Tyto Sulba-sútry jsou dodatcích k Ved popisující pravidla pro výrobu obětní oltáře některých védských rituálů . Za tímto účelem představují řadu geometrických konstrukcí, které odhalují komplikované matematické znalosti, zejména znalosti toho, čemu dnes říkáme Pythagorova věta .
Śulba-Sūtras jsou součástí Kalpa-Sūtras, příruček věnovaných védským rituálním praktikám, které tvoří jeden ze šesti Vedangas (přídavky Vedy), a přesněji Śrauta-Sūtras, těch z těchto příruček, které se zabývají obětními obřady.
Śulba-Sūtras jsou psány v sanskrtu . Jsou psány krátkými a obtížně interpretovatelnými větami zvanými sútry , což doslovně znamená „pravidlo“ nebo „instrukce“. Tyto sútry jsou obvykle v próze, ale občas mohou být ve verších.
Titul Śulba-Sūtras pochází ze slova sūtra a názvu śulba, který byl dán strunám používaným k výrobě oltářů. Znamená to etymologicky „pravidla lana“.
Historici identifikují 8 nebo 9 Śulba-Sūtras, připisovaných těmto autorům: Baudhāyana, Mānava, Āpastamba, Kātyāyana, Laugāksi, Varāha, Vādhūla, Hiranyakeśin (a Maitrāyayana). První čtyři tvoří samostatná pojednání, zatímco ostatní jsou kapitolami příslušných Śrauta-sūtras.
Odhady datování Śulba-Sūtras jsou nejisté a jsou založeny pouze na jazykových argumentech (styl a gramatika). Byly by složeny v letech 800 až 200 před naším letopočtem. Nejstarší mohla pocházet z let 800 až 500 před naším letopočtem, zatímco poslední by byla po 350 před naším letopočtem.
Śulba-sūtras jsou určeny k použití rodinami Brahminů odpovědných z otce na syna za hlavní védské obětní obřady. Podrobně popisují cihlovou konstrukci oltářů a krbů pro povinné obřady a obřady prováděné pro konkrétní účely.
Není však jasné, jak přesně byly konstrukce popsané v Śulba-Sūtras provedeny v praxi.
Různé védské obřady popsané v Śulba-Sūtras a různé cíle, kterých má být těmito obřady dosaženo, jsou spojeny s oltáři různých tvarů (například oltář ve tvaru sokola k dosažení nebe nebo oltář ve tvaru rovnoramenný trojúhelník k vyhlazení nepřátel). Tvary těchto oltářů musí být vyrobeny velmi přesně a pouze za použití lan a kolíků, což vyžaduje jejich geometrické znalosti.
Je také velmi běžné, že musí být postaveny oltáře různých tvarů, ale se stejnou oblastí, což historici navrhují vysvětlit buď tím, že ekvivalentní oltáře musí být stejné oblasti, nebo tím, že stejné množství posvátné energie byl považován za schopný být ztělesněn různými způsoby. Tento požadavek vyžaduje transformační techniky geometrických obrazců zachovávající plochu.
Śulba-Sūtras zahrnují v popisech výroby oltářů mnoho pravidel pro konstrukci geometrických obrazců. V následujících odstavcích jsou uvedeny některé z nich.
Kresba čáry východ-západVzhledem k tomu, že všechny oltáře musí být orientovány s přesností, je třeba provést první konstrukci linie východ-západ. Tato konstrukce není popsána v prvních Śulba-Sūtras, ale je popsána v konstrukci Kātyāyana. To se děje následovně:
Z linie východ-západ lze nakreslit linku sever-jih. Tato konstrukce, která v moderních matematických pojmech odpovídá nakreslení kolmého úhlu úsečky segmentu, je popsána v Kātyāyanově Śulba-Sutře takto:
Śulba-Sūtras také popisují metody kreslení pravého úhlu. Jedním z nich je:
Tato metoda je založena na obrácení takzvané Pythagorovy věty a zahrnuje Pythagorovu trojici (5,12,13). Používají se podobné metody, ale s jinými koeficienty.
Stavba náměstíNěkolik metod konstrukce čtverce pomocí lan a kol je popsáno v Śulba-Sūtras. Kromě těch, které jsou založeny na konstrukci pravých úhlů, můžeme citovat:
Transformace postav jsou zvláště důležité v Śulba-Sūtras. Následující odstavce uvádějí některé příklady.
Součet a rozdíl dvou čtvercůPrvní transformace popsaná v Śulba-Sūtras spočívá v konstrukci čtverce plochy rovného součtu ploch dvou dalších čtverců. Uvedená metoda je:
Druhá transformace spočívá v konstrukci čtverce plochy, který se rovná rozdílu ploch dvou dalších čtverců. Metoda je tentokrát:
Tato dvě pravidla jsou založena na takzvané Pythagorově větě.
Transformace obdélníku na čtverecDalší transformace popsaná v Śulba-Sūtras je transformace obdélníku na čtverec stejné oblasti. Zde je navrhovaná metoda:
Další transformace vyžadovaná stavbou oltářů je přeměna čtverce na kruh stejné oblasti (oběžná dráha čtverce). Protože to nelze přesně provést pomocí lan a kůlů, obsahují Śulba-sūtras pravidlo pro dosažení této konstrukce přibližným způsobem:
Inverzní transformace, tj. Transformace kruhu do čtverce stejné oblasti ( kvadratura kruhu ), také vede k přibližné konstrukci, i když se zdá, že nemá žádné posvátné aplikace:
Toto pravidlo má varianty založené na stejném principu, ale s různými koeficienty.
Další transformaceŚulba-Sūtras také popisují následující transformace: transformace čtverce na obdélník, transformace obdélníku nebo čtverce na lichoběžník a naopak, transformace čtverce na rovnoramenný trojúhelník a naopak, transformace kosočtverce na obdélník kombinující několik čtverců stejné velikosti na čtverec a rozdělte čtverec na několik čtverců stejné velikosti.
V konstrukcích popsaných Śulba-Sūtras zasahují mnohé matematické vlastnosti. Některé, jako takzvaná Pythagorova věta, jsou uvedeny výslovně, ale většina z nich není a pouze se projevuje implicitně.
„Pythagorova věta“To, co dnes nazýváme Pythagorova věta , a historici v této souvislosti snadněji nazývají čtverec diagonální věty, je v Śūlba-Sūtras výslovně formulováno takto:
" Úhlopříčka čtverce je dvakrát větší než plocha." »(Śulba-Sūtras of Baudhāyana - 1,9)
" Plochy produkované délkou a šířkou obdélníku dohromady dávají plochu produkovanou úhlopříčkou." »(Śūlba-Sūtras of Baudhāyana - 1,12)
Všimněte si, že na rozdíl od toho, na co jsme zvyklí, není tento výsledek uveden pro pravé trojúhelníky, ale pro čtverce a obdélníky. Používá se například při konstrukci čtverce rovného součtu nebo rozdílu dvou čtverců.
Konverzace této věty není formulována explicitně, ale je také používána, zejména při konstrukcích pravých úhlů.
Výpočty plochyŚulba-sūtras dosvědčují znalost určitého počtu vztahů mezi oblastmi a délkami. Obsahují zejména stanovení ploch čtverců, rovnoramenných lichoběžníků, rovnoramenných trojúhelníků, pravoúhlých trojúhelníků a kosočtverců.
Prostorové vlastnosti rovinných obrazcůMnoho vlastností plochých obrazců použitých implicitně se také nachází v Śulba-Sūtras. Některé konstrukce využívají skutečnost, že kružnice je lokusem bodů ve stejné vzdálenosti od daného bodu nebo že kolmá přímka přímky je lokusem bodů ve stejné vzdálenosti od jeho dvou konců. Prosvítají také znalosti mnoha vztahů mezi stranami a úhlopříčkami, například zda se úhlopříčky obdélníku protínají ve svém středu a rozdělují ho na čtyři stejné části, nebo se protínají úhlopříčky kosočtverce v jejich středu.
Vlastnosti podobných číselŚulba-Sūtras používají dvě důležité vlastnosti podobných obrazců, a to, že strany a čáry, které si navzájem odpovídají ve stejných obrázcích, jsou proporcionální a že oblasti podobných obrazců jsou ve stejném poměru jako čtverce jejich stran.
Některá pravidla pro transformaci čísel zahrnují to, co bychom dnes nazvali aproximace iracionálních čísel , například:
Śulba-Sūtras dále svědčí o vědomí, že některé z těchto aproximací jsou přesnější než jiné. Nic nenasvědčuje tomu, jak byly tyto aproximace získány, ani v Śulba-Sūtras, ani v textech kolem nich.
Aproximace 13/15 pro poměr strany čtverce k průměru kruhu stejné oblasti není příliš dobrá, chyba je více než 4%, ale zdá se, že byla použita nejvíce, l Druhá přiblížení je přesnější, ale s chybou stále 1,7% a kupodivu by první dva členy součtu poskytly lepší přiblížení.
Aproximace
úhlopříčky čtverce je mnohem lepší: ve skutečnosti máme √ 2 ≈ 1,4142136 až 10 −7 . Ale nic ve Śulba-Sūtras nenaznačuje, že by šlo o snahu o přesnost, a je to jediný, kdo se tam nachází s touto úrovní přesnosti. Rovněž se zde používá aproximace 1 + 5/12 .
On jediný důkaz o této aproximace, a skutečnost, že přinejmenším v Katyayana je Sulba-Sutra je uvedeno, že to není přesné, některé historiky vědy , zejména na konci 19. století a Na začátku XX -tého století k závěru, že iracionalita na druhé odmocnině ze dvou byl známý autorů Sulba-sútry, ale to se zdá být jen stěží bránil dnes.
Mnoho historiků se pokoušelo navrhnout původ pravidel uvedených v Śulba-Sūtras. Tato část zmiňuje několik, ale texty výslovně nepotvrzují.
Za prvé, podobnosti lze uvést mezi Sulba-sūter a prvků z Euclid : tzv Pythagorovy věty, které je uvedeno v Sulba-sūter je předmětem Proposition I.47 z prvků , problémem Konstrukce postavy rovné v oblastech jsou jádrem těchto dvou pojednání a konstrukci geometrických obrazců pomocí lana a kůlu v Śulba-Sūtras lze přirovnat ke konstrukcím s pravítkem a kompasem v Elementech .
Zdá se však, že určité geometrické vlastnosti jako teorém říká, že Pythagoras, byly známy již v době psaní védské starší texty, které sūtry , že bráhmanové a sahmitas , přestože nejsou explicitně. Protože tyto texty předcházejí prvním řeckým matematickým textům, bylo by vyloučeno, že geometrie Śulba-Sūtras má původ v těchto řeckých textech. Řecký původ byl také odmítnut z jiného důvodu: The Elements je abstraktní pojednání, které je stylem a metodou vzdálené tradici Śulba-Sūtras, a pro jeho autory by bylo obtížné čerpat informace.
Historici také usoudili, že některé matematické znalosti o Šulba-Sutrech mohly pocházet z Mezopotámie , protože takzvaná Pytagorova věta je doložena v paleo-babylonských matematických textech pocházejících ze začátku druhého tisíciletí před naším letopočtem. Tato hypotéza byla zamítnuta, ale zdá se, že následná práce zneplatňuje argument použitý pro ni. Zdá se tedy, že otázka zůstává otevřená.
A konečně poslední navrhovaná hypotéza je, že Árijci , kteří by napadli Indii kolem roku 1500 př. Nl, importovali tyto geometrické rituály z Blízkého východu. Sumerské znalosti by pak mohly být běžným zdrojem Śulba-Sūtras, paleo-babylonské matematiky a Pythagorejců, ale to zdaleka není pravda.
Žádný matematický text v sanskrtu, který k nám sestoupil, neumožňuje přímé propojení Śulba-Sūtras s pozdějšími pracemi, složenými z poloviny prvního tisíciletí našeho letopočtu. Někdy však najdeme podobnosti mezi matematikou těchto dvou epoch, jako je hojné používání takzvané Pythagorovy věty nebo používání stejných geometrických výrazů. Kromě toho architektonická pojednání pozdějších epoch používají metody velmi podobné těm, které jsou popsány v Śulba-Sūtras.