řešena

{\ displaystyle x ^ {2} y '' - xy '+ y = 0}

] 0, + \ infty [.

Je to skutečně rovnice ověření požadované podmínky s funkcí

několika

b

c

kontinuální přes studie intervalu a

na

nikdy nulu. Funkce definovaná

y 1 ( x ) = x

je zřejmým řešením. Wronskian zkontroluje rovnici ; je ve formě

W '(x) = {\ frac 1x} W (x)

{\ displaystyle W (x) = W_ {0} x = xy '_ {2} (x) -y_ {2} (x)}

Je to skutečně lineární diferenciální rovnice řádu 1, s funkcí

x

ne nula na intervalu. Má řešení formuláře

{\ displaystyle y_ {2} (x) = W_ {0} x \ ln x + sekera}

kde

A

je nová libovolná konstanta. Právě jsme zjistili, že všechna původně uvažovaná řešení rovnice řádu 2 mají tuto formu, poznáme tam popis vektorového prostoru dimenze 2 řešení, základní systém je dán řešeními a .

y_ {1}: x \ mapsto x

x \ mapsto x \ ln x

Rovnice s druhým členem

Aplikace principu superpozice

Když má diferenciální rovnice druhý člen ( $d$ je nenulová funkce), je stále možné využít výše uvedené. Rovnice získaná nahrazením $d$ nulovou funkcí se nazývá homogenní rovnice spojená s diferenciální rovnicí; předpokládá se, že bude vyřešen.

Pak stačí najít řešení $y 0$ rovnice s druhým členem, znát je všechny. Řešení diferenciální rovnice jsou ve skutečnosti funkce $y 0 + g,$ kde $g$ je obecné řešení asociované homogenní rovnice.

V případě, že druhý člen $d$ je součet dvou funkcí $d 1$ a $d 2$ :, můžeme se pro konkrétní řešení $s$ $1$ diferenciální rovnice druhý člen $d$ $1$ :, pak konkrétní řešení $s$ $2$ diferenciální rovnice vteřiny člen $z$ $2$ : . Součet $s = s$ $1$ $+$ $s$ $2$ těchto dvou konkrétních řešení je konkrétním řešením výchozí rovnice. Tento princip lze snadno zobecnit v případě, že $d$ je součet více než dvou funkcí. $ay '' + od '+ cy = d_ {1} + d_ {2}$ $ay '' + od '+ cy = d_ {1}$ $ay '' + od '+ cy = d_ {2}$

Všimněte si, že konstanty řešení musí být stanoveny na samém konci rozlišení, když jsme přidali obecné řešení homogenní rovnice a konkrétní řešení rovnice (nebo rovnic) nehomogenní.

Hledejte řešení konkrétního tvaru

Pokud , $b$ a $c$ jsou konstanty (nenulové) a je-li d je produktem polynomické funkce , a goniometrické funkce a exponenciální funkce , hledáme konkrétní řešení stejné formě. Přesněji :

Pokud d má tvar

d: x \ mapsto {{\ rm {e}}} ^ {{mx}} (A (x) \ cos (\ omega x) + B (x) \ sin (\ omega x))

kde A a B jsou polynomy stupně menšího nebo rovného n a kde m a ω jsou reálná čísla, existuje jedinečné řešení tvaru

y: x \ mapsto x ^ {p} {{\ rm {e}}} ^ {{mx}} (\ alpha (x) \ cos (\ omega x) + \ beta (x) \ sin (\ omega x) ))

kde α a β jsou polynomy stupně menšího nebo rovného n a p mohou nabývat tří hodnot:

S ohledem na charakteristickou rovnici	Hodnota P
m + $i$ ω není kořen charakteristické rovnice	p = 0
m + $i$ ω je jednoduchý kořen charakteristické rovnice	p = 1
m + $i$ ω je dvojitý kořen charakteristické rovnice	p = 2

To zahrnuje případ, kdy „polynomy“ A a B jsou jednoduše konstanty ( n = 0), z nichž jedna může být nula a / nebo d neobsahuje exponenciální ( m = 0) a / nebo žádnou trigonometrickou funkci (ω = 0).

Příklady

Zvažte následující diferenciální rovnici:

{\ ddot {y}} (x) + \ omega _ {0} ^ {2} y (x) = {\ frac gm} \ qquad (E)

kde ω 0 je nenulová konstanta. Jsme v případě p = 0. Hledáme proto konstantní konkrétní řešení:

y (x) = K.

Vypočítáme deriváty ve srovnání s $x$ :

y (x) = K.

{\ dot y} (x) = {\ ddot y} (x) = 0

Rovnice ( E ) se poté stává:

K \ omega _ {0} ^ {2} = {\ frac gm}

a pak najdeme řešení nehomogenní rovnice:

y (x) = K = {\ frac g {m \ omega _ {0} ^ {2}}}.

Pokud máme rovnici typu

{\ ddot y} (x) + b {\ dot y} (x) = d,

s $b$ ne nula, jsme v případě p = 1. Hledáme proto konkrétní řešení tvaru Kt .

Dovolit být diferenciální rovnice formy

{\ ddot y} (x) + \ Gamma {\ dot y} (x) + \ omega _ {0} ^ {2} y (x) = A_ {0} \ cos (\ omega _ {e} x) \ qquad (E)

(je to diferenciální rovnice, která řídí periodický harmonický oscilátor, který je vystaven tření v přítomnosti vnější síly).

Víme, že v tomto případě existuje řešení v podobě:

y (x) = B \ cos (\ omega _ {e} x + \ phi)

Můžeme použít složitou exponenciální notaci pomocí . Pózováním získáme takové, že skutečná část $Y$ $($ $t$ $)$ je řešením uvažované diferenciální rovnice. Jeden pak vypočítá deriváty v čase: ${\ displaystyle Y (x) = B {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} (\ omega _ {e} x + \ phi)}}$ ${\ displaystyle B {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ phi} = \ Delta}$ ${\ displaystyle \ Delta {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ omega _ {e} t}}$

{\ displaystyle Y (x) = \ Delta {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ omega _ {e} x}}

{\ displaystyle {\ dot {Y}} (x) = {\ rm {i}} \ omega _ {e} \ Delta {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ omega _ {e } x} = {\ rm {i}} \ omega _ {e} Y (x)}

{\ displaystyle {\ ddot {Y}} (x) = - \ omega _ {e} ^ {2} \ Delta {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ omega _ {e} x } = - \ omega _ {e} ^ {2} Y (x).}

Vložíme tyto tři rovnice do diferenciální rovnice a zjistíme:

{\ displaystyle (- \ omega _ {e} ^ {2} + \ gama {\ rm {i}} \ omega _ {e} + \ omega _ {0} ^ {2}) \ Delta {\ rm {e }} ^ {{\ rm {i}} \ omega _ {e} x} = A_ {0} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ omega _ {e} x}.}

Zjednodušíme to dvěma exponenciály (které nejsou nula):

{\ displaystyle [(\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega _ {e} ^ {2}) + {\ rm {i}} (\ omega _ {e} \ gama)] \ Delta = A_ {0}}

a my to najdeme

{\ displaystyle \ Delta = {\ frac {A_ {0}} {(\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega _ {e} ^ {2}) + {\ rm {i}} (\ omega _ {e} \ Gamma)}}.}

Konstanta $B$ se tedy rovná modulu tohoto komplexního čísla a fázi $Φ$ jeho argumentu:

| \ Delta | = B = {\ frac {A_ {0}} {{\ sqrt {(\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega _ {e} ^ {2}) ^ {2} + ( \ omega _ {e} \ Gamma) ^ {2}}}}}

\ arg (\ Delta) = \ phi = \ arctan \ left ({\ frac {\ operatorname {Im} (\ Delta)} {\ operatorname {Re} (\ Delta)}} \ right) = \ arctan \ left ( {\ frac {\ omega _ {e} \ Gamma} {\ omega _ {e} ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}} \ vpravo).

Konkrétní řešení nehomogenní rovnice ( E ) tedy je

y (x) = {\ frac {A_ {0}} {{\ sqrt {(\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega _ {e} ^ {2}) ^ {2} + (\ omega _ {e} \ Gamma) ^ {2}}}}} \ cos \ left (\ omega _ {e} x + \ arctan \ left ({\ frac {\ omega _ {e} \ Gamma} {\ omega _ {e} ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}} \ right) \ right)

Je třeba poznamenat, že tuto „složitou exponenciální metodu“ nelze použít pro rovnici tvaru

{\ ddot y} (x) + \ omega _ {0} ^ {2} y (x) = \ cos (z (x) x + \ phi).

V tomto případě musí být výraz linearizován pomocí omezených rozšíření.

Fyzické aspekty ( vynucené oscilace , rezonance ) mohou také vést k určité formě řešení.

Obecná metoda

Existuje systematická metoda hledání řešení, známá jako metoda proměnných konstant . Lze to ospravedlnit obecnou teorií lineárních diferenciálních rovnic .

Buď rovnice , nebo dvě nezávislá řešení homogenní rovnice (tedy základní systém řešení). Pak řešení rovnice s druhým členem jsou funkce formuláře , kde jsou funkce třídy a dané systémem $y '' + a (x) \ cdot y '+ b (x) \ cdot y = d (x)$ $y_ {1}, y_ {2}$ $y = \ lambda \ cdot y_ {1} + \ mu \ cdot y_ {2} \,$ $\ lambda, \ mu$ ${{\ mathcal C}} ^ {1}$

\ forall x \ in I, \ qquad {\ begin {cases} \ lambda '(x) \ cdot y_ {1} (x) + \ mu' (x) \ cdot y_ {2} (x) & = 0 \ \\ lambda '(x) \ cdot y' _ {1} (x) + \ mu '(x) \ cdot y' _ {2} (x) & = d (x) \ end {cases}}

V praxi tedy napíšeme tento systém, který připouští řešení pro každé x . Funkce řešení mohou být primitivní a člověk získá nejen jedno, ale všechna řešení rovnice s druhým členem (pokud vezmeme v úvahu konstanty integrace v tomto systému).

Poznámka. Pokud se funkce násobí , můžeme tuto rovnici rozdělit celou rovnicí, abychom se vrátili k zde studovanému případu. $y ''$

Lineární diferenciální rovnice druhého řádu ve fyzice

Rovnice druhého řádu jsou nepochybně nejpoužívanějšími diferenciálními rovnicemi v nejrůznějších oborech. Zejména problémy dynamiky založené na druhém Newtonově zákoně vedou k rovnici druhého (nebo více) řádu, ve které je součin hmotnosti tělesa krát jeho zrychlení roven součtu aplikovaných sil.

S možnou výjimkou základních rovnic fyziky , žádná rovnice představující skutečný jev není skutečně lineární. Předpoklad malých pohybů nicméně často umožňuje zanedbávat malé nelineární výrazy a výše uvedené metody platí pro „přesné“ řešení. Jedná se o klasický problém v různých technických oblastech (viz Oscilační systémy s jedním stupněm volnosti ).

V případech, kdy již nelze pohyby považovat za nekonečně malé, se často stává, že je systém vystaven velmi individualizovaným silám: obnovovací síla, která závisí pouze na pohybu, tlumicí síla, která závisí pouze na rychlosti a vnější síla, která na tom nezávisí. Za těchto podmínek existují techniky linearizace, které umožňují vypočítat koeficienty přizpůsobené amplitudě buzení.

Nakonec se někdy setkáváme s mnohem komplikovanějšími případy, kdy nemůžeme oddělit různé síly. Například vnější síla závisí na poloze systému ve stejném okamžiku, případně podle velmi komplikovaného zákona. Za těchto podmínek musí analytická řešení ustoupit digitálním řešením. Mezi nimi metoda Newmark představuje velmi jednoduchou implementaci, velkou flexibilitu a konvergenci bez přílišných obtíží.

Příklad

Ve fyzice často používáme diferenciální rovnici

\ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} +2 \ lambda \ frac {dx} {dt} + \ omega_0 ^ 2 x = y

Přidružená homogenní diferenciální rovnice

\ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} +2 \ lambda \ frac {dx} {dt} + \ omega_0 ^ 2 x = 0

má následující řešení podle znamení : $\ lambda ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}$

${\ displaystyle \ lambda ^ {2}> \ omega _ {0} ^ {2}: x (t) = {\ rm {e}} ^ {- \ lambda t} \ left (A {\ rm {e} } ^ {\ alpha t} + Be ^ {- \ alpha t} \ right)}$ , s uvedeným neperiodickým režimem , $\ alpha = {\ sqrt {\ lambda ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}}$
${\ displaystyle \ lambda ^ {2} = \ omega _ {0} ^ {2}: x (t) = {\ rm {e}} ^ {- \ lambda t} \ left (At + B \ right)}$ , nazývaný kritický režim ,
${\ displaystyle \ lambda ^ {2} <\ omega _ {0} ^ {2}: x (t) = {\ rm {e}} ^ {- \ lambda t} \ left (A \ cos (\ omega t ) + B \ sin (\ omega t) \ vpravo)}$ , s , uvedl pseudo-periodický režim . $\ omega = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ lambda ^ {2}}}$

Poznamenáváme také tuto diferenciální rovnici (jako funkci času). ${\ ddot x} +2 \ lambda {\ dot x} + \ omega _ {0} ^ {2} x = y$

Můžeme mít také diferenciální rovnici tvaru . V tomto případě a . $a {\ ddot x} + b {\ dot x} + cx = d$ $2 \ lambda = {\ frac {b} {a}}, \ omega _ {0} ^ {2} = {\ frac {c} {a}}$ $y = {\ frac {d} {a}}$

Teorie Sturm-Liouville

Teorie Sturm-Liouville studuje konkrétní případ lineárních diferenciálních rovnic formy

- {d \ over dx} \ left [p (x) {dy \ over dx} \ right] + q (x) y = \ lambda w (x) y,

ve kterém je parametr součástí jako funkce y neznámých. Tato rovnice je často kladena na segment $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ a je doprovázena podmínkami „na hraně“ spojujícími hodnoty . Řešení $λ$ a $y$ problému se pak jeví jako vlastní hodnota a vlastní vektor určitého pomocného operátora v Hilbertově prostoru . Hlavním výsledkem teorie je existence Hilbertovy báze vlastních vektorů spojených s vlastními hodnotami tvořícími přísně rostoucí posloupnost ( Riesz-Fredholmova věta ). $\ lambda$ $y (a), y '(a), y (b), y' (b)$

Vynásobením vhodným integračním faktorem lze libovolnou lineární diferenciální rovnici řádu dva dát ve formě Sturm-Liouvilleovy rovnice.

Reference

Viz dokument Oscilátory na Wikiversity .

Podívejte se také