Historie rovnic

Tento článek popisuje důležitá fakta v historii rovnic od starověku po současnost.

Od starověku po renesanci

Starověk

Starověký Egypt a Babylon

Pokud jde o známé texty v matematice, existují otázky, které bychom dnes modelovali algebraickými rovnicemi . V papyru ze starověkého Egypta čteme : „Když ti písař řekne, že 10 je 2/3 a 1/10 čeho? „ To by mohlo znamenat . Poté není vyvinut žádný algebraický nástroj. Egypťané řeší rovnici prvního stupně metodou pokusů a omylů a Babyloňané mají algoritmy, ale bez jakéhokoli jiného odůvodnění než zkušenosti. ${\ frac 23} x + {\ frac 1 {10}} x = 10$

římská říše

V I prvním století našeho letopočtu. AD, spisy Herona Alexandrijského popisují metodu umožňující aproximaci kladného kořene rovnice, jako je . $x ^ {2} = 2$

Čína

V 263 Liu Hui , čínské matematik publikoval odhad n na 3.1416 s použitím iterativní metody.

První teorie

První krok, který přibližuje obrysy skutečné teorie, provádějí nezávisle tři matematické kultury: Řecko , arabská civilizace a indická civilizace .

Diophantus , matematik III th století , formalizuje arithme dopis, který definuje jako: „Číslo, které má neomezené množství jednotek se nazývá arithme, a jeho charakteristickým znakem je σ. " .

Středověk

Indie a Střední východ

Před Diophante přeloženy do arabštiny, Al-Khwarizmi , 783 - 850 , matematik perského původu, vyvíjí VIII th století podobný nápad. Jeho cizinec se nazývá říkat “ . Stejnou myšlenku má i indický matematik Bhāskara II . V jeho textu nazvaném Bījagaṇita .

Práce al-Khwarizmiho je často považována za zrod oboru matematiky zvaného algebra . Pokud jde o etymologii, název jeho pojednání o rovnicích: Kitâb al-jabr wa al-muqâbala používá termín al-jabr , který se stal algebrou .

V arabštině al-jabr „odpovídá transformaci odčítání v jednom členu na sčítání v druhém členu“ s cílem získat pouze kladné koeficienty. Například: 2 x 2 + 100 - 20 x = 58 se stane al-jabr : 2 x 2 + 100 = 58 + 20 x .

Al-Khawarizmiho práce je rodným listem teorie kvadratických rovnic, v souboru kladných (téměř vždy racionálních) čísel. Al-Khawarizmi se zajímá o všechny kvadratické rovnice, zatímco Diophantus se snažil vyřešit pouze ty, kteří mají řešení, ať už celočíselná nebo racionální. Al-Khawarizmi je systematický, cílem jeho pojednání je nabídnout metodu umožňující s jistotou najít řešení rovnice, pokud existuje.

Geometrie, a zejména geometrie prvků Euklida , napsaná kolem -300 , hraje v této rodící se algebře zásadní roli. Pokud je úhel analýzy Arabů odlišný, protože se snaží vyřešit rovnici , v tomto konkrétním případě druhého stupně, jádro demonstrace je stejné: analýza geometrické konfigurace postavená na základě gnomon .

Omar Khayyam poznamenává, že je možné interpretovat kořen kubické rovnice jako úsečku průsečíku kruhu a paraboly . To již ukazuje použití toho, co později budeme nazývat kartézský souřadnicový systém, a umožňuje si všimnout možné existence několika řešení. O dvě století později, s využitím algebraického i geometrického pokroku, vyvinul Nasir ad-Din at-Tusi několik nástrojů pro teorii rovnic v rámci kubické rovnice. Jeho nástupce Sharaf al-Din al-Tusi ( XII th století) bude studovat přísněji podmínky existence řešení; to ho přivede k tomu, aby se soustředil na problémy lokalizace a oddělení kořenů, což ho donutí definovat pojem maxima algebraického výrazu (zavedením formální derivace polynomu). Další inovace al-Tûsî spočívá v léčbě, současně s geometrickým rozlišením, numerickým rozlišením rovnic třetího stupně.

Evropa

Kolem roku 1000 převzal papež Sylvester II arabské číslice z indického číslování .

Dálný východ

Souběžně s Evropou a Středním východem se v Číně vyvíjejí algoritmy pro řešení rovnic.

Systém pro řešení lineárních rovnic by byl publikován již v dynastii Han , ale nerozšiřuje definici čísel na záporné hodnoty. Tato informace nebyla zmíněna po staletí a mohla být částečně zapomenuta.

V roce 1303 Zhu Shijie , čínský matematik, vydává vzácné zrcadlo čtyř prvků, které zahrnuje vysvětlení jeho metody čtyř prvků, které se používají k označení čtyř neznámých veličin v jedné algebraické rovnici. Zahrnuje záporná čísla. Zdá se toto poznání, že opět šedě až do příchodu jezuitů v Číně na konci XVI th století.

Renesance

Evropa

Kolem 1450, Johannes Gutenberg vynalezl tiskařský lis, který umožňuje na počátku XVI th století se šířit dokumenty napsané ve velmi velkém měřítku. Díky tisku textů Fibonacciho nebo dokonce Luca Pacioliho má Itálie přístup k základním znalostem arabštiny. Tehdejší matematici se zajímali o algebru a především o problém, který stále zůstává otevřený: najít obecnou a přesnou metodu řešení kubické rovnice.

Scipione del Ferro najde jako vzorec pro řešení rovnice : $X ^ {3} + aX = b$

x = {\ sqrt [{3}] {{\ frac b2} + {\ sqrt {\ left ({\ frac b2} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac a3} \ right) ^ { 3}}}}} + {\ sqrt [{3}] {{\ frac b2} - {\ sqrt {\ left ({\ frac b2} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac a3} \ right) ^ {3}}}}}

Zůstává otevřená otázka, jak vyřešit rovnici, pokud ? Tartaglia , mistr v oboru, nazývá rovnici neredukovatelnou . Girolamo Cardano zobecňuje Tartagliin vzorec a přidává k němu imaginární čísla , aby vyřešil případy poté kvalifikované jako neredukovatelné. $X ^ {3} + b = aX$ $4a ^ {3}> 27b ^ {2}$

V teorii rovnic je učiněn nový krok. I když přesný význam výrazu zůstává záhadou, objevila se myšlenka použití většího počtu čísel k vyřešení otázky v teorii rovnic. Ludovický Ferrari, žák Cardana, konečně vyřešil kvartickou rovnici v roce 1540. Bombelli navrhl formalismus umožňující existenci záporných a imaginárních čísel. $\ sqrt {-1}$

Článek Cardanova metoda představuje současné řešení kubické rovnice a rovnice čtvrté třídy s názvem Ferrariova metoda .

Dálný východ

Kolem roku 1590 přijela do Číny jezuitská mise , jejíž součástí byl Matteo Ricci , a vyměnila si vědecké informace s učenci dynastie Ming . Mělo by být známo, že schopnost přesně určit nebeská fakta je nezbytná pro moc čínského císaře a jezuité využívají své horologické a geometrické dovednosti pro přístup do Zakázaného města a získání císařovy přízně. Mei Wending porovná znalosti získané ze Západu s poznatky předků Číňanů a dospěje k závěru:

"Začal jsem přesvědčit sám sebe, že různé konstrukce geometrie jsou srozumitelné, zatímco oni [západní lidé] z ní udělali tajné učení od bohů a my [čínští] je odmítáme jako kacířství." Ani jeden, ani druhý nemá vyvážený úsudek o geometrii. "

Diferenciální rovnice

Mechanické rozlišení

Jak říká Newton sám,

"Je užitečné řešit diferenciální rovnice." "

Jakmile se analýza rozběhla pod popudem Newtona , Leibnize a Bernoulliho , zabývali jsme se řešením geometrických problémů pomocí tohoto nástroje. A ještě více pomocí mechanických nástrojů. Od roku 1692 do roku 1752, po šedesát let, byl vyvinut celý strojírenský průmysl, jehož cílem bylo grafické řešení diferenciálních rovnic. Pojednání Vincenza Riccatiho , De usu motus traktorii in constructione æquationum differentialium , publikované v roce 1752, je v tomto ohledu docela pozoruhodné na technice, která dosáhla svého vrcholu a která v časových meandrech úplně zmizí do té míry, že jakmile znovu vyvstane potřeba mít mechanické nástroje, integrografy, v letech 1880 až 1920 najdeme stará řešení, aniž bychom věděli, že taková řešení existovala před více než stoletím. Diferenciální analyzátor je vrcholem této metody.

Analogové rozlišení

Stejným způsobem jsme se pokusili analogickým způsobem vyřešit parciální diferenciální rovnice pomocí fyzikálních jevů na počátku těchto rovnic. To znamená, že Laplaceova rovnice je řešen elektrickým analogie a tato metoda se učí na vysokých školách alespoň v polovině 1970. Elektronické kalkulačky Analogové se objevily. První by Helmut Hoelzer se datuje od konce 1930 a brzy 1940 pro studium V1 , V2 a V3 z Třetí říše . Podstatným prvkem těchto trubicových zařízení nebo následně tranzistorů je operační zesilovač .

Diferenciální rovnice v XVII -tého století a XVIII th

Problémy nastávající nebo vedoucí k diferenciálním rovnicím jsou stejně staré jako samotná analýza. Ještě předtím, než jsme zcela objasnili otázku nekonečně malých a nalezených (prozatímních) základů, jsme již zaneprázdněni řešením tečných problémů, které vždy vedou k diferenciální rovnici. Stejným způsobem, od počátků klasické mechaniky, známé jako Newtonian, se člověk snaží řešit problémy n hmotných bodů, které všechny vedou k integraci systému 3n diferenciálních rovnic druhého řádu, kde neznámé jsou časové funkce představující souřadnice bodů.

Postupně si zvyknete na to, že neznámá rovnice může být funkcí. Funkce má v tuto dobu stále a po dlouhou dobu vágní stav. Ani základní funkce nejsou bezproblémové. Celá matematická Evropa zaměstnává dlouhou polemiku v otázce logaritmů záporných čísel. Leibniz je tedy proti Eulerovi, který jako jediný vidí správnou odpověď.

K matematik pozdní XVII th století a na počátku XVIII th , řešení diferenciální rovnice je napsat obecné řešení rovnice, a s výhodou v konečných podmínek se základními funkcemi. O problému počátečních podmínek zde není pochyb.

V té době byla k řešení diferenciálních rovnic použita celá řada metod bez formalit. Nezajímá nás konvergence těchto řad, které se mají neustále sbližovat. Dokonce Euler, největší matematik XVIII -tého století, neviděl problém. Jde tak daleko, že integruje a odvozuje řady, jejichž poloměr konvergence je 0, aniž by si všiml, že tak našel protiklady víry v době, kdy Taylorova řada konverguje. Když je konfrontován s numerickým výpočtem na takových nekonvergentních řadách, jeho matematický talent mu říká, že je vhodné zastavit se na nejnižší hodnotě v absolutní hodnotě. Asymptotické série nejsou daleko, ale bude nějakou dobu trvat, než se konceptualizuje otázka, která bude skutečně řešena až o sto let později. Stirling na své straně s de Moivrem interpoloval faktoriální funkci, jejíž Euler dá integrální reprezentaci. Opět se jedná o asymptotický vývoj.

Další otázkou, která hodně zabírá, je napsat řešení diferenciálních rovnic zahrnutím pouze konečných výrazů elementárních funkcí. Leibniz je tedy slibnou metodou rozkladu na jednoduché prvky. Počet rovnic, které víme, jak v té době řešit touto metodou, se neustále zvyšuje, je stále poměrně malý. Například Bernoulli vědí, jak integrovat lineární rovnici a některé další prvního řádu. Na tento krátký seznam Riccati přinese v roce 1722 nový případ.

Pro první příkaz diferenciálních rovnic formě , Alexis Clairaut použití poprvé násobič, funkce tak, že se produkt podle rovnice změní to do přesné totální diferenciál , který umožňuje, aby byl integrován do formy . Euler tuto metodu vyvine. $P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0$ $M (x, y)$ $dV (x, y) = 0$ $V (x, y) = {\ text {konstantní}}$

Clairaut si jako první v roce 1734 všiml na rovnici existence singulárního řešení. Do rodiny přímek, která je obecným vyjádřením integrálních křivek, je nutné přidat obálku této rodiny, aby měla všechna analytická řešení rovnice. D'Alembert v roce 1748 našel druhý případ singulárního integrálu. Ale je to Euler a Lagrange, kdo objasňuje, co se děje obecně, tím, že ukazuje, že křivka získaná eliminací y 'mezi dvěma rovnicemi a je obecně lokusem singulárních bodů integrálních křivek rovnice . Pokud splňuje rovnici , je křivka singulárním řešením rovnice. $y-xy '+ f (y') = 0$ $y = Cx + f (C)$ $C (x, y) = 0$ $F (x, y, y ') = 0$ ${\ frac {\ částečné F} {\ částečné y '}} = 0$ $F (x, y, y ') = 0$ $y '{\ frac {\ částečné F} {\ částečné y}} + {\ frac {\ částečné F} {\ částečné x}} = 0$ $C (x, y) = 0$

Pokud je známo, z konce XVII th století integrovat lineárních diferenciálních rovnic prvního a druhého řádu s konstantními koeficienty exponenciální součty, vyčkejte 1760 pro teorie přijde do konce lineárních diferenciálních rovnic konstantními koeficienty libovolném pořadí. V roce 1739 Euler setkání lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty 4 tého řádu na problém vibrací, který pochází nejasné integrovat. Bylo to v roce 1743, kdy vytvořil to, co se dnes nazývá charakteristická rovnice : řešení jsou ve formě, kde rs jsou řešeními polynomiální rovnice. O něco později zjistí, jak získat všechny integrály, když je kořen r charakteristické rovnice vícenásobný: musíme je hledat ve formě . $e ^ {{rx}}$ $x ^ {k} e ^ {{rx}}$

D'Alembert poznamenává, že pro nehomogenní lineární diferenciální rovnice, přidání konkrétního řešení k obecnému řešení homogenní rovnice dává obecné řešení homogenní rovnice. Lagrange ukazuje, že obecné řešení lineární diferenciální rovnice řádu n má formu, kde jsou vhodně zvolena konkrétní řešení rovnice. Lagrange také zavádí metodu variace konstant k řešení kvadraturami nehomogenní lineární rovnice, pokud člověk zná obecné řešení homogenní rovnice. D'Alembert za sebe poznamenává, že pokud známe konkrétní řešení , pózováním redukujeme integraci lineární rovnice řádu n homogenní s rovnicí stejného typu řádu n-1 v z: pořadí je snížen. $\ sum _ {{k = 1}} ^ {n} C_ {k} y_ {k}$ $y_ {k}$ $y_ {1}$ $y = zy_ {1}$

Pro lineární rovnice používá Euler také celou řadu. Pak si všimne, že někdy potřebujeme rozšíření formy, kde S (x) je celočíselná řada a neceločíselný exponent. Toto téměř století před prací Fuchse a Frobeniuse. Pro rovnici druhého řádu ví, jak vytvořit určující rovnici, a také v případě, že je celé číslo, pozoruje , že existuje druhé řešení s logaritmickým výrazem. $x ^ {\ lambda} \ krát S (x)$ $\ lambda$ $\ lambda$ $\ lambda$

V mechanice se otázka v podstatě točí kolem problému n těles nebeské mechaniky. 3n diferenciální rovnice jsou zpracovány z Keplerianova řešení: nejprve zanedbáme všechna ostatní těla kromě dvou, těla, jehož pohyb studujeme, a Slunce. Ostatní těla pak vypadají, že jsou ovlivněna malými parametry. Řešení vyvíjíme v celých sériích a snažíme se, jak je to jen možné, vyhnout se výskytu neperiodických výrazů. Clairaut, D'Alembert, Euler, Lagrange a Laplace věnují mnoho pamětí k prokázání stability sluneční soustavy. Stabilita je věrohodná, ale není prokázána ve velkém měřítku.

První příklad problému Sturm-Liouville uvádí D'Alembert o vibracích nehomogenního řetězce. D'Alembert uvažuje o diferenciální rovnici , jejíž řešení splňuje okrajovou podmínku y (0) = y (a) = 0 a kde m je parametr, jehož hodnotu hledá, aby řešení nezmizelo v intervalu l '] 0, a [. Vytvoří přidruženou Riccatiho rovnici a s několika mezerami v úvahách ukazuje, že při zodpovězení otázky existuje pouze jedna hodnota m. $y '' = moje (x) y$

Riccatiho rovnice, fáze I: od Riccati po Eulera

Riccatiho diferenciální rovnice má tvar Můžeme ji vidět jako diferenciální rovnici, jejíž funkci jsme vyvinuli v y na pořadí dva. $y '= a (x) y ^ {2} + b (x) y + c (x).$ $y '= f (x, y)$ $f (x, y)$

Zpočátku je to jednodušší formy. Přestože ji diferenciální rovnice studovala Jacques Bernoulli , nese jméno hydraulika a matematika Jacopa Riccatiho , který se o tuto rovnici zajímal dlouho předtím, než navrhl její řešení svým kolegům., V roce 1724. Je známý , v tuto chvíli integrovat určité diferenciální rovnice zmenšením pořadí a oddělením proměnných. Jeho problém okamžitě přiměl Bernoulliho reagovat: rovnici studovalo několik z nich a znají případ integrace pomocí kvadratury. Víme však, že Jacopo Riccati již dlouho zná případ integrace pomocí kvadratury. Tato rovnice je tedy integrována pouze v případě, že n se rovná 2 nebo ve tvaru -4m / (2m + 1) nebo -4m / (2m-1), kde m je kladné nebo nulové celé číslo. $y '= ay ^ {2} + bx ^ {n}.$

V ostatních případech však každý hledá řešení kvadraturou. Když se v roce 1751 objevila encyklopedie Diderota a d'Alemberta , četli jsme o tom

"RICATI (rovnice) algebry." Integrální výpočet. Říkáme tedy diferenciální rovnici prvního řádu se dvěma proměnnými, které hrabě Ricati navrhoval inspektorům kolem roku 1720 a pro které dosud nikdo nedal obecné řešení. Možná není pravděpodobné, že by jednu měla v konečném znění.

Tato rovnice má tvar . Zjistili jsme, že pokaždé, když m = (- 4 h) / (2 h ± 1), přičemž h je kladné celé číslo, propozice se redukuje na , z čehož si vezmeme , abychom to dokázali, stačí, aby se y rovna & , & najdeme hodnoty q, r, ac. tak, že dojde k redukci, přičemž hodnota y v y '& x' je pouze konečný počet členů. " $dy + y ^ {2} dx + ax ^ {m} dx = 0$ $dy '+ y' ^ {2} dx '+ a'dx' = 0$ $a'dx '= - (sdy') / (1 + y '^ {2})$ $y'x '^ {p} + cx' ^ {q} + ex '^ {r} \ ldots$ $x = a'x '^ {n}$

Ve skutečnosti nelze tuto rovnici vyřešit nedefinovanými kvadraturami.

Euler ukázal v roce 1760, že změna proměnné formy transformuje Riccatiho rovnici na lineární diferenciální rovnici druhého řádu ve w: $y (x) = - w '(x) / a (x) w (x)$

a (x) w '' - (a '(x) + b (x) a (x)) w + a ^ {2} (x) c (x) w = 0.

A naopak ví, jak převést lineární diferenciální rovnici druhého řádu na rovnici Riccati, což mu někdy umožňuje integrovat ji kvadraturou.

Euler a Lagrange používají vlastnost, kterou Riccatiho rovnice transformuje do jiné Riccatiho rovnice tím, že představují řešení homografické funkce (s funkčními koeficienty x) jiné neznámé, aby rozšířili řešení na spojitý zlomek.

Riccatiho rovnice, fáze II: Galoisova teorie

Émile Picard ukázal existenci spojité skupiny homogenních lineárních transformací s n proměnnými pro každou lineární rovnici řádu n, přičemž tato skupina měla vlastnosti podobné vlastnostem skupiny substitucí algebraické rovnice. Ve své práci obhájené v roce 1892 položil Vessiot základy Galoisovy teorie lineárních diferenciálních rovnic. Dokazuje tak následující věty

„Aby byla lineární rovnice integrovatelná kvadraturou, je nutné a dostatečné, aby byla skupina transformací této rovnice integrovatelná.“

"Obecná diferenciální rovnice řádu n (n> 1) není integrovatelná kvadraturami"

„Pokud je lineární rovnice integrovatelná kvadraturami, logaritmická derivace jednoho z jejích integrálů je vyjádřena racionálně,“

výsledek dříve prokázaný Liouvillem v případě diferenciální rovnice druhého řádu typu , kde P je polynom v x. $y '' = Py$

To umožňuje dospět k závěru, že Riccatiho rovnice není obecně řešitelná kvadraturou. Rovněž se ukázalo, že obecným řešením Riccatiho rovnice je homografická funkce integrační konstanty.

Kvadraturní rozlišení: moderní obrození

Otázka řešení diferenciální rovnice v konečných termínech je starý problém. Painlevé v roce 1904 prohlásil

„Vlna se zastavila, když bylo integrováno vše, co bylo integrovatelné do přírodních problémů,“

a věřil, že tato otázka je definitivně vyřešena. Mysleli jsme si, že nikdy nebudeme schopni najít algoritmus umožňující zjistit, zda je diferenciální rovnice řešitelná vzorcem. Dnes se však o tuto problematiku jednoznačně obnovilo zájem. Asi padesát let víme, zda diferenciální rovnice připouští řešení vyjádřené vzorcem nebo zda je nutné se uspokojit numerickým výpočtem. Toto je řešení uzavřené formy, navazující na práci Oysteinovy rudy ve 30. letech na nekomutativních polynomech. Zavedení Gröbnerových bází umožnilo realizaci algoritmů vhodných pro formální výpočty, jak na samotných diferenciálních rovnicích, tak na parciálních diferenciálních rovnicích. Výkonný software se vyrábí od roku 1980, což značně rozšiřuje výpočetní možnosti inženýrů. Stále se však omezují na nejjednodušší rovnice. Například v mechanice tekutin to neumožňuje studium modelů turbulence.

Věty o existenci a jedinečnosti

Matematici XVIII . Století E bez diskuse připouštějí existenci řešení diferenciálních rovnic nebo částečných derivací, aniž by hledali doménu existence těchto řešení. Používají hlavně celé řady metodou neurčitých koeficientů, když nemohou integrovat rovnici kvadraturou. Jejich důvěra je vložena do Taylorovy věty a nekladou si otázku konvergence této řady. Na druhé straně vědí, že daný bod a funkce v tomto bodě stejně jako jeho deriváty n-1 určuje řešení diferenciální rovnice . $y ^ {{(n)}} = f (x, y, y ', ..., y ^ {{(n-1)}})$

Teprve Cauchy, kolem roku 1820 , bylo přistoupeno k existenci řešení diferenciální rovnice , kde se předpokládá, že f je v každé proměnné kontinuálně diferencovatelné. Jde o prokázání, že daný bod (x0, y0) existuje řešení a pouze takové, které splňuje diferenciální rovnici a které prochází tímto bodem, přičemž tato funkce je definována v malém intervalu kolem x0. Je zřejmé, že zatím neklademe otázku komplexních řešení. Je tedy pro Cauchyho, na rozdíl od jeho předchůdců, problémem existence a lokální jedinečnosti, protože nevíme, jak daleko se řešení rozšíří. Cauchy proto opět použije Eulerovu metodu s krokem h. Vypočítá tedy přibližné řešení, po částech afinní, rovnice a pomocí věty o průměru může zvětšit rozdíl mezi dvěma přibližnými řešeními pro dvě různé výšky h a h 'jako funkci f a x0 a y0, ale ne rozdíl. Ukazuje tedy, že přibližné řešení uh (x) má tendenci k funkci u (x), která je jedinečným řešením rovnice, když h má tendenci k 0. Jeho důkaz platí, všimne si, pro systémy diferenciálních rovnic tak, že získá Věta o existenci a jedinečnosti pro diferenciální rovnice libovolného řádu. $y '= f (x, y)$

Bez znalosti práce Cauchyho, Lipschitz , v roce 1868, našel výsledek Cauchyho, ale tam, kde Cauchy předpokládal rozlišitelnost f, Lipschitz poznamenává, že to v žádném případě není nutné a že stačí, aby existovala řada k přísně pozitivních tak, že . Toto je stav Lipschitze. $| f (x, y1) -f (x, y2) | <k | y1-y2 |$

V roce 1837 Liouville použil pro konkrétní případ lineární rovnice druhého řádu postupnou aproximační metodu: posloupnost funkcí určíme nastavením u (x0) = y0 a použitím rekurence . Pokud je splněna Lipschitzova podmínka, jsou definovány v sousedství x0 a konvergují rovnoměrně k řešení u rovnice s u (x0) = y0. Podle otce Moigna by Cauchy také použil tento proces přibližně ve stejnou dobu. Ale tento proces upadl v zapomnění až do roku 1870, kdy se znovu objevil pod perem Carla Neumanna a Hermanna Amanduse Schwarze o Dirichletově problému . Je to Émile Picard, kdo od roku 1890 předvede plodnost metody postupných aproximací tím, že ji aplikuje na velké množství existenčních problémů funkčních rovnic. Následně Banach formuluje metodu v obecném rámci. $u_ {n} '(x) = f (x, u _ {{n-1}} (x))$ $u_ {n} (x)$

Émile Picard navíc ukazuje, že metoda postupných aproximací poskytuje holomorfní řešení v sousedství (x0, y0), když je druhý člen sám analytický. Tento výsledek získaný Cauchy v roce 1831, plně odůvodněna proces formálních řady analytiků XVIII -tého století. Ale Cauchy získal svůj výsledek z metody horní meze (kterou nazval „výpočet mezí“): Pokud vyvineme v okolí (x0, y0) funkci f (x, y) jako dvojitou celočíselnou řadu, máme Funkce f (x, y) se „zvýší“ o F (x, y) v okolí (x0, y0), pokud se koeficienty expanze f (x, y) zvýší o koeficienty expanze F (x, y). Takže máme . $f (x, y) = \ sum _ {n} \ sum _ {m} c _ {{n, m}} (x-x0) ^ {n} (y-y0) ^ {m}.$ $| c _ {{n, m}} | \ leq C _ {{n, m}}$

(ve výstavbě)

Obyčejné lineární diferenciální rovnice s proměnnými koeficienty. Fuchsova teorie

V roce 1866 studoval Fuchs singulární body řešení běžné diferenciální rovnice s proměnnými koeficienty, z nichž lze oddělit derivaci nejvyššího řádu. Zajímal se o řešení, která jsou vyvíjena sériově v blízkosti singulárního bodu koeficientů.

Uvažujme diferenciální rovnici druhého řádu s proměnnými koeficienty. Pokud je pravidelný bod a , říká se, že bod je pravidelný. Řešení lze vyvinout v celočíselných konvergentních řadách v okolí . Jinak je to singulární bod. $P (x) y '' + Q (x) y '+ R (x) = 0$ $na$ $Q (x) / P (x)$ $R (x) / P (x)$ $na$ $na$

Pokud je singulární bod takový, že stejně jako jsou vyvíjitelné v konvergentních celočíselných řadách, pak se nazývá regulární singulární bod. Jinak se o bodu říká, že je nepravidelný singulární. $na$ $(xa) Q (x) / P (x)$ $(xa) ^ {2} R (x) / P (x)$ $na$ $na$

V této souvislosti získáme následující větu kvůli Fuchsovi:

"Pokud je pravidelný bod, existuje jedinečné řešení vyvinuté v celé sérii na disku, kde je nejmenší z poloměrů konvergence celé řady a ." $na$ $| xa | <r$ $r$ $Q (x) / P (x)$ $R (x) / P (x)$

Pokud je pravidelným singulárním bodem, existuje jedinečné řešení vyvinuté v celé sérii na disku , kde je nejmenší z poloměrů konvergence celé řady a . " $na$ $| xa | <r$ $r$ $(xa) \ Q (x) / P (x)$ $(xa) ^ {2} \ R (x) / P (x)$

Budeme tedy hledat řešení formy , která je skutečná. Takto je například řešena Besselova rovnice. Besselovy funkce, které jsou řešením Besselových rovnic, jsou tlumené oscilace, nacházejí se zejména v difrakčních systémech (optika, fyzika částic, elektromagnetismus), ale také jako vlastní funkce kruhové membrány (bubnu) ... $(xa) ^ {c} \ sum _ {{n \ geq 0}} a_ {n} (xa) ^ {n}$ $vs.$

Diferenciální rovnice bez pevného kritického bodu

Rozlišení diferenciálních rovnic ukázalo, že řešení závisela na integračních konstantách a na podmínkách problému (například Cauchyovy podmínky). V určitém intervalu bylo definováno řešení a tento interval existence obecně závisel na problému. Jeden tedy uvažoval, jestli existují případy, kdy řešení připouštějí pevné singulární body, to znamená nezávisle na podmínkách problému. Briot a Bouquet v roce 1855 zaútočili na otázku diferenciálních rovnic (nelineárních) prvního řádu v komplexním poli. Navrhují tedy určit rovnice, které mají pouze mobilní póly. Tyto studie pokračují s Émile Picardem a Henri Poincaré. U diferenciálních rovnic y '= g (y, s) / h (y, s), kde g a h jsou polynomy v y bez společného faktoru s holomorfními koeficienty v s, Painlevé důsledně demonstruje (co Briot a Bouquet), že a řešení y nemůže mít žádný limit, konečný nebo nekonečný, když má proměnná s tendenci pohybovat se singulárním bodem. Jinými slovy, základní singularita a může být pouze bodem neurčitosti (v y) poměru g (y, a) k h (y, a) a tyto body jsou pevné a izolované. Řešení y (y) má tedy sklon k limitu, který může být konečný nebo nekonečný, když s má sklon k mobilnímu singulárnímu bodu a. Pokud je limit konečný, pak a je pól g / h a bod větvení řešení, který je ve tvaru, kde k je řád pólu g / ha u (s) je holomorfní v sousedství na. Dedukujeme, že jediné rovnice této formy bez pohyblivého větvicího bodu jsou Riccatiho rovnice s holomorfními koeficienty. $y (s) = (sa) ^ {{1 / (k + 1)}} u (s)$

Otázkou je ještě další obtížnost diferenciálních rovnic řádu 2. Painlevé skončilo v roce 1899 pro diferenciální rovnice tvaru y "= f (s, y, y '), kde f je racionální funkce v y a y ‚s holomorfních koeficienty v s. To určuje diferenciální rovnice, pro které neexistuje žádná mobilní nezbytné singulární bod ani mobilní odbočení změnami proměnné a funkce v závislosti analyticky na parametru t tak, že , snižuje rovnici do tvaru Y" = G (S, Y, Y ', t), takže pro hodnotu t0, například t = 0, parametru lze rovnici explicitně integrovat. Pokud rovnice nemá ani mobilní základní singulární bod, ani mobilní větvicí bod pro t odlišný od t0, ukazuje, že je stejná pro t = t0. Jelikož známe řešení rovnice pro t0, poskytuje to nezbytné podmínky, aby jakýkoli integrál počáteční rovnice měl pouze pohyblivé póly. Opakovanými aplikacemi tohoto procesu Painlevé a Gambier dospěli k 50 typům rovnic, z nichž 44 je výslovně integrovatelných nebo které známe jako první integrál. Stále existuje 6 případů, které nelze léčit tímto způsobem. Nejjednodušší je y "= 6y² + s, kterému Painlevé dokázal ukázat, že jeho řešení byla jednotná a měla pouze mobilní póly a že nebyla vyjádřena elementárními nebo eliptickými funkcemi. Tito transcendenti se od té doby nazývají transcendentem Painlevé . $s = s0 + t ^ {n} S$ $y = y0 + t ^ {m} Y$

Zveřejněním své práce v roce 1902 v Acta mathematica Painlevé uvedl v tabulce své výsledky, ale zapomněl na případ, který dokončil Gambier ve své diplomové práci obhájené v roce 1909.

Provozní výpočet

V roce 1893 použil anglický inženýr Oliver Heaviside v článku „Operátoři matematické fyziky“ ke studiu přechodných jevů v elektrickém vedení metodu řešení diferenciálních rovnic jak původních, tak neopodstatněných, dokonce i jejím autorem, který v tomto prohlašuje mějte na paměti, že jídlo neodmítáme, protože jsme plně nepochopili, jak funguje trávení! Jeho metodou je použití písmene p namísto operátoru diferenciace d / dt. a uvažovat stejným způsobem, že 1 / p je operátor integrace ... Ve skutečnosti provádí algebraický výpočet na p poté, co přeložil hledanou funkci, a na konci se vrátí k původnímu. To vše ponechává „vážné“ matematiky ohromené, ale přesto bez vysvětlení souhlasí s tím, že Heavisideova metoda přináší očekávané výsledky.

V zásadě se jedná o zobecnění známé metody, Fourierova transformace. V roce 1917 Carson ukazuje, že Heavisideovu metodu lze vysvětlit, vezmeme-li v úvahu integrální transformaci, která spočívá ve spojení s funkcí f (t) její transformaci, funkci g (p) = Lf (t) definovanou

g (p) = Lf (t) = p \ int _ {0} ^ {\ infty} {{\ rm {e}}} ^ {{- pt}} f (t) ~ {{\ rm {d} }} t.

Brzy jsme si všimli, že Heavisideova metoda měla své předchůdce, Laplace, Lagrange ve své „Analytical Mechanics“ v roce 1788, Poisson v roce 1815, Abel v roce 1830. Výsledkem je, že metoda dnes nese název „transformace de Carson-Laplace“ nebo pouze „Laplaceova transformace“. V návaznosti na to použijeme celou řadu funkčních transformací, jako jsou Mellin, Fourier, bilaterální Laplaceovy transformace (integrál je na R místo na R +) ... Uvedené transformace jsou dobře studovány, Lerch, Carson , Bromwich … Byl to Paul Lévy, kdo v roce 1926 ukázal jedinečnou vzájemnost mezi Carson-Laplaceovým integrálem a Mellin-Fourierovým integrálem: Pokud známe Carson-Laplaceovu transformaci g (p) (jednostrannou) funkce f (t), funkce je dáno vzorcem (Mellin-Fourierův integrál)

f (t) = {\ frac 1 {2 {{\ rm {i}}} \ pi}} \ int _ {{c - {{\ rm {i}}} \ infty}} ^ {{c + { {\ rm {i}}} \ infty}} {{\ rm {e}}} ^ {{pt}} {\ frac {g (p)} p} ~ {{\ rm {d}}} str.

Zveřejňují se korespondenční tabulky. Van Der Waerden ve 20. letech 20. století ji použil v analytické teorii čísel k prokázání věty o prvočísle ...

Uplatnění Laplaceovy transformace na některé parciální diferenciální rovnice je transformuje na běžné diferenciální rovnice. Například rovnice tepelné difúze ve válci nekonečné délky a poloměru 1, jehož počáteční teplota je 0 a jehož stěna je udržována na konstantní teplotě rovné 1 od t = 0. u (ρ, t) udávající teplotu v čase t v bodě ve vzdálenosti ρ od osy válce. V příslušném systému jednotek máme

{\ frac {\ částečné u} {\ částečné t}} = {\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné \ rho ^ {2}}} + {\ frac 1 {\ rho}} {\ frac {\ částečné u} {\ částečné \ rho}}

u nichž předpokládáme počáteční podmínky

u (\ rho, 0) = 0 \; 0 \ leq \ rho <1

u (1, t) = 1; t> 0

Pózováním najdeme diferenciální rovnici $U (\ rho, p) = Lu (\ rho, t)$

pU = {\ frac {d ^ {2} U} {d \ rho ^ {2}}} + {\ frac 1 {\ rho}} {\ frac {dU} {d \ rho}},

což je Besselova rovnice.

Pro účely teorie parciálních diferenciálních rovnic je vynalezen operační vícerozměrný počet.

Parciální diferenciální rovnice

Nejprve jsou problémy, které obvykle vedou k parciální diferenciální rovnici, vyřešeny ad-hoc, nejčastěji geometrickými metodami. Nepíšeme parciální diferenciální rovnici. Není proto překvapením, že se první parciální diferenciální rovnice objeví až docela pozdě.

První objednávka

Teorie integrace parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu pochází pouze z roku 1734. Eulerova myšlenka je redukovat uvedenou integraci na obyčejné diferenciální rovnice. Eulerovy ukazuje, že rodina funkcí v závislosti na dvou parametrech A a B na formu z = f (x, y, a, b) splňuje prvního řádu parciální diferenciální rovnice eliminací a a b mezi parciálních derivací , a z. Naopak taková rovnice připouští řešení v závislosti na libovolné funkci. Podaří se mu tak integrovat několik rovnic tohoto typu. ${\ frac {\ částečné z} {\ částečné x}}$ ${\ frac {\ částečné z} {\ částečné y}}$

D'Alembert zakládá své integrační procesy na dvou principech:

Hodnota druhé derivace funkce dvou proměnných je nezávislá na pořadí diferenciací s ohledem na tyto proměnné (věta způsobená Eulerem, ke které je ale třeba přidat podmínky)
Vytvoření přesného celkového rozdílu pomocí dvou vztahů a integrace druhého dává integrál. $dz = pdx + qdy$ $F (x, y, z, p, q) = 0$

O dvacet let později, v letech 1768-1770, vydal Euler ve svém Institutiones calculi integralis svazek 3 věnovaný těmto rovnicím, kde aplikoval uvedené principy na poměrně velký počet rovnic, ale v určité formě. Clairaut se již v roce 1740 a analogicky s obyčejnými diferenciálními rovnicemi setkal s přesnými celkovými diferenciálními rovnicemi rodiny povrchů.

Lagrange v memoářích z roku 1785 shrnuje dobové znalosti těchto otázek. Může integrovat pouze 11 typů parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu.

Řešení integrace těchto rovnic mělo přijít od málo známého matematika, který zemřel v roce 1784, Paula Charpita . Jeho práce předložená v roce 1784 Akademii věd nebyla nikdy zveřejněna a zůstala po dlouhou dobu záhadou. Věděli jsme jen to, co o tom Lacroix napsal, což vedlo k mnoha nepravdám, dokud nebyla nalezena kopie memoárů v roce 1928. Charpit vycházel z memoárů Lagrangeových z roku 1772 a napsal to, nyní to nazýváme diferenciální rovnice charakteristik. Pokračuje tím, že naznačuje, že stačí integrovat tyto rovnice, pokud jsou řešitelné, s rovnicí F (x, y, z, p, q) = 0, vzhledem k derivátům p a q. Takto získá úplný integrál integrací rovnice s celkovými diferenciály . Jedná se o klasickou metodu integrace parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu, kterou najdeme v lekcích analýzy. $dz = pdx + qdy$

Lagrange si uvědomil Charpitovu monografii až v roce 1793, což vysvětluje, proč monografie z roku 1785 věděla, jak integrovat pouze 11 typů rovnic. Těchto 11 typů dokonale vysvětluje Charpit, který je bere jako příklady své metody. Charpit však neprokázal inverzní věty nezbytné pro přísnost jeho metody:

Libovolný integrál charakteristik definuje řešení odpovídající lineární parciální diferenciální rovnice.
Jakýkoli integrál charakteristik splňuje Eulerovu podmínku

{\ frac {\ částečné p} {\ částečné y}} + {\ frac {\ částečné p} {\ částečné z}} q = {\ frac {\ částečné q} {\ částečné x}} + {\ frac { \ částečné q} {\ částečné z}} str.

Tyto věty bude dokazovat Jacobi .

Lagrange, čtyři roky poté, co si přečetl Charpitovu monografii v roce 1797, zachází s těmito otázkami komplikovaněji než Charpit ve své Teorii analytických funkcí .

Monge ve svých Aplikacích analýzy na geometrii v roce 1809 ukazuje, že řešení jsou kontaktní křivky s obálkou integrálního povrchu a že p a q určují roviny tečné k tomuto povrchu podél křivky.

Jména Charpit, Lagrange a Monge jsou určitě spojena s tím, co se stane metodou charakteristik.

V roce 1815 Pfaff rozšířil Charpitovu metodu a dal první metodu integrace parciální diferenciální rovnice jedné neznámé funkce do libovolného počtu nezávislých proměnných. Tento proces bude postupně zjednodušen Cauchy v roce 1819 a poté Jacobi v roce 1836.

Jacobi je tedy u zrodu metod integrace, které lze kvalifikovat jako moderní, což umožňuje dokončit integraci tam, kde tradiční procesy narážely na potíže. Bertrand znovu objevil základy Jacobiho úvah v roce 1852, předtím, než vyšla Jacobiho posmrtná monografie. Bour k tomu významně přispěl.

Sophus Lie vzal Jacobiho problém a dal originální, ale velmi komplikovanou odpověď a zavedl pojem funkční skupiny integrálů. Další výzkum na stejné téma provedli Saltykow v roce 1903, Stekloff v roce 1909, Russyan a De Donder v roce 1910.

Teorie obálek

Teorie obálek rovinných křivek byla zahájena na konci XVII th století Leibniz a Jeana Bernoulli. Je dokončen hlavně Mongem, ale jeví se jako základní prvek v teorii singulárního řešení diferenciálních rovnic Eulera a Lagrange zobecnily tuto teorii na obálky rodiny povrchů s ohledem na parciální diferenciální rovnice prvního řádu. Bude na Mongeovi, aby studoval systematičtěji. Monge definuje charakteristickou křivku rodiny povrchů s jedním parametrem a, V (x, y, z, a) = 0 pomocí rovnic V (x, y, z, a) = 0 a Vyloučení a mezi těmito rovnicemi dává místo charakteristik nebo povrch obálky rodiny. To pak ukazuje, že charakteristické křivky jsou tečné ke stejné křivce vyhovující ${\ frac {\ částečné V} {\ částečné a}} (x, y, z, a) = 0.$ ${\ frac {\ částečné ^ {2} V} {\ částečné a ^ {2}}} (x, y, z, a) = 0.$

Ve své studii o aplikacích analýzy na geometrii (1809) Monge ukazuje, že rozvinutelný povrch je použitelný v rovině, čímž reaguje na Eulerův problém a ukazuje, že rozvinutelné povrchy z = f (x, y) ověřují rovnici $rt-s ^ {2} = 0.$

Tyto myšlenky mu umožnily formulovat pojem charakteristického pásma a vedly ho k integraci Monge-Ampèrovy rovnice.

rt-s ^ {2} + Ar + Bs + ct + D = 0,

kde A, B, C, D jsou funkce x, y, z, p, q.

Monge práce bude pokračovat v průběhu XIX -tého století na plochách, které splňují geometrické podmínky (ploch kanálu, lišty povrchy, povrchy z Weingarten ...).

Teorie minimálních ploch

Euler definoval pojem geodetické linie, tedy „linií menší délky“. Minimální povrch zobecňuje koncept geodetické do dvou dimenzí realizací minima oblasti, která má danou uzavřenou křivku jako svou hranici. Je to Lagrange, který napsal parciální diferenciální rovnici minimálních ploch z = f (x, y) v roce 1760:

(1 + q ^ {2}) r-2pqs + (1 + p ^ {2}) t = 0.

Monge se pokusí integrovat rovnici v roce 1784, ale dělá chyby napravené Legendrem v roce 1787. Legendre zavádí transformaci Legendra.

Teorie bude dokončena Meusnierem, Sophie Germainovou, Bonnetem, Weierstrassem, Riemannem, Schwarzem, Lieem a dodnes zůstává rozsáhlým studijním oborem (Nitsche, Ossermann, Chern, Calabi, Bombieri a další).

Parciální diferenciální rovnice řádu 2 a vyšší

Kromě geometrie mají parciální diferenciální rovnice řádu jedna malý vztah k aplikacím analýzy. To je zcela odlišné pomocí rovnic vyššího řádu se setkáváme z XVIII -tého století v mechanice deformovatelné těleso, hydrodynamiky a teorie pružnosti. Obtíž spočívá v překladu zákonů newtonovské mechaniky na netuhá tělesa. Bernoulli, Taylor, Euler před rokem 1740 nepíšou parciální diferenciální rovnice, ale používají geometrické uvažování specifické pro každý případ. Teprve v roce 1743 napsal D'Alembert první parciální diferenciální rovnici mechaniky o oscilacích těžkého řetězce v blízkosti jeho rovnovážné polohy:

{\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné t ^ {2}}} = {\ frac {\ částečné u} {\ částečné x}} - (ls) {\ frac {\ částečné ^ {2 } u} {\ částečné s ^ {2}}}

Rychle splňujeme rovnici

{\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac { \ částečné ^ {2} u} {\ částečné z ^ {2}}} = 0

v hydrodynamice pak vlnová rovnice v šíření zvuku

{\ frac 1 {c ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné t ^ {2}}} = {\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné z ^ {2 }}}

a analog ve vibraci membrány. Laplace ve své teorii přílivu a odlivu splňuje rovnici

(m ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta -a) {\ frac 1 {c ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné x ^ {2}} } = a \ sin ^ {2} \ theta {\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné \ theta ^ {2}}} + a \ sin \ theta \ cos \ theta {\ frac {\ částečné u} {\ částečná \ theta}}

a Euler rovnici vibrací tyčí, která je řádu 4:

{\ frac 1 {c ^ {4}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné t ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {4} u} {\ částečné x ^ {4}}} = 0

U aplikací jde o řešení problémů s okrajovými podmínkami a ne o hledání obecných řešení těchto rovnic. Ale techniky XVIII tého století nejsou dostatečně výkonný ke studiu tyto rovnice. Pouze jedna bude podrobně studována, nejjednodušší vibrační strunová rovnice, rovnice

{\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné x ^ {2}}} = c ^ {2} {\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné t ^ {2}}}

což řeší D'Alembert změnou proměnné y = x-ct a z = x + ct. Tím získá triviální rovnici

{\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné y \ částečné z}} = 0.

Po návratu k původním proměnným zjistí, že obecné řešení má formu

u = f (x-ct) + g (x + ct),

f a g jsou dvě libovolné funkce.

Ale v XVIII -tého století, nebudeme rozlišovat mezi eliptických diferenciálních operátorů, parabolický nebo hyperbolická. Na druhé straně člověk hledá stacionární řešení a používá k tomu metodu oddělení proměnných.

Poznámka

Je zřejmé, že se mýlil. I v jeho době otázka stále fungovala: mladý americký matematik Fields napsal v roce 1887 svou diplomovou práci o symbolických konečných řešeních a řešeních pomocí určitých integrálů rovnice ${\ frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} = x ^ {n} y$ .

Reference

A. Dahan-Dalmedico a J. Peiffer , Dějiny matematiky: Silnice a bludiště ,1986[ detail vydání ], str. 75 .
Karine Chemla a Guo Shuchun , Devět kapitol: Matematická klasika starověké Číny a její komentáře [ detail vydání ] , str. 144-147 .
První neznámo podle Irem Poitiers, s. 27 .
DahanPeiffer , str. 76.
Viz například: R. Rashed Between arithmetic and algebra: research of the history of Arab mathematics Paris, Les Belles lettres (1984).
L. Rodet, Algebra Al-Khârizmi a indické a řecké metody , číst na Gallica , str. 24 .
C. Drouin, Muhammad Al-Khâwârîzmî Akademický tým Matematika (2001).
Příklad je převzat ze stejného zdroje.
DahanPeiffer , str. 85.
Podívejte se na toto téma v článku: Geometrická algebra (elementární matematika) .
DahanPeiffer , str. 95.
Catherine Goldstein , Jeremy Gray a Jim Ritter , Mathematical Europe , Paříž, Dům humanitních věd,1996, 575 s. ( ISBN 978-2-7351-0685-1 , číst online ) , s. 228.
Goldstein, Grey and Ritter , str. 235.
Lodovico Ferrari Encyclopædia Britannica.
Daniel Boorstin, Les Découvreurs , Éditions Stegers, 1983, str. 57-79 .
Goldstein, Grey and Ritter , str. 241.
Picard, „O transformačních skupinách lineárních diferenciálních rovnic“, CRAS , t. 96, 1883, str. 1131 .
Picard, „O lineárních diferenciálních rovnicích a algebraických transformačních skupinách“, Annales de la Faculté des sciences de Toulouse , t. 1, 1887.
Vessiot , O integraci lineárních diferenciálních rovnic , Paris, Gauthier-Villars ,1892.
Vessiot 1892 , str. 45.
Vessiot 1892 , str. 46.
Vessiot 1892 , str. 49.
Liouville, „O integraci třídy diferenciálních rovnic druhého řádu v explicitních konečných veličinách“, Journal of pure and applied mathematics , t. 4, 1839, str. 423 .
Painlevé, „Moderní problém integrace diferenciálních rovnic“, Bulletin des sciences mathatoires , t. 28, 1904, str. 193-208 .
Ruda, „Teorie nekomutativních polynomů“, Annals of Mathematics , t. 34, 1933, str. 480-508 .
Fuchs, „Zur theorie der linearen diferenciálgleichungen mit veränderlichen coefficienten“, Journal für die Reine und angewandte mathematik , t. 66, 1866, str. 121-160 .
Decuyper, Matematické modely fyziky , Dunod, 1968, kap. 3.
Euler, „De infinitis curvis eiusdem generis seu methodus inveniendi aequationes pro infinitis curvis eiusdem generis“, Commentarii academiae scientiarvm imperialis petropolitanae , t. 7, 1740, s. 174-193 .
„Na křivce tvořené napnutou šňůrou zasazenou do vibrací“, History of the Berlin Academy , 1747, svazek 3, s. 14-49 .
Lagrange, „Obecná metoda integrace rovnic s částečnými rozdíly prvního řádu, když jsou tyto rozdíly pouze lineární“, Nové vzpomínky Akademie věd a Belles-Lettres de Berlin , 1785.
„Metoda Allgemeine parciální diferencialichichungen und gewöhnliche diferenciálichichungen, beide von ester ordnung, ve víře vílen veränderlichen, vollständig zu integriren“, Abhandlungen der Königlichens akademie den wissenchaften v Berlíně , 1814-1815.
Bulletin Filomatické společnosti v Paříži , 1819, s. 10 .
Jacobi, „Ueber die reduction der integration der partiellen diferencialichichungen erster ordnung zwischen irgend einer zahl variabeln auf die integration eines einzigen systems gewöhnlicher diferencialichichungen“, Gesammelte Werke , sv. IV, s. 59 .

Podívejte se také

Související články

Chronologie algebry

Bibliografie

(de) Galle, Mathematische instrumente , Teubner, Leipzig & Berlin, 1912.
(en) Horsburgh a kol., Moderní nástroje a metody výpočtu , Bells & Sons, Londýn, 1914.
De Morin, Integration devices, Gauthier-Villars , Paříž, 1913.