Spektrální teorie

V matematiky , a zejména v analýze , je spektrální teorie je teorie rozšiřuje operátorů definovaných na obecných funkčních prostorů elementární teorii čísel a vektorů z matic . Ačkoli tyto myšlenky pocházejí z vývoje lineární algebry , souvisejí také se studiem analytických funkcí , protože spektrální vlastnosti operátora souvisí s analytickými funkcemi na hodnotách jeho spektra.

Matematický kontext

Název spektrální teorie zavedl David Hilbert ve své původní formulaci Hilbertovy teorie prostorů , která je uvedena v kvadratických formách s nekonečným množstvím proměnných. Počáteční spektrální věta se tedy koncipován jako zobecnění teorému vymezující hlavní osy z o elipsoidu , v případě, že prostor nekonečného rozměru. Použitelnost spektrální teorie v kvantové mechanice pro vysvětlení aspektů emisních spekter atomů byla proto náhodná.

Spektrální teorie byla formulována třemi různými způsoby, které se používají dodnes. Po Hilbertově počátečním díle následoval vývoj v Hilbertově teorii prostorů a spektrální teorii jediného normálního endomorfismu vývoj kvantové fyziky , zejména v práci von Neumanna . Teorie byla vyvinuta tak, aby zahrnovala teorii Banachových algeber a více abstraktních konstruktů, což vedlo k reprezentaci Gelfanda  (ne) , který pokrývá komutativní případ, a k řešení nekomutativní harmonické analýzy .

Rozdíl mezi těmito přístupy lze nejlépe vidět v případě Fourierovy analýzy. Fourierova transformace na reálné ose může být viděn jako spektrální teorie derivace, považovat za provozovatele diferenciální . Abychom však mohli tento operátor studovat tímto způsobem, je nutné zvážit zájem o vlastní distribuce (například zprostředkováním tripletu Gelfand  (en) ). Naproti tomu je snadné vytvořit skupinovou algebru  (en) (topologickou), spektrum zachytí většinu vlastností Fourierovy transformace, což se realizuje pomocí duality Pontryagina .

Je také možné studovat spektrální vlastnosti operátorů na Banachových prostorech . Zejména kompaktní operátory v těchto prostorech mají spektrální vlastnosti podobné vlastnostem matic .

Fyzický kontext

Užitečnost spektrální teorie ve fyzice, zejména pro vibrační jevy, byla vysvětlena následovně: „Spektrální teorie souvisí se studiem lokálních vibrací různých objektů, od atomů a molekul až po překážky na cestě zvukových vln. Hlavní otázkou je určit, zda k těmto vibracím dochází a na jakých frekvencích. Jedná se o velmi obtížný problém, protože každý objekt má nejen základní frekvenci, ale také komplexní soubor harmonických v závislosti na povaze objektu “ .

Matematická teorie nezávisí na těchto fyzikálních úvahách z technického hlediska, ale oba přístupy se navzájem ovlivnily (viz například otázka Marka Kaca  : Poslechněte si tvar bubnu  (in) ). Jean Dieudonné tvrdí, že Hilbertovo přijetí pojmu spektrum vychází z článku Wilhelma Wirtingera o Hillově rovnici (1897) a že jeho studenti, zejména Erhard Schmidt a Hermann Weyl , se slova ujali během prvních let dvacátého století. Erhard Schmidt a Frigyes Riesz poté vyvinuli teoretické základy konceptu prostoru Hilberta , počínaje myšlenkami Hilberta . Téměř o dvacet let později, když byla z Schrödingerovy rovnice formulována kvantová mechanika, bylo spojení provedeno pomocí spektrálních čar  ; tento vztah s matematickou fyzikou vibrací již byl zvažován, jak zdůraznil Henri Poincaré , ale byl odmítnut z kvantitativních důvodů a pro nedostatek vysvětlení Balmerovy řady . Také pozdější objev, že spektrální teorie může vysvětlit vlastnosti atomových spekter, byl náhodný a nebyl jedním z cílů Hilbertovy teorie.

Definice spektra

Nechť T je omezený operátor definovaný na Banachově prostoru . Definujeme operátor, kde I je operátor identity , ζ komplexní číslo a kde inverzní operátor U , označený U −1 , je jedinečný operátor (pokud existuje) takový, že (pokud existuje inverzní l ', řekneme že U je pravidelné a že je jinak singulární ). Rζ=(ζ Já-T)-1 ,{\ displaystyle R _ {\ zeta} = \ doleva (\ zeta \ IT \ doprava) ^ {- 1} \,}U∘U-1=U-1∘U=Já{\ displaystyle U \ circ U ^ {- 1} = U ^ {- 1} \ circ U = I}

Pomocí těchto definic je řešení sada z T je množina komplexních čísel £ tak, že R ζ existuje a je omezen; tato množina se často označuje ρ (T) . Spektrum z T , obecně označený σ (T) , je komplementární štěpícího sady, to znamená, že soubor ζ tak, že je singulární, nebo že R ζ je neomezená. Funkce R ζ (u £ o p (T) ), se nazývá rozpouštědlo z T . Každá vlastní hodnota T (tj. Každá ζ taková, že existuje nenulový vektor v tak, že T (v) = ζv ) patří do σ (T) , ale spektrum T může obsahovat d 'další hodnoty. ζ Já-T{\ displaystyle \ zeta \ IT}

Tuto definici lze zobecnit na všechny topologické vektorové prostory (definováním podmínky „  T je ohraničený operátor“ pomocí „  T pošle jakoukoli ohraničenou část (ve smyslu obecných topologických vektorových prostorů) do jiné ohraničené části“), ale c 'It Naopak, v konkrétním případě Hilbertových prostorů je teorie především nejbohatší a její aplikace jsou nejpočetnější. Struktura spektra operátorů zejména Hilbertových prostorů je dobře známa; tedy v případě samostatně sousedících operátorů je spektrum obsaženo v reálné linii a rozpadá se  (ne) obecně na diskrétní spektrum tvořené z vlastních čísel a na spojité spektrum  (ne) .

Původ úspěchu spektrálních teorií

Ve funkční analýze , jako již v lineární algebře , dává spektrální věta podmínky umožňující operátorovi být vyjádřen jako součet jednodušších operátorů. Následující prezentace je neformální; přísnější přístup najdete v článku Compact Operator .

Pro operátory používáme Diracovu notaci bra-ket . Například konkrétní lineární operátor L lze v nejjednodušším případě zapsat jako tenzorový součin (dvou vektorů): bytost „bra“ a „ket“ . Funkce je popsána Ket , jako je . Hodnota, kterou převezme na souřadnicích, se poté zaznamená a norma par L=|k1⟩⟨b1|,{\ displaystyle L = | k_ {1} \ rangle \ langle b_ {1} |,}⟨b1|{\ displaystyle \ langle b_ {1} |}|k1⟩{\ displaystyle | k_ {1} \ rangle}F{\ displaystyle f}|F⟩{\ displaystyle | f \ rangle}F(X){\ displaystyle f (x)}(X1,X2,X3,...){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ tečky)}F(X)=⟨X,F⟩{\ displaystyle f (x) = \ langle x, f \ rangle}F{\ displaystyle f}

||F||2=⟨F,F⟩=∫⟨F,X⟩⟨X,F⟩dX=∫F∗(X)F(X)dX{\ displaystyle || f || ^ {2} = \ langle f, f \ rangle = \ int \ langle f, x \ rangle \ langle x, f \ rangle \, dx = \ int f ^ {*} (x ) f (x) \, dx}

kde '*' označuje (komplexní) konjugaci. Tato volba skalárního součinu definuje velmi přesný prehilbertiánský prostor , pro který pak můžeme popsat účinek funkce na: L{\ displaystyle L}F{\ displaystyle f}

L|F⟩=|k1⟩⟨b1|F⟩{\ displaystyle L | f \ rangle = | k_ {1} \ rangle \ langle b_ {1} | f \ rangle},

jinými slovy, pokračujte vytvořením nové funkce vynásobené bodovým součinem představovaným . L{\ displaystyle L}F{\ displaystyle f}|k1⟩{\ displaystyle | k_ {1} \ rangle}⟨b1|F⟩{\ displaystyle \ langle b_ {1} | f \ rangle}

Obecněji, operátor může být reprezentován: L{\ displaystyle L}

L=λ1|E1⟩⟨F1|+λ2|E2⟩⟨F2|+λ3|E3⟩⟨F3|+...,{\ displaystyle L = \ lambda _ {1} | e_ {1} \ rangle \ langle f_ {1} | + \ lambda _ {2} | e_ {2} \ rangle \ langle f_ {2} | + \ lambda _ {3} | e_ {3} \ rangle \ langle f_ {3} | + \ dots,}

kde jsou skalární se tvoří základ , a dvojí základ . Vztah mezi základnou a dvojitou základnou popisuje :, kde je symbol Kronecker . {λi}{\ displaystyle \ {\, \ lambda _ {i} \, \}}{|Ei⟩}{\ displaystyle \ {\, | e_ {i} \ rangle \, \}}{⟨Fi|}{\ displaystyle \ {\, \ langle f_ {i} | \, \}}⟨Fi|Ej⟩=δij{\ displaystyle \ langle f_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}δij{\ displaystyle \ delta _ {ij}}

S tímto formalismu je jsou vlastní čísla o a funkce jsou vektory (nebo spíše vlastní funkce), které odpovídají na ně. Vlastní čísla jsou součástí spektra části . {λi}{\ displaystyle \ {\, \ lambda _ {i} \, \}}L{\ displaystyle L}{|Ei⟩}{\ displaystyle \ {\, | e_ {i} \ rangle \, \}}L{\ displaystyle L}

Otázky, které vyvstanou, jsou následující.

• Za jakých obecných podmínek platí tento formalismus a jaké jsou subjekty, které lze takto vyvíjet v sérii?L{\ displaystyle L}
• Lze kteroukoli funkci vyjádřit pomocí vlastních funkcí (jinými slovy, tvoří vlastní funkce základ )F{\ displaystyle f}
• V jakých případech se objeví spíše diskrétní spektrum než kontinuální?
• Můžeme tyto nápady ještě zobecnit na jiné třídy funkčních prostor?

Odpovědi na tyto otázky tvoří vlastní spektrální teorii ; vyžadují značný vývoj ve funkční analýze .

Reprezentace identity

Tato část představuje stejně volný přístup jako ten předchozí, který stále používá notaci bra-ket; podrobnosti nezbytné pro úplnou formalizaci najdete v odkazovaných pracích.

S předchozími notacemi lze napsat operátor identity: kde také předpokládáme, že {   } tvoří základnu a že {   } jsou duální základnou ověřující vztah:Já=∑i=1ne|Ei⟩⟨Fi|{\ displaystyle I = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} |}|Ei⟩{\ displaystyle | e_ {i} \ rangle}⟨Fi|{\ displaystyle \ langle f_ {i} |}⟨Fi|Ej⟩=δij.{\ displaystyle \ langle f_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}.}

Říká se, že toto psaní je reprezentace nebo řešení identity. Formálně toto znázornění ověří všechny vlastnosti identity; zejména pro jakékoli kladné celé číslo n . Při použití na libovolnou funkci získáme: Jáne=Já{\ displaystyle I ^ {n} = I \,}|ψ⟩{\ displaystyle | \ psi \ rangle}

Já|ψ⟩=|ψ⟩=∑i=1ne|Ei⟩⟨Fi|ψ⟩=∑i=1ne vs.i|Ei⟩{\ displaystyle I | \ psi \ rangle = | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ c_ {i} | e_ {i} \ rangle},

který zobecňuje expanzi Fourierovy řady ψ pomocí funkcí základny {e i  }.

Obecněji řečeno, rovnice tvaru :, kde h je funkce prostoru a O neznámý operátor, je formálně vyřešena v předchozí základně: Ó|ψ⟩=|h⟩{\ displaystyle O | \ psi \ rangle = | h \ rangle}

Ó|ψ⟩=∑i=1nevs.i(Ó|Ei⟩)=∑i=1ne|Ei⟩⟨Fi|h⟩,{\ displaystyle O | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ left (O | e_ {i} \ rangle \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | h \ rangle,} ⟨Fj|Ó|ψ⟩=∑i=1nevs.i⟨Fj|Ó|Ei⟩=∑i=1ne⟨Fj|Ei⟩⟨Fi|h⟩=⟨Fj|h⟩,∀j{\ displaystyle \ langle f_ {j} | O | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ langle f_ {j} | O | e_ {i} \ rangle = \ součet _ {i = 1} ^ {n} \ langle f_ {j} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | h \ rangle = \ langle f_ {j} | h \ rangle, \ quad \ forall j}

který transformuje tohoto neznámého operátora rovnice pomocí rovnice matice, kde jsou neznámé koeficienty c j záviset na všeobecných Fourierových koeficientů z h a maticové prvky (nekonečné) = spojených s operátora O . ⟨Fj|h⟩{\ displaystyle \ langle f_ {j} | h \ rangle}Óji{\ displaystyle O_ {ji}}⟨Fj|Ó|Ei⟩{\ displaystyle \ langle f_ {j} | O | e_ {i} \ rangle}

Spektrální teorie zasahuje, aby určila existenci a povahu použité báze a duální báze. Zejména může být základna vytvořena z vlastních funkcí určitého operátora L  : kde {  λ i  } jsou vlastní hodnoty L . Řešení předchozí rovnice pak dává tenzorové složky L  : L|Ei⟩=λi|Ei⟩;{\ displaystyle L | e_ {i} \ rangle = \ lambda _ {i} | e_ {i} \ rangle \,;}

LJá=L=∑i=1neL|Ei⟩⟨Fi|=∑i=1neλi|Ei⟩⟨Fi|.{\ displaystyle LI = L = \ součet _ {i = 1} ^ {n} L | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} |.}

Řešení operátor

Spektrální teorie umožňuje vyhodnotit operátor řešení R definovaný pomocí vlastních funkcí a vlastních hodnot L a získat odpovídající zelenou funkci. R=(λJá-L)-1,{\ displaystyle R = (\ lambda IL) ^ {- 1}, \,}

Aplikujeme R na libovolnou funkci φ studovaného prostoru, máme

R |φ⟩=(λJá-L)-1 |φ⟩=Σi=1ne1λ-λi|Ei⟩⟨Fi,φ⟩.{\ displaystyle R \ | \ varphi \ rangle = (\ lambda IL) ^ {- 1} \ | \ varphi \ rangle = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ varphi \ rangle.}

Tato funkce je v komplexu s proměnnou roviny tyče lambda pro každý vlastní číslo L . Pomocí výpočtu zbytků získáme

12πi ∮VS dλ(λ-L)-1 |φ⟩=-Σi=1ne |Ei⟩ ⟨Fi,φ⟩=-|φ⟩,{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ anoint _ {C} \ d \ lambda (\ lambda -L) ^ {- 1} \ | \ varphi \ rangle = - \ Sigma _ { i = 1} ^ {n} \ | e_ {i} \ rangle \ \ langle f_ {i}, \ varphi \ rangle = - | \ varphi \ rangle,}

kde je integrální převzat obrysu C obklopující všechny vlastní čísla L .

Předpokládejme, že funkce definované na souřadnicích { x j }, tj. Kde složené závorky odpovídající {  x j  } splňují δ (x - y) = δ (x 1 - y 1 , x 2 - y 2 , x 3 - y 3 , ...) je distribucí Dirac . ⟨X, φ⟩=φ(X1, X2,... ),{\ displaystyle \ langle x, \ \ varphi \ rangle = \ varphi (x_ {1}, \ x_ {2}, ... \),}⟨X, y⟩=δ(X-y),{\ displaystyle \ langle x, \ y \ rangle = \ delta (xy),}

Tak :

⟨X, 12πi ∮VS dλ(λ-L)-1φ⟩=12πi ∮VS dλ ⟨X, (λ-L)-1 φ⟩=12πi ∮VS dλ∫ dy  ⟨X, (λ-L)-1 y⟩ ⟨y, φ⟩{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ left \ langle x, \ {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ mast _ {C} \ d \ lambda (\ lambda -L) ^ {- 1 } \ varphi \ right \ rangle & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ masti _ {C} \ d \ lambda \ \ langle x, \ (\ lambda -L) ^ {- 1} \ \ varphi \ rangle \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ masti _ {C} \ d \ lambda \ int \ dy \ \ \ langle x, \ (\ lambda -L) ^ {- 1} \ y \ rangle \ \ langle y, \ \ varphi \ rangle \ end {zarovnáno}}}

Funkce G (x, y; λ) definovaná vztahem:

G(X, y; λ)=⟨X, (λ-L)-1 y⟩=Σi=1neΣj=1ne⟨X, Ei⟩⟨Fi, (λ-L)-1Ej⟩⟨Fj, y⟩=Σi=1ne⟨X, Ei⟩⟨Fi, y⟩λ-λi=Σi=1neEi(X)Fi∗(y)λ-λi,{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} G (x, \ y; \ \ lambda) & = \ langle x, \ (\ lambda -L) ^ {- 1} \ y \ rangle \\ & = \ Sigma _ { i = 1} ^ {n} \ Sigma _ {j = 1} ^ {n} \ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ (\ lambda -L) ^ {- 1} e_ {j} \ rangle \ langle f_ {j}, \ y \ rangle \\ & = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ y \ rangle} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \\ & = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e_ {i} (x) f_ {i} ^ {*} (y)} {\ lambda - \ lambda _ {i}}}, \ end {zarovnáno}}}

se nazývá Greenova funkce operátora L a ověřuje:

12πi ∮VS dλ G(X, y; λ)=-Σi=1ne⟨X, Ei⟩⟨Fi, y⟩=-⟨X, y⟩=-δ(X-y).{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ pomozte _ {C} \ d \ lambda \ G (x, \ y; \ \ lambda) = - \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} \ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ y \ rangle = - \ langle x, \ y \ rangle = - \ delta (xy).}

Rovnice pro operátory

Zvažte rovnici z hlediska souřadnic  :; důležitým zvláštním případem je λ = 0. (Ó-λJá) |ψ⟩=|h⟩;{\ displaystyle (O- \ lambda I) \ | \ psi \ rangle = | h \ rangle;}∫ dy ⟨X, (Ó-λJá) y⟩⟨y, ψ⟩=h(X){\ Displaystyle \ int \ dy \ \ langle x, \ (O- \ lambda I) \ y \ rangle \ langle y, \ \ psi \ rangle = h (x)}

Greenova funkce definovaná v předchozí části je:

⟨y, G(λ)z⟩=⟨y, (Ó-λJá)-1z⟩=G(y, z; λ) ,{\ Displaystyle \ langle y, \ G (\ lambda) z \ rangle = \ langle y, \ (O- \ lambda I) ^ {- 1} z \ rangle = G (y, \ z; \ \ lambda) \ ,}

a zkontrolujte

∫ dy ⟨X,( Ó-λJá) y⟩⟨y, G(λ)z⟩{\ displaystyle \ int \ dy \ \ langle x, (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle \ langle y, \ G (\ lambda) z \ rangle} =∫ dy ⟨X,( Ó-λJá) y⟩⟨y, (Ó-λJá)-1z⟩{\ displaystyle = \ int \ dy \ \ langle x, (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle \ langle y, \ (O- \ lambda I) ^ {- 1} z \ rangle} =⟨X, z⟩=δ(X-z) .{\ displaystyle = \ langle x, \ z \ rangle = \ delta (xz) \.}

Pomocí této vlastnosti máme: ∫ dy ⟨X,( Ó-λJá) y⟩G(y, z; λ)=δ(X-z) .{\ Displaystyle \ int \ dy \ \ langle x, (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle G (y, \ z; \ \ lambda) = \ delta (xz) \.}

Pak vynásobením obou stran rovnice h (z) a integrací to přijde:

∫ dz h(z) ∫ dy ⟨X, ( Ó-λJá) y⟩ G(y, z; λ){\ Displaystyle \ int \ dz \ h (z) \ \ int \ dy \ \ langle x, \ (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle \ G (y, \ z; \ \ lambda)}  =∫ dy ⟨X, ( Ó-λJá) y⟩∫ dz h(z) G(y, z; λ)=h(X) ,{\ displaystyle = \ int \ dy \ \ langle x, \ (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle \ int \ dz \ h (z) \ G (y, \ z; \ \ lambda) = h ( X) \,}

což naznačuje, že řešení bude ψ(X)=∫ dz h(z) G(X, z; λ).{\ Displaystyle \ psi (x) = \ int \ dz \ h (z) \ G (x, \ z; \ \ lambda).}

Funkce ψ (x) splňující počáteční rovnici tedy bude získána, pokud můžeme určit spektrum O a konstruovat G , například pomocí  ; existuje samozřejmě mnoho jiných způsobů, jak zjistit G . Další podrobnosti najdete v článcích o Greenových funkcích a Fredholmových integrálních rovnicích  ; na druhou stranu by se nemělo zapomínat, že předchozí analýza je čistě formální a že důsledné zacházení s těmito rovnicemi znamená poměrně velkou matematickou propracovanost vyžadující zejména důkladné znalosti funkční analýzy a teorii Hilbertových prostorů a distribuce . G(X, z; λ)=Σi=1neEi(X)Fi∗(z)λ-λi .{\ displaystyle G (x, \ z; \ \ lambda) = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e_ {i} (x) f_ {i} ^ {*} (z)} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \.}

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „  Spektrální teorie  “ ( viz seznam autorů ) .

Poznámky

1. (in) Jean Dieudonne , History of Functional Analysis , Amsterdam / New York / Oxford, Elsevier , devatenáct osmdesát jedna, 312  s. ( ISBN  0-444-86148-3 , číst online ).
2. (in) William Arveson (in) , Krátký kurz o spektrální teorii , New York, Springer , al.  "  GTM  " ( n o  209)  2002, 135  s. ( ISBN  0-387-95300-0 , číst online ) , kap.  1 („Spektrální teorie a Banachovy algebry“).
3. (en) Viktor Sadovnichy , Teorie operátorů , Springer, 1991, 396  s. ( ISBN  978-0-306-11028-3 , číst online ) , kap.  4 („Geometrie Hilbertova prostoru - spektrální teorie operátorů“) , s. 4  181 a následující.
4. (in) John von Neumann , Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , PUP , al.  "Princeton památky matematiky" ( n o  2) 1996( 1 st  ed. 1932), 445  str. ( ISBN  978-0-691-02893-4 , číst online ).
5. E. Brian Davies , citovaný na webových stránkách King's College London , „  Research Axes of the Analysis Group  “ .
6. V angličtině: „Spektrální teorie souvisí se zkoumáním lokalizovaných vibrací různých objektů, od atomů a molekul v chemii až po překážky v akustických vlnovodech. Tyto vibrace mají frekvence a otázkou je rozhodnout, kdy k těmto lokalizovaným vibracím dojde a jak postupovat při výpočtu frekvencí. Jedná se o velmi komplikovaný problém, protože každý objekt má nejen základní tón, ale také komplikovanou řadu podtextů, které se radikálně liší od jednoho těla k druhému. “
7. (in) Nicholas Young , An Introduction to Hilbert Space , UPC , 1988, 239  s. ( ISBN  978-0-521-33717-5 , číst online ) , s.  3
8. (en) Jean-Luc Dorier , O výuce lineární algebry , Kluwer al.  "Education Library Mathematics" ( n o  23), 2000, 290  s. ( ISBN  978-0-7923-6539-6 , číst online ) , s.  50
9. Viz (en) Spektra z matematiky a fyziky od Jean Mawhin , s. 4 a 10-11.
10. (en) Edgar Raymond Lorch , spektrální teorie , vydavatelé učebnic, 2003( 1 st  ed. , 1962, Oxford), 158  str. ( ISBN  978-0-7581-7156-6 ) , str.  89
11. Young 1988 , str.  81
12. (in) Helmut H. Schaefer (od) a Manfred PH Wolff , Topological Vector Spaces , Springer al.  "GTM" ( n o  3)  1999, 2 nd  ed. , 366  s. ( ISBN  978-0-387-94823-2 ) , str.  36
13. (in) Dmitrii Petrovič Zhelobenko , hlavní struktury a metody teorie reprezentace , AMS , 2006, 430  str. ( ISBN  978-0-8218-3731-3 , číst online )
14. Lorchu 2003 , str.  57, c. III: Hilbert Space
15. Lorch 2003 , s.  106 a následující, kap. V: Struktura samoobslužných transformací
16. (in) Bernard Friedman , Principles and Techniques of Applied Mathematics , Dover , 1990( 1 st  ed. 1956, Wiley), 315  str. ( ISBN  978-0-486-66444-6 , číst online ) , s.  26
17. (in) PAM Dirac , The Principles of Quantum Mechanics , OUP , devatenáct osmdesát jedna, 4 th  ed. , 314  s. ( ISBN  978-0-19-852011-5 , číst online ) , s.  29 a následující
18. (in) Jürgen Audretsch , Entangled Systems: New Directions in Quantum Physics , Weinheim, Wiley-VCH , 2007, 338  s. ( ISBN  978-3-527-40684-5 a 3-527-40684-0 , číst online ) , kap.  1.1.2 („Lineární operátory v Hilbertově prostoru“) , s.  5
19. (in) RA Howland , Intermediate Dynamics: Lineární algebraický přístup , Birkhäuser , 2006, 2 nd  ed. , 542  s. ( ISBN  0-387-28059-6 ) , str.  69 a následující
20. Friedman 1990 , str.  57, c. 2: Spektrální teorie operátorů
21. Viz diskuse v Dirac 1981 a (en) Milan Vujičić , Lineární algebra důkladně vysvětlena , Springer,2008, 288  s. ( ISBN  978-3-540-74637-9 a 3-540-74637-4 ) , str.  274
22. Viz
    • základní text von Neumanna 1996 ,
    • (en) Arch W. Naylor a George R. Sell , Linear Operator Theory in Engineering and Science , Springer, kol.  "Applied matematické vědy" ( n o  40)2000, 624  s. ( ISBN  978-0-387-95001-3 , číst online ) , kap.  5 („Část B: Spektrum“) , s. 5  401,
    • (en) Steven Roman , Advanced Linear Algebra , Springer, coll.  "GTM" ( n o  135)2005, 2 nd  ed. , 482  s. ( ISBN  978-0-387-24766-3 , číst online ) a
    • (en) I︠U︡riĭ Makarovich Berezanskiĭ , Expansions in Eigenfunctions of Selfadjoint Operators , AMS, coll.  "Překlady matematické Monographs" ( n o  17)1968( ISBN  978-0-8218-1567-0 , číst online )
23. Například viz (in) Gerald B. Folland  (in) , Fourierova analýza a její aplikace , AMS,2009( 1 st  ed. 1992 Wadsworth & Brooks / Cole se), 433  str. ( ISBN  978-0-8218-4790-9 , číst online ) , „Konvergence a úplnost“ , s. 1.  77 a následující
24. Dirac 1981 , str.  65 a následující
25. Dirac 1981 , str.  60 a následující
26. Friedman 1990 , str.  214, ekv. 2.14
27. Například viz (in) Sadri Hassani , Mathematical Physics: A Modern Introduction to Ict Foundations , Springer,1999, 1026  s. ( ISBN  978-0-387-98579-4 , číst online ) , kap.  20 („Greenovy funkce v jedné dimenzi“) , s. 20  553 a následujícía (en) Qing-Hua Qin , Green's Function and Boundary Elements of Multifield Materials , Elsevier ,2007, 254  s. ( ISBN  978-0-08-045134-3 , číst online )

Reference

• Pierre Lévy-Bruhl: Úvod do spektrální teorie. Dunod, Paříž, 2003
• (en) Edward Brian Davies , Spectral Theory and Differential Operators , CUP, coll.  "Cambridge Studium v pokročilé matematiky" ( n °  42),1996( ISBN  0-521-58710-7 , číst online )
• (en) Nelson Dunford a Jacob T. Schwartz , Lineární operátoři, Spektrální teorie, Samostatní operátoři v Hilbertově prostoru (část 2) , Wiley ,1988( 1 st  ed. 1967), 1088  str. ( ISBN  978-0-471-60847-9 )
• (en) Nelson Dunford a Jacob T. Schwartz , Lineární operátoři: Spektrální operátoři (část 3) , Wiley ,1988( 1 st  ed. 1971), 688  str. ( ISBN  978-0-471-60846-2 )
• (en) „Spektrální teorie lineárních operátorů“ , Michiel Hazewinkel , Encyklopedie matematiky , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , číst online )
• (en) Shmuel Kantorovitz , Spectral Theory of Banach Space Operators , Springer,1983
• (en) Gerald Teschl , Matematické metody v kvantové mechanice: s aplikacemi pro Schrödingerovy operátory , Providence, RI, AMS,2009, 305  s. ( ISBN  978-0-8218-4660-5 , číst online )

Podívejte se také

Související články

• Vlastní hodnota, vlastní vektor a vlastní prostor
• Spektrum lineárního operátora , rozpouštědlo
• Spektrální geometrie , spektrální poloměr , spektrální věta
• Asistent obsluhy , funkční výpočet
• Sturm-Liouvilleova teorie , integrální rovnice , Fredholmova integrální rovnice
• Kompaktní pohon

externí odkazy

• (en) Evans M. Harrell II: Krátká historie teorie operátorů ( číst online )
• (en) Gregory H. Moore, „  Axiomatizace lineární algebry: 1875–1940  “ , Historia Mathematica , sv.  22,1995, str.  262-303 ( DOI  10.1006 / hmat.1995.1025 , číst online ) [PDF]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">