Keplerova rovnice

V astronomii je rovnice Kepler je pojivo vzorec na oběžné dráze je výstřednost e a výstřední anomálie E podle střední anomálie M . Důležitost této rovnice spočívá v tom, že umožňuje přejít z dynamických parametrů pohybu hvězdy (průměrná anomálie) na geometrické parametry (excentrická anomálie). Tuto rovnici vytvořil Kepler v případě eliptických oběžných drah analýzou údajů o poloze planety Mars provedených Tycho Brahe . Poté byla zobecněna na jiné formy oběžných drah ( parabolické , hyperbolické , kvazi-parabolické, přímé) pomocí principů newtonovské mechaniky .

Představujeme Keplerovu rovnici

Keplerova rovnice jako taková je rovnice stanovená Keplerem pro eliptické dráhy. Lze jej však odmítnout v několika formách, aby pokryl všechny případy oběžných drah.

Případ eliptické dráhy

Keplerova rovnice na eliptické oběžné dráze je:

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = M}

s průměrnou anomálií $M$ definovanou:

{\ displaystyle M = n \ cdot (t-t_ {0})}

s $n$ pohyb média:

{\ displaystyle n = {\ frac {2 \ cdot \ pi} {T}}}

$t$ čas a $t 0$ je okamžik přechodu k periapsi . $T$ je oběžná doba .

Demonstrace

Jeho demonstrace je jednoduchá a zahrnuje výpočet plochy sektoru elipsy, jejíž vrchol zaujímá jedno ze dvou ohnisek, dvěma různými metodami, z nichž jedna využívá zákon o plochách a „další výpočtem oblast tohoto eliptického sektoru promítnutá na hlavní kruh elipsy.

Podle druhého Keplerova zákona je plocha skenovaná segmentem $SP$ na diagramu úměrná času. Tak oblasti eliptického sektoru $SZP$ se rovná $k ( t - t 0 )$ , kde $t$ je čas a $t 0$ je okamžik průchodu hvězdy v $Z$ . Konstantu proporcionality $k$ lze snadno určit: na konci orbitální periody $T$ bude tažená plocha rovna celkové ploše elipsy $π ab$ ( $a$ a $b$ jsou polořadovka hlavní osa a polořadovka menší osa elipsy), buď:

{\ displaystyle SzP = {\ frac {\ pi ab} {T}} (t-t_ {0})}

Zbývá geometricky určit oblast sektoru elipsy $SzP,$ aby se vytvořilo spojení mezi časem uplynulým od průchodu v $z$ a polohou na oběžné dráze.

Kepler k tomu použil pomocnou kružnici ohraničenou elipsou (oblast kruhového sektoru je snadno známa).

Plocha sektoru $Szx$ se rovná rozdílu kruhového sektoru $czx$ a trojúhelníku $cSx$ . ${\ displaystyle Szx = czx-cSx = {\ frac {1} {2}} a ^ {2} \ cdot E - {\ frac {1} {2}} a ^ {2} \ cdot e \ cdot \ sin (E)}$

kde $E$ je vyjádřeno v radiánech.

Nakonec $SzP = Szx \times b / a$ : jedna je komprese druhého z poměru $b / a$ (kde přesněji afinita poměru $b / a$ ) Keplerovu rovnici získáme po zjednodušení vysvětlením rovnosti $SzP = k ( t - t 0 )$ , to znamená:

{\ displaystyle {\ frac {2} {ab}} SzP = {\ frac {2 \ pi} {T}} (t-t_ {0}) = Ee \ cdot \ sin (E)}

Průměrný pohyb lze také vyjádřit:

{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {a ^ {3}}}}}

nebo

$G$ je univerzální gravitační konstanta
$m 1$ a $m 2$ masy dvou těles
semihlavní osa elipsy ; $p$ je parametr elipsy ${\ displaystyle a = {\ frac {p} {1-e ^ {2}}}}$

Keplerova rovnice spojená s vazbou mezi excentrickou anomálií $E$ a skutečnou anomálií $v$

{\ displaystyle \ tan {(v / 2)} = {\ sqrt {\ frac {1 + e} {1-e}}} \ cdot \ tan {(E / 2)}}

umožňuje určit časovou polohu hvězdy na její oběžné dráze.

Hyperbolická oběžná dráha

V případě hyperbolické oběžné dráhy ( $e > 1$ ) můžeme analyticky dokázat vztah ekvivalentní Keplerově rovnici:

{\ displaystyle e \ cdot \ sinh {(H)} - H = M}

kde $sinh$ označuje hyperbolický sinus .

M je definováno stejným způsobem jako v eliptickém případě s výrazem následujícího středního pohybu:

{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {(- a) ^ {3}}}}}

Argument H již není úhel, jako je tomu v případě E v eliptickém pohybu. H v tomto případě souvisí se skutečnou anomálií v pomocí:

{\ displaystyle \ tan {(v / 2)} = {\ sqrt {\ frac {e + 1} {e-1}}} \ cdot \ tanh {(H / 2)}}

Parabolická oběžná dráha

Keplerova rovnice není definována v kontextu parabolického pohybu ( $e = 1$ ). Je nahrazena Barkerovou rovnicí.

{\ displaystyle M = s + {\ frac {s ^ {3}} {3}}}

{\ displaystyle ~ s = \ tan {(v / 2)}}

{\ displaystyle M = n \ cdot (t-t_ {0})}

{\ displaystyle n = 2 \ cdot {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {p ^ {3}}}}}

Tuto kubickou rovnici lze analyticky vyřešit Cardanovou metodou .

Univerzální vyjádření Keplerovy rovnice

Změnou proměnné lze eliptické, parabolické a hyperbolické Keplerovy rovnice kombinovat do jediné „univerzální“ rovnice. Jedním z možných výrazů je:

{\ displaystyle qx + ex ^ {3} c_ {3} (\ alpha x ^ {2}) = {\ sqrt {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}}} (t-t_ { 0})}

s periapsis $q = a (1- e )$ a $α = 1 / a$ . $α$ je pozitivní pro eliptické dráhy, nula pro parabolické dráhy a negativní pro hyperbolické dráhy. Nová proměnná $x$ je definována:

{\ displaystyle x = E \ cdot {\ sqrt {a}}}

a funkce $c 3 ( t )$ je jednou z funkcí Stumpff , která je napsána obecně:

{\ displaystyle c_ {k} (t) = \ součet _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + k)!}} t ^ { ne}}

Demonstrace

Počínaje eliptickou rovnicí,

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}} (t-t_ {0})}

{\ displaystyle \ mu = G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}

a změnou proměnné

${\ displaystyle x = E \ cdot {\ sqrt {a}}}$

získáváme

{\ displaystyle ax-ea {\ sqrt {a}} \ cdot \ sin {\ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right)} = {\ sqrt {\ mu}} (t -t_ {0})}

Se sériovým vývojem sinusu zjistíme:

{\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right) = {\ frac {x} {\ sqrt {a}}} - {\ frac {x ^ {3} } {a {\ sqrt {a}}}} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 3)!}} { \ left ({\ frac {x ^ {2}} {a}} \ right)} ^ {n}}}

Keplerova rovnice se změní na:

{\ displaystyle qx + ex ^ {3} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 3)!}} {(\ alfa x ^ {2})} ^ {n}} = {\ sqrt {\ mu}} (t-t_ {0})}

Nespojitost na parabolická orbity byla odstraněna, a výraz pro již zobrazí pod odmocninou, takže tato rovnice použitelný i pro hyperbolické dráhy. Vzorec získaný vycházením z hyperbolické Keplerovy rovnice by byl ve všech bodech ekvivalentní tomuto jako by pózováním . ${\ displaystyle x = iH \ cdot {\ sqrt {a}}}$

Stanovení $x$ podle univerzální rovnice umožňuje určit polohu tělesa na jeho oběžné dráze $( X , Y )$ pomocí:

{\ displaystyle X = a (\ cos {E} -e) = q + a \ cdot \ cos {\ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right)} = qx ^ {2 } \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 2)!}} {(\ alpha x ^ {2})} ^ {n}} = qx ^ {2} c_ {2} (\ alpha x ^ {2})}

{\ displaystyle Y = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin {E} = {\ sqrt {a (1-e ^ {2})}} {\ sqrt {a}} \ sin {\ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right)} = x \ cdot {\ sqrt {q (1 + e)}} \ sum \ limits _ {n = 0} ^ { + \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} {(\ alpha x ^ {2})} ^ {n}} = x \ cdot {\ sqrt {q (1 + e)}} c_ {1} (\ alpha x ^ {2})}

Funkce $c 1 ( t )$ a $c 2 ( t )$ jsou definovány stejným způsobem jako výše uvedené $c 3 ( t )$ .

Přímočaré dráhy

Tyto přímočaré dráhy jsou mezní případy ostatních drah, tím, že je vzdálenost k periapsis $q$ mají tendenci k nule při zachování hlavní poloosy $je$ konstanta: orbita pak má sklon směrem k segmentu nebo semi-line. U eliptických a hyperbolických drah to předpokládá tendenci k výstřednosti $e$ směrem k 1, protože poloviční hlavní osa $a$ , výstřednost $e$ a periapsa $q$ jsou spojeny pomocí $q = a (1- e )$ . Existují tedy tři typy přímočarých drah: eliptické, parabolické a hyperbolické. V praxi je hvězdou popsána pouze část těchto drah, což má za následek kolizi nebo únik. Určité komiksy kamikadze detekované vesmírnými slunečními observatořemi ( SoHO , SDO atd.) Nebo úseky oběžné dráhy meziplanetárních sond jsou blízko přímočarých oběžných drah.

Pro eliptickou přímou dráhu se Keplerova rovnice stává:

{\ displaystyle ~ E- \ sin {(E)} = M}

s průměrnou anomálií $M$ definovanou:

{\ displaystyle ~ M = n \ cdot (t-t_ {0})}

Pravá anomálie, která již nemá pro přímočarou dráhu žádný význam, je poloha hvězdy definována její vzdáleností, která ji odděluje od hlavní hvězdy r :

{\ displaystyle ~ r = a (1- \ cos {(E)})}

Pro hyperbolickou přímou dráhu se Keplerova rovnice stává:

{\ displaystyle ~ \ sinh {(H)} - H = M}

a poloha hvězdy:

{\ displaystyle ~ r = a (1- \ cosh {(H)})}

je negativní na hyperbolické dráhy

Nakonec pro parabolickou přímou dráhu:

{\ displaystyle M = {\ frac {s ^ {3}} {6}}}

{\ displaystyle ~ M = n \ cdot (t-t_ {0})}

{\ displaystyle n = {\ sqrt {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}}}

a poloha hvězdy:

{\ displaystyle r = {\ frac {s ^ {2}} {2}}}

Řešení Keplerovy rovnice

Keplerova rovnice

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = M}

umožňuje přímo vypočítat datum (spojené s $M$ ) odpovídající dané poloze (spojené s $E$ ), například k určení data rovnodenností. Na druhou stranu inverzní problém, určování polohy planety pro dané datum, vyžaduje stanovení $E$ , znalost $M$ a $e$ . Tento problém nelze snadno vyřešit.

Řešením Keplerovy rovnice je nalezení $E ( e , M )$ :

jako Fourierova řada, protože se jedná o zvláštní periodickou funkci $M$
jako celé číslo série z $e$ , je-li $e < e 0 : = 0.6627 ...$ , poloměr konvergence série.
jako číselná hodnota s počtem číslic ( $d$ ), pro optimalizovanou dobu výpočtu $tc ( d )$ .

Fourierova řada

Je to Lagrange, kdo najde výraz, ačkoli jméno $J n ( x )$ je spojeno se jménem Bessela .

$E - M$ je periodická lichá funkce $M$ :

${\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin E = 2 \ cdot \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {J_ {n} (ne)} {n}} \ sin (nM) }$

kde $J n ( x )$ je funkce Besselovy z jednoho re druh řádu $n$ .

Demonstrace

$E - M$ je spojitá, lichá a periodická funkce periody $2π$ ; je proto vyvíjitelný ve Fourierových řadách, jejichž kosinové koeficienty jsou všechny nulové.

{\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin E = \ Sigma _ {p = 1} b_ {p} \ sin (pM)}

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e \ sin (E) \ sin (pM) ~ \ mathrm {d} M}

Pro změnu proměnné integrace integrujeme po částech, nastavením $u = sin ( E )$ a $d v = sin ( pM ) d M$ získáme:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos (E) \ cos (pM) ~ \ mathrm {d} E}

Transformací produktu kosinů na součet kosinů získáme:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p}} \ vlevo ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [(1 + p) E-ep \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E + {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [(1- p) E + ep \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E \ vpravo)}

po výměně $d M$ o $(1- th cos E ) d e$ (rovný získané odvozením Keplerovu rovnice).

Besselovy funkce prvního druhu jsou však vyjádřeny:

{\ displaystyle J_ {p} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [pE-x \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E}

odkud :

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p}} [J_ {p + 1} (pe) + J_ {p-1} (pe)]}

Kromě toho Besselovy funkce ověřují relaci opakování:

{\ displaystyle J_ {p-1} (x) + J_ {p + 1} (x) = {\ frac {2p} {x}} J_ {p} (x)}

tedy konečně:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {2} {p}} J_ {p} (pe).}

Celá řada výstřednosti

Stále je to Lagrange, kdo najde řešení, které Laplace dokončí zadáním poloměru konvergence. Tyto práce inspirují Cauchyho , který nalezne teorii analytických řad k řešení tohoto trnitého problému; toto vyvrcholí prací Puiseuxa .

Aplikování Lagrangeovy věty o inverzi řady poskytuje:

${\ displaystyle EM = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {e ^ {n} \ přes n!} \ cdot a_ {n} (M)}$

{\ displaystyle \ a_ {n} (M) = {\ mathrm {d} ^ {n-1} \ nad {\ mathrm {d} M ^ {n-1}}} (\ sin ^ {n} M) .}

Minimální poloměr konvergence řady, který závisí na $M$ , je dosažen pro $M = π / 2$ a je $roven$ $e 0 = 0,6627434193,$ jak naznačil Laplace ( 1823 ) a prokázali Cauchy a Puiseux:

{\ displaystyle e_ {0} = 2 {\ frac {\ sqrt {x (1-x)}} {1-2x}}}

x

takové, že .

{\ displaystyle {\ frac {1-x} {x}} = \ exp \ left ({\ frac {2} {1-2x}} \ right)}

To činí tento vzorec nepoužitelným pro určení polohy komet, jejichž výstřednost je často blízká 1.

První pojmy jsou:

{\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin M + e ^ {2} \ cdot \ sin M \ cdot \ cos M + e ^ {3} \ cdot \ left (\ sin M \ cdot \ cos ^ {2} M - {\ sin ^ {3} M \ nad 2} \ vpravo) + \ tečky}

Poznámka: tuto expanzi je možné získat v sérii tak, že v předchozí Fourierově sérii nahradíte Besselovy funkce jejich omezenou expanzí:

{\ displaystyle J_ {n} (x) = (x / 2) ^ {n} \ součet _ {p = 0} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {p} \ přes p! (n + p )!} (x / 2) ^ {2p}}

Omezenou expanzi pak získáme mnohem jednodušeji než metodou inverze řady:

{\ displaystyle EM =}

{\ displaystyle \ left (e - {\ frac {e ^ {3}} {8}} + {\ frac {e ^ {5}} {192}} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin M + \ vlevo ({\ frac {e ^ {2}} {2}} - {\ frac {e ^ {4}} {6}} + {\ frac {e ^ {6}} {48}} + \ cdots \ vpravo) \ cdot \ sin 2M + \ vlevo ({\ frac {3} {8}} e ^ {3} - {\ frac {27} {128}} e ^ {5} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin 3M}

{\ displaystyle + \ left ({\ frac {e ^ {4}} {3}} - {\ frac {4} {15}} e ^ {6} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin 4M + \ left ({\ frac {125} {384}} e ^ {5} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin 5M + \ left ({\ frac {27} {80}} e ^ {6} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin 6M}

Je třeba poznamenat, že ačkoli Fourierova řada konverguje pro $0 < e <1$ a že expanze Besselových funkcí mají nekonečný poloměr konvergence, výsledek po reorganizaci termínů konverguje pouze pro $e <0,662 ...$

Případ komet:

e > e 0

První, kdo čelí tomuto problému, je Horrocks , poté zejména Halley , pro výpočty na jeho kometě excentricity $e = 0,9673$ .

Několik řešení bylo navrženo mírnou úpravou Barkerovy rovnice ( $e = 1$ ). Řešení navržené Besselem ( 1805 ) pokrývá doménu $e > 0,997$ . Gauss se ilustroval pěkným řešením pro $0,2 < e <0,95$ .

Zobecněním Barkerovy rovnice je sériová expanze konvergující o to rychleji, že výstřednost $e$ je blízká 1, což se ukázalo jako vhodné pro případy komet (tato řada platí také pro mírně hyperbolické):

{\ displaystyle n (t-t_ {0}) = S + (1-2 \ gamma) {\ frac {S ^ {3}} {3}} - \ gamma (2-3 \ gamma) {\ frac { S ^ {5}} {5}} + \ gamma ^ {2} (3-4 \ gamma) {\ frac {S ^ {7}} {7}} - \ ldots = S + \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ left (p- (p + 1) \ gamma \ right) {\ frac {S ^ {2p + 1}} {2p + 1} }}

jehož poloměr konvergence je: ${\ displaystyle | \ gamma | S ^ {2} <1}$

s $S = tan ( v / 2)$

{\ displaystyle n = {\ frac {k} {2}} {\ frac {\ sqrt {1 + e}} {q ^ {3/2}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1-e} {1 + e}}}

$v$ je skutečná anomálie , $k$ je Gaussova gravitační konstanta , $e$ a $q$ jsou excentricita a periapsa oběžné dráhy, $t$ čas a $t 0$ je okamžik přechodu k periastronu.

Když $e = 1$ , řada se redukuje na Barkerovu rovnici.

Demonstrace

První Keplerův zákon uvádí, že oběžné dráhy jsou kuželovité úseky (elipsy, paraboly nebo hyperbola) se zaměřením na slunce. Takže vzdálenost komety - slunce r a skutečná anomálie v souvisí rovnicí kuželosečky v polárních souřadnicích:

${\ displaystyle r = {\ frac {p} {1 + e \ cos v}}}$

kde $p$ a $e$ jsou příslušně parametr excentricity kuželosečky.

Keplerův druhý zákon (segment sluneční komety zametá stejné oblasti ve stejných časech) lze vyjádřit s ohledem na nekonečně malý časový interval $d t$ :

${\ displaystyle r ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = h}$

kde $h$ je konstanta, která se nazývá plošná konstanta .

Kombinací těchto dvou rovnic můžeme nechat $r$ zmizet , abychom získali souvislost mezi časem a skutečnou anomálií, tj. Formou Keplerovy rovnice vztahující se na jakýkoli typ oběžné dráhy.

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {1 + e \ cos {v}}} \ right) ^ {2} dv = h ~ \ mathrm {d} t}$

a to buď tím, že integruje mezi $t 0$ a $t$ :

${\ displaystyle {\ frac {h} {p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {v} {\ frac {1} {{(1 + e \ cos {x}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} x}$

změnou integrační proměnné $s = tan ( x / 2)$ a nastavením $S = tan ( v / 2)$ transformujeme tento trigonometrický integrál na racionální funkční integrál :

${\ displaystyle {\ frac {h (1 + e) ^ {2}} {2p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {S} {\ frac {1 + s ^ {2}} {{(1+ \ gamma s ^ {2}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} s.}$

Racionální funkci lze integrovat přímo a získat všechny formy Keplerových rovnic, které jsou vidět výše, v závislosti na znaménku $γ$ . Ale rozšířením racionálního zlomku na celočíselnou řadu $s$ , poté integrací této řady po jednotlivých termínech získáme:

${\ displaystyle {\ frac {h (1 + e) ^ {2}} {2p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {S} {\ frac {1 + s ^ {2}} {{(1+ \ gamma s ^ {2}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} s = \ int _ {0} ^ {S} 1+ \ součet _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ left (p- (p + 1) \ gamma \ right) s ^ {2p} ~ \ mathrm {d} s = S + \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ left (p- (p + 1) \ gamma \ right) {\ frac {S ^ {2p + 1}} {2p + 1}}}$

vztahy mezi parametrem kuželosečky a konstantou ploch ,

${\ displaystyle p = a (1-e ^ {2}) = q (1 + e) = {\ frac {h ^ {2}} {G (m_ {1} + m_ {2})}} }$

umožňuje najít hledaný vzorec (zanedbáním hmotnosti $m 2$ komety vzhledem k hmotnosti slunce).

Numerický výpočet

Keplerovu rovnici lze vyřešit pomocí algoritmu pro nalezení nuly funkce . Sem metody trénovat, bisekce , falešná metoda pozice vyžaduje počáteční rámec, ve kterém je přítomen kořen. Kvůli periodicitě a paritě Keplerovy rovnice je vždy možné zkrátit počáteční interval na $[0, π]$ . To poskytuje výchozí bod pro tyto metody, ale je snadné najít rafinovanější.

Způsoby pevné bodového vyžadují počáteční odhad kořene, zárodek způsobu $E 0$ , začít výpočty: existuje mnoho v literatuře, je nejjednodušší způsob, jak je $E 0 = M$ .

Nejjednodušší metoda s pevným bodem, kterou používá Kepler, je:

{\ displaystyle E_ {0} = M ~}

{\ displaystyle E_ {n + 1} = M + e \ cdot \ sin E_ {n} {\ text {pro}} n = 0,1 \ ldots}

konverguje pomalu, když je $e$ blízko 1. Pak je výhodné přidat algoritmus zrychlení konvergence: například Aitkenova Delta-2 nebo Steffensenova varianta.

Keplerova rovnice se hodí obzvláště dobře pro algoritmy vyžadující výpočet vysoce po sobě následujících derivací, kvůli nízkým nákladům na požadovaný výpočet stroje. Vskutku :

{\ displaystyle f (E) = Ee \ cdot \ sin EM}

{\ displaystyle f '(E) = 1-e \ cdot \ cos E}

{\ displaystyle f '' (E) = e \ cdot \ sin E}

{\ displaystyle f '' '(E) = e \ cdot \ cos E}

Následující deriváty se cyklicky odvozují od předchozích. Varianty Newtonovy a Halleyovy metody vyššího řádu jsou proto v tomto případě velmi účinné. Je třeba poznamenat, že tyto metody mohou v určitých případech mít potíže s konvergováním ( $e$ blízké 1 a $M$ blízké 0). V těchto zónách je vhodnější buď navrhnout méně hrubou výchozí hodnotu (semeno Mikkola ( Seppo Mikkola ) nebo Markley), nebo omezit iterační metody, které je donutí ke konvergenci (modifikace Hammingovy metody Newtona), nebo používat iterační metody s menší lokální konvergencí ( Laguerrova metoda ).

Příklad

Během své poslední návštěvy v roce 1986, Halleyova kometa navštívil Giotto sonda . Data potřebná k určení polohy komety během tohoto setkání jsou:

datum přechodu do perihélia $t 0$ :9. února 1986v 10:59:55 UTC
datum schůze $t$ :14. března 1986v 00:03:00 UTC, tj. $t - t 0$ = 32,54328 dnů
výstřednost oběžné dráhy $e$ : 0,96727426
vzdálenost k perihelionu $q$ : 0,58710224, nebo k polohlavní ose $a = q / (1- e ) = 17,940753$ a průměrný pohyb $n = k / a 1,5 = 0,0002263836 rad / den$ .

Průměrná anomálie má hodnotu $M = n ( t - t 0 ) = 0,0073673887 rad$

Keplerova rovnice k řešení je:

{\ Displaystyle E-0,96727426 \ sin (E) = 0,0073673887}

Počínaje $E 0 = M$ a pomocí Newtonovy metody,

{\ displaystyle E_ {n + 1} = E_ {n} - {\ frac {E_ {n} -e \ cdot \ sin E_ {n} -M} {1-e \ cdot \ cos E_ {n}}} }

najdeme postupně:

0,0073673887 0,2249486948 0,192 991 1041 0,199186907 0,1909107985 0,1909107984

… (Následující hodnoty jsou identické) Dedukujeme polohový úhel komety na její oběžné dráze (skutečná anomálie) $v = 1,2771772327 rad = 73,176865125 °$

Vzdálenost komety od slunce se vypočítá z $r = a (1 - e cos ( E ))$ = 0,902374257 AU (o něco menší než vzdálenost mezi zemí a sluncem)

Rychlost komety se rovná 43,780 8 km / s ${\ displaystyle v = 42.1219 {\ sqrt {1 / r-1 / (2a)}}}$

Iterace nemusí vždy u komet probíhat tak dobře, jak ukazuje následující graf. Pro výstřednosti mimo 0,97, konvergence je nejistý s iterací $E 0 = M$ jako výchozí bod . Další přesnější výchozí body umožňují vyhnout se tomuto úskalí.

V případě komet představuje řešení kvazi-parabolické generalizace Barkerovy rovnice dva problémy:

přibližný výpočet řady, který může vyžadovat velké množství termínů, nebo je dokonce nemožný, pokud se odchýlí. Ukazuje se, že tato řada se zvlášť dobře hodí k použití algoritmů zrychlení konvergence, zejména Aitkenova Δ² nebo ε-algoritmu Petera Wynna, které nejen urychlují konvergenci, ale rozšiřují její doménu konvergence. V praxi nastanou potíže, když je kometa velmi daleko od své periapsis (pak byla dlouho neviditelná) nebo se její výstřednost výrazně liší od 1 (v tomto případě je rozumnější řešit eliptický nebo hyperbolický Keplerův rovnice).
Řešení samotné rovnice. Tuto lze provést metodami Newtonova typu s:

{\ displaystyle F (S) = - n (t-t_ {0}) + S + \ součet _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ cdot (p- (p + 1) \ cdot \ gamma) \ cdot {\ frac {S ^ {2p + 1}} {2p + 1}}}

tím, že si všimne, že derivát je vyjádřen jednoduše:

{\ displaystyle F '(S) = {\ frac {1 + S ^ {2}} {{(1+ \ gamma \ cdot S ^ {2})} ^ {2}}}}

následující deriváty lze snadno odvodit.

Můžeme zvolit jako počáteční hodnotu iterace $S 0$ řešení kubické rovnice získané zachováním prvních členů (mírně odlišných od Barkerovy rovnice), pomocí Cardanovy metody

{\ displaystyle n (t-t_ {0}) = S_ {0} + (1-2 \ cdot \ gamma) \ cdot {\ frac {{S_ {0}} ^ {3}} {3}}.}

Aktuální výzkum

Výpočty pomocí symplektických integrátorů vyžadují vždy zůstat na hranici počtu desetinných míst, při nejnižších nákladech na výpočet. Závisí to hodně na dubletu $( M , e )$ , $M$ mezi 0 a $π$ a na $e$ , zvláště když je tento poslední parametr blízký 1.

Nijenhuis (1991) přijímá metodu Mikkola (1987), což je metoda Newtona řádu 4, výběrem „adekvátně“ zárodku $E 0$ podle dubletu $( M , e )$ .

Je zřejmé, že v numerické výpočty, objem výpočtů je nezbytné, stejně jako počet desetinných míst, vzhledem k tomu, nestabilita sluneční soustavy hodnoceného v koeficientem Liapunov o $10 (t / 5 Myr)$ . Narazíme na exponenciální zeď: obtížné jít dále než 25 Myr, dokonce i se 128bitovým zpracováním.

Jsou to tyto výpočty (astronomické ... ale počítačové), které běží na strojích IMCCE-Paříž. Vypočítá se výpočet pozemského slunečního svitu na 65 ° severní šířky, I (65, t) a pokusíme se odvodit korelaci s minulým podnebím: odvozuje se geologické měřítko až po neogen (25 mil. Let) v roce (Gradstein 2004 geologické měřítko). Další plánovaný krok: 65 milionů let.

Dějiny vědy

Před Keplerem byla rovnice již studována z jiných důvodů:

to je problém redukce lokálních souřadnic na geocentrické souřadnice: musí být snížena korekce paralaxy. Habash al Hasib to již řešil.

Před rokem 1700 již bylo mnoho pokusů: Kepler přirozeně, Curtz (1626), Niele, Boulliau (1645, 1657), Seth Ward (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), Cassini (1669), Newton (1665) ?), Wren (1658), Wallis (1659), Jeremiah Horrocks (1638) ...

Poznámky

(La) J. Kepler, Astronomia nova aitiologetos, seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis, ex pozorování GV Tychonis Brahe , The Warnock Library, 1609
(in) T. Barker (in) , Zpráva o kometách souvisejících s dicoveries, o způsobu, jak najít jejich oběžné dráhy, a některá vylepšení v konstrukci a výpočtu jejich sídel , Londýn 1757
(in) RH Battin, Astronomical Guidance , McGraw-Hill, New York, 1609, kap. 2
(in) K. Stumpff (de) , „O implementaci spinorů k problémům nebeské mechaniky“ v technických poznámkách NASA D-4447, New York, 1968, c. 2
J.-L. Lagrange, „On Kepler's problem“, v Memoárech Královské akademie věd v Berlíně , sv. 25, 1771, str. 204-233
(in) Peter Colwell, „ Besselovy funkce a Keplerova rovnice “ , Amer. Matematika. Měsíčně , sv. 99, n o 1,Ledna 1992, str. 45-48
A. Cauchy, „Monografie o různých bodech analýzy“, Monografie Královské akademie věd (Paříž) , sv. 8, 1829, str. 97-129 .
V. Puiseux, „O konvergenci řady, která se objevuje v teorii eliptického pohybu planet“, v Journal of pure and applied mathematics , sv. 14, 1849, str. 33-39
(in) E. Halley, „Astronomiae cometicae synopsis“ ve Philosphical Transaction of the Royal Society , sv. 24, 1705, str. 1882-1899
(La) CF Gauss, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conisis solem ambientium , Hamburg, Perthes & Besser, 1809, str. 35-44 .
Circle Minor Planet 10634 (24. dubna 1986)
(in) „Orbitální rychlost“ na Wikipedii ,15. června 2021( číst online )

Bibliografie

(en) Peter Colwell , Řešení Keplerovy rovnice během tří století , Richmond, Va, Willmann-Bell,1993, 202 s. ( ISBN 978-0-943-39640-8 , OCLC 28724376 )
(en) John Brinkley , Trans Roy Irish Ac , roč. 7, 1803, s. 321-356
(en) Jean Meeus , Astronomical algorithms , Richmond, Va, Willmann-Bell,1991, 429 s. ( ISBN 978-0-943-39635-4 , OCLC 24067389 )
(en) Albert Nijenhuis (de) , „ Řešení Keplerovy rovnice s vysokou účinností a přesností “ , Celest. Mech. Dyn. Astron. , sv. 51,1991, str. 319-330 ( číst online )
(en) Seppo Mikkola , „ Kubická aproximace pro Keplerovu rovnici “ , Celest. Mech. Dyn. Astron. , sv. 40,1987, str. 303–312 ( číst online )

Podívejte se také

Související články

externí odkazy

[OI] (in) " Keplerova rovnice " [ "Kepler rovnice"] záznam autority n o 20110803100034177 na Oxford Index (OI) v databázi Oxford Odkaz z nakladatelství Oxford University Press (OUP) .
(en) Série článků od Danbyho a Burkardta [1] [2]
(en) Algoritmus a výpočetní program od Odella a Goodinga [3]
(fr) Gaussova metoda řešení Keplerovy rovnice
Autoritní záznamy :