Orr-Sommerfeldova rovnice
Orr-Sommerfeld rovnice v mechanice tekutin je vlastní číslo rovnice popisující vývoj nekonečně poruchy v průtoku paralelní viskózní. Umožňuje tedy kontrolovat lineární stabilitu toku a je tedy prvkem pro predikci laminárně-turbulentního přechodu .
Tato rovnice je pojmenována po díle Williama McFaddena Orra a Arnolda Sommerfelda .
Formulace
Snížené proměnné
Zajímá nás paralelní nestlačitelný tok popsaný Navier-Stokesovými rovnicemi zapsanými v redukovaných proměnných zahrnujících Reynoldsovo číslo na základě charakteristické délky L 0 a charakteristické rychlosti U 0 toku
∂PROTI~∂t~+(PROTI~⋅∇X~)PROTI~=-∇X~p~+1RE∇X~2PROTI~∇X~⋅PROTI~=0PROTI~(X,0)=PROTI~0(X){\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ částečné {\ tilde {\ mathbf {V}}}} {\ částečné {\ tilde {t}}}} + + ({\ tilde {\ mathbf {V}}} \ cdot \ nabla _ {\ tilde {x}}) {\ tilde {\ mathbf {V}}} & = & - \ nabla _ {\ tilde {x}} \, {\ tilde {p }} + {\ frac {1} {Re}} \ nabla _ {\ tilde {x}} ^ {2} {\ tilde {\ mathbf {V}}} \\ [0,6em] \ nabla _ {\ tilde {x}} \ cdot {\ tilde {\ mathbf {V}}} & = & 0 \\ [0,6em] {\ tilde {\ mathbf {V}}} (\ mathbf {x}, 0) & = & {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {0} (\ mathbf {x}) \ end {pole}}}![{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ částečné {\ tilde {\ mathbf {V}}}} {\ částečné {\ tilde {t}}}} + + ({\ tilde {\ mathbf {V}}} \ cdot \ nabla _ {\ tilde {x}}) {\ tilde {\ mathbf {V}}} & = & - \ nabla _ {\ tilde {x}} \, {\ tilde {p }} + {\ frac {1} {Re}} \ nabla _ {\ tilde {x}} ^ {2} {\ tilde {\ mathbf {V}}} \\ [0,6em] \ nabla _ {\ tilde {x}} \ cdot {\ tilde {\ mathbf {V}}} & = & 0 \\ [0,6em] {\ tilde {\ mathbf {V}}} (\ mathbf {x}, 0) & = & {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {0} (\ mathbf {x}) \ end {pole}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08bfe36bd060002bc63070d0406db64eabba1ff8)
Demonstrace
Počínaje nestlačitelným systémem Navier-Stokes
∂PROTI∂t+(PROTI⋅∇X)PROTI=-1ρ∇Xp+ν∇X2PROTI∇X⋅PROTI=0{\ displaystyle {\ begin {pole} {rcl} {\ frac {\ částečné \ mathbf {V}} {\ částečné t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla _ {x}) \ mathbf {V } & = & - {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla _ {x} \, p + \ nu \, \ nabla _ {x} ^ {2} \ mathbf {V} \\ [0,6em ] \ nabla _ {x} \ cdot \ mathbf {V} & = & 0 \ end {pole}}}![{\ displaystyle {\ begin {pole} {rcl} {\ frac {\ částečné \ mathbf {V}} {\ částečné t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla _ {x}) \ mathbf {V } & = & - {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla _ {x} \, p + \ nu \, \ nabla _ {x} ^ {2} \ mathbf {V} \\ [0,6em ] \ nabla _ {x} \ cdot \ mathbf {V} & = & 0 \ end {pole}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8223dbe50ffbf72a903dc35c9aff2dcf9fdda987)
kde ν je kinematická viskozita , definuje se pro tento problém následující referenční veličiny: délka L 0 a rychlost U 0, s nimiž se vytvoří Reynoldsovo číslo charakteristické pro zpracovanou úlohu
RE=U0L0ν{\ displaystyle Re = {\ frac {U_ {0} L_ {0}} {\ nu}}}![{\ displaystyle Re = {\ frac {U_ {0} L_ {0}} {\ nu}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef38749504e4c6256b5a35575a1d89d1e5d07da8)
Bezrozměrné proměnné proto jsou
X~=XL0,PROTI~=PROTIU0,t~=U0tL0,p~=pρU02{\ displaystyle {\ tilde {x}} = {\ frac {x} {L_ {0}}} \ ,, \; \; \; {\ tilde {\ mathbf {V}}} = {\ frac {\ mathbf {V}} {U_ {0}}} \ ,, \; \; \; {\ tilde {t}} = {\ frac {U_ {0} t} {L_ {0}}} \ ,, \ ; \; \; {\ tilde {p}} = {\ frac {p} {\ rho U_ {0} ^ {2}}}}![{\ displaystyle {\ tilde {x}} = {\ frac {x} {L_ {0}}} \ ,, \; \; \; {\ tilde {\ mathbf {V}}} = {\ frac {\ mathbf {V}} {U_ {0}}} \ ,, \; \; \; {\ tilde {t}} = {\ frac {U_ {0} t} {L_ {0}}} \ ,, \ ; \; \; {\ tilde {p}} = {\ frac {p} {\ rho U_ {0} ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba275e6e84bd1de905b53b9d4ce6e5d2fc1b36b2)
V tomto novém systému je zapsán operátor přechodu
∇X~=L0∇X{\ displaystyle \ nabla _ {\ tilde {x}} = L_ {0} \ nabla _ {x}}![{\ displaystyle \ nabla _ {\ tilde {x}} = L_ {0} \ nabla _ {x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa002c189d24de58a63635f256c9168194b6b79f)
Zbývá pouze zavést tyto veličiny do výše uvedeného systému a vynásobit L 0 U 0 -2 .
Pokračování týkající se pouze adimensionovaných proměnných bude ignorovat vlnovky proměnných a gradient bude zaznamenán bez indexu.
Stabilita
Jeden navrství na počáteční podmínku narušení slabé amplitudy
PROTI(X,0)=PROTI0(X)+PROTI′(X){\ displaystyle \ mathbf {V} (\ mathbf {x}, 0) = \ mathbf {V} _ {0} (\ mathbf {x}) + \ mathbf {V} '(\ mathbf {x})}![{\ displaystyle \ mathbf {V} (\ mathbf {x}, 0) = \ mathbf {V} _ {0} (\ mathbf {x}) + \ mathbf {V} '(\ mathbf {x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e70cca5915c394deec3afb01ae79abd89decad5)
Nové řešení systému je ( U , q) takové
U=PROTI+PROTI′,q=p+p′{\ displaystyle \ mathbf {U} = \ mathbf {V} + \ mathbf {V} '\ ,, \; \; \; q = p + p'}![{\ displaystyle \ mathbf {U} = \ mathbf {V} + \ mathbf {V} '\ ,, \; \; \; q = p + p'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/835db5ee0df7eeeadfb630a47e7e028e39781d83)
S přihlédnutím | V ' | << | V | a proto je zapsáno zanedbání systému souvisejícího s poruchami
(PROTI′⋅∇)PROTI′{\ displaystyle (\ mathbf {V} '\ cdot \ nabla) \ mathbf {V}'}![{\ displaystyle (\ mathbf {V} '\ cdot \ nabla) \ mathbf {V}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146e7258eec89d3ce47f5193f7e63364bbd99df6)
∂PROTI′∂t+(PROTI′⋅∇)PROTI+(PROTI⋅∇)PROTI′≃-∇p′+1RE∇2PROTI′∇⋅PROTI′=0{\ displaystyle {\ begin {pole} {rcl} {\ frac {\ částečné \ mathbf {V} '} {\ částečné t}} + (\ mathbf {V}' \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} + (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} '& \ simeq & - \ nabla \, p' + {\ frac {1} {Re}} \, \ nabla ^ {2} \ mathbf { V} '\\ [0.6em] \ nabla \ cdot \ mathbf {V}' & = & 0 \ end {pole}}}![{\ displaystyle {\ begin {pole} {rcl} {\ frac {\ částečné \ mathbf {V} '} {\ částečné t}} + (\ mathbf {V}' \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} + (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} '& \ simeq & - \ nabla \, p' + {\ frac {1} {Re}} \, \ nabla ^ {2} \ mathbf { V} '\\ [0.6em] \ nabla \ cdot \ mathbf {V}' & = & 0 \ end {pole}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbcab22ec1b82882817a9e92d16906b0c77bdced)
Systém je
- stabilní, pokud | V ' | je omezený
supX,t|PROTI′|<ϵ{\ displaystyle \ sup _ {\ mathbf {x}, t} | \ mathbf {V} '| <\ epsilon}![{\ displaystyle \ sup _ {\ mathbf {x}, t} | \ mathbf {V} '| <\ epsilon}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36e4dccd120276b54bf766118b964ba63abd4218)
pro všechno , jako je
F(ϵ){\ displaystyle f (\ epsilon)}
supX|PROTI0′|<F{\ displaystyle \ sup _ {\ mathbf {x}} | \ mathbf {V} _ {0} '| <f}
- asymptoticky stabilní, pokud je stabilní a navíc
limt→∞|PROTI′|=0{\ displaystyle \ lim \ limity _ {t \ rightarrow \ infty} | \ mathbf {V} '| = 0}![{\ displaystyle \ lim \ limity _ {t \ rightarrow \ infty} | \ mathbf {V} '| = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb52124543ab950a04875e096bd5212122571e8)
Rayleighova a Orr-Sommerfeldova rovnice
Z toho, co následuje, se redukuje studium stability na médium v paralelní rovině, jako je PROTI=(u,0,0),PROTI′=(proti1,proti2,0){\ displaystyle \ mathbf {V} = (u, 0,0) \ ,, \; \; \; \ mathbf {V} '= (v_ {1}, v_ {2}, 0)}
Jak ukazuje Squireova věta , není užitečné brát v úvahu příčnou složku.
Rovnice narušení se stane
∂PROTI′∂t+u∇PROTI′=-∇p′+1RE∇2PROTI′{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ mathbf {V} '} {\ částečné t}} + u \ nabla \ mathbf {V}' = - \ nabla \, p '+ {\ frac {1} {Re} } \, \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} '}
Rayleighova rovnice
Nejprve se postavme do neviskózního případu a představme si aktuální funkci ψ takovou
proti1=∂Ψ∂y,proti2=-∂Ψ∂X{\ displaystyle v_ {1} = {\ frac {\ částečné \ Psi} {\ částečné y}} \ ,, \; \; \; v_ {2} = - {\ frac {\ částečné \ Psi} {\ částečné X}}}![{\ displaystyle v_ {1} = {\ frac {\ částečné \ Psi} {\ částečné y}} \ ,, \; \; \; v_ {2} = - {\ frac {\ částečné \ Psi} {\ částečné X}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f119ee2979b1f6a3a3a96c13aac6cc7148dc9a3)
Hledáme řešení v podobě pulzujících vln ω a vlnového vektoru k
Ψ=Φ(k,y,ω)Ei(kX-ωt),p′=G(k,y,ω)Ei(kX-ωt){\ Displaystyle \ Psi = \ Phi (k, y, \ omega) e ^ {i (kx- \ omega t)} \ ,, \; \; \; p '= g (k, y, \ omega) e ^ {i (kx- \ omega t)}}![{\ Displaystyle \ Psi = \ Phi (k, y, \ omega) e ^ {i (kx- \ omega t)} \ ,, \; \; \; p '= g (k, y, \ omega) e ^ {i (kx- \ omega t)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2fe2e411efc3cf4d377abc884bf8b2c9f4686d)
Dvojitá Fourierova transformace v x at umožňuje zápis
(ω-uk)dΦdy+kΦdudy=kG(ω-uk)Φ=dGdy{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} (\ omega -uk) {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} {\ mathrm {d} y}} + k \ Phi {\ frac {\ mathrm { d} u} {\ mathrm {d} y}} & = & kg \\ [0,6em] (\ omega -uk) \ Phi & = & {\ frac {\ mathrm {d} g} {\ mathrm {d } y}} \ end {pole}}}![{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} (\ omega -uk) {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} {\ mathrm {d} y}} + k \ Phi {\ frac {\ mathrm { d} u} {\ mathrm {d} y}} & = & kg \\ [0,6em] (\ omega -uk) \ Phi & = & {\ frac {\ mathrm {d} g} {\ mathrm {d } y}} \ end {pole}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f869a0f25e49f67d0c00d9cfb9c7bb7e8f642d)
Tento systém je zjednodušený, aby dal Rayleighovu rovnici (předpokládáme, že Ψ a u jsou alespoň dvakrát diferencovatelné)
(u-ωk)(d2Φdy2-k2Φ)-Φd2udy2=0{\ displaystyle \ left (u - {\ frac {\ omega} {k}} \ right) \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ Phi} {\ mathrm {d} y ^ { 2}}} - k ^ {2} \ Phi \ right) - \ Phi {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} y ^ {2}}} = 0}![{\ displaystyle \ left (u - {\ frac {\ omega} {k}} \ right) \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ Phi} {\ mathrm {d} y ^ { 2}}} - k ^ {2} \ Phi \ right) - \ Phi {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} y ^ {2}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54aae4ed56d2d5384cee07ee06facc685feb48ee)
Nestabilita vyžaduje, aby vlna nebyla utlumena, a proto je imaginární část fázové rychlosti c = ω / k kladná.
Tato rovnice musí být vyřešena s okrajovými podmínkami představujícími problém. Například se stěnami v y 1 a y 2 máme
Φ(y1)=Φ(y2)=0{\ displaystyle \ Phi (y_ {1}) = \ Phi (y_ {2}) = 0}![{\ displaystyle \ Phi (y_ {1}) = \ Phi (y_ {2}) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389bbfb87e26657fd1e2abcef2a38618d5359717)
Úkolem je problém s vlastním číslem, který připouští řešení pro páry (k, ω), řešení disperzního vztahu f (k, ω) = 0.
Orr-Sommerfeldova rovnice
Stejná analýza jako výše s viskózním výrazem pro problém Couette nebo Poiseuille vede k rovnici
(u-vs.)(d2Φdy2-k2Φ)-Φd2udy2=1ikRE(d4Φdy4-2k2d2Φdy2+k4Φ){\ displaystyle (uc) \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ Phi} {\ mathrm {d} y ^ {2}}} - k ^ {2} \ Phi \ right) - \ Phi {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} y ^ {2}}} = {\ frac {1} {ikRe}} \ vlevo ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {4} \ Phi} {\ mathrm {d} y ^ {4}}} - 2k ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ Phi} {\ mathrm {d } y ^ {2}}} + k ^ {4} \ Phi \ right)}![{\ displaystyle (uc) \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ Phi} {\ mathrm {d} y ^ {2}}} - k ^ {2} \ Phi \ right) - \ Phi {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} y ^ {2}}} = {\ frac {1} {ikRe}} \ vlevo ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {4} \ Phi} {\ mathrm {d} y ^ {4}}} - 2k ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ Phi} {\ mathrm {d } y ^ {2}}} + k ^ {4} \ Phi \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3d67ac385ea1f6822794b37f2097c6db51ecd9)
Disperzní vztah je zde f (k, ω, Re) = 0.
Číselným rozlišením ukážeme, že tok Poiseuille je pro Re> 5772,22 nestabilní. Nad touto hodnotou a pro velmi slabé poruchy se objevují vlny Tollmien-Schlichting .
U toku Couette žádná hodnota Re nesplňuje kritérium lineární nestability.
Nelineární nestabilita
Absence lineární nestability však nezaručuje stabilitu při narušení konečné amplitudy. Například tok Poiseuille je nestabilní od Re = 2900 pro danou amplitudu (viz křivka).
Reference
-
(in) Eckert, „ Problematický vznik teorie hydrodynamické stability: Sommerfeld a problém turbulence “ , European Physical Journal H , sv. 35,2010, str. 29–51 ( číst online )
-
(in) W. Mark F. Orr, „ Stabilita zlata Nestabilita Stabilní pohyby kapaliny a Perfektní viskózní kapaliny. Část I: Perfektní tekutina “ , Sborník Královské irské akademie . Sekce A: Matematické a fyzikální vědy , sv. 27,1907, str. 9–68 ( číst online )
-
(in) W. Mark F. Orr, „ Stabilita zlata Nestabilita Stabilní pohyby kapaliny a Perfektní viskózní kapaliny. Část II: Viskózní kapalina “ , Sborník Královské irské akademie . Sekce A: Matematické a fyzikální vědy , sv. 27,1907, str. 69-138 ( číst online )
-
(De) A. Sommerfeld, „ Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen “ , Sborník ze 4. mezinárodního kongresu matematiků , Řím, sv. III,1908, str. 116-124
-
(in) HB Squire, „ O stabilitě trojrozměrného narušení toku viskózní tekutiny v paralelních stěnách “ , Proceedings of the Royal Society Series A , sv. 142, n o 847,1933, str. 621-628 ( číst online )
-
(in) PJ Schmid a DS Henningson, Stabilita a přechod ve smykových proudech , Springer ,1985, 558 s. ( ISBN 978-1-4612-6564-1 , číst online )
-
SA Orszag, „ Přesné řešení stabilizační rovnice Orr - Sommerfeld “, Journal of Fluid Mechanics , sv. 50, n O 4,1996, str. 689-703 ( DOI 10.1063 / 1.868919 , Bibcode 1996PhFl .... 8.1424H )
-
(in) A. Georgescu Hydrodynamic Stability Theory , Dordrecht / Boston / Lancaster, Martinus Nijhoff Publishers ,2001, 306 s. ( ISBN 90-247-3120-8 , číst online )
-
(in) Paul Manneville, nestabilita, chaos a turbulence. Úvod do nelineární dynamiky a komplexních systémů , Imperial College Press ,2004, 391 str. ( ISBN 1-86094-483-3 , číst online )
Související články
externí odkazy