Orr-Sommerfeldova rovnice

Orr-Sommerfeld rovnice v mechanice tekutin je vlastní číslo rovnice popisující vývoj nekonečně poruchy v průtoku paralelní viskózní. Umožňuje tedy kontrolovat lineární stabilitu toku a je tedy prvkem pro predikci laminárně-turbulentního přechodu .

Tato rovnice je pojmenována po díle Williama McFaddena Orra a Arnolda Sommerfelda .

Formulace

Snížené proměnné

Zajímá nás paralelní nestlačitelný tok popsaný Navier-Stokesovými rovnicemi zapsanými v redukovaných proměnných zahrnujících Reynoldsovo číslo na základě charakteristické délky L 0 a charakteristické rychlosti U 0 toku

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ částečné {\ tilde {\ mathbf {V}}}} {\ částečné {\ tilde {t}}}} + + ({\ tilde {\ mathbf {V}}} \ cdot \ nabla _ {\ tilde {x}}) {\ tilde {\ mathbf {V}}} & = & - \ nabla _ {\ tilde {x}} \, {\ tilde {p }} + {\ frac {1} {Re}} \ nabla _ {\ tilde {x}} ^ {2} {\ tilde {\ mathbf {V}}} \\ [0,6em] \ nabla _ {\ tilde {x}} \ cdot {\ tilde {\ mathbf {V}}} & = & 0 \\ [0,6em] {\ tilde {\ mathbf {V}}} (\ mathbf {x}, 0) & = & {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {0} (\ mathbf {x}) \ end {pole}}}

Demonstrace

Počínaje nestlačitelným systémem Navier-Stokes

{\ displaystyle {\ begin {pole} {rcl} {\ frac {\ částečné \ mathbf {V}} {\ částečné t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla _ {x}) \ mathbf {V } & = & - {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla _ {x} \, p + \ nu \, \ nabla _ {x} ^ {2} \ mathbf {V} \\ [0,6em ] \ nabla _ {x} \ cdot \ mathbf {V} & = & 0 \ end {pole}}}

kde ν je kinematická viskozita , definuje se pro tento problém následující referenční veličiny: délka L 0 a rychlost U 0, s nimiž se vytvoří Reynoldsovo číslo charakteristické pro zpracovanou úlohu

{\ displaystyle Re = {\ frac {U_ {0} L_ {0}} {\ nu}}}

Bezrozměrné proměnné proto jsou

{\ displaystyle {\ tilde {x}} = {\ frac {x} {L_ {0}}} \ ,, \; \; \; {\ tilde {\ mathbf {V}}} = {\ frac {\ mathbf {V}} {U_ {0}}} \ ,, \; \; \; {\ tilde {t}} = {\ frac {U_ {0} t} {L_ {0}}} \ ,, \ ; \; \; {\ tilde {p}} = {\ frac {p} {\ rho U_ {0} ^ {2}}}}

V tomto novém systému je zapsán operátor přechodu

{\ displaystyle \ nabla _ {\ tilde {x}} = L_ {0} \ nabla _ {x}}

Zbývá pouze zavést tyto veličiny do výše uvedeného systému a vynásobit L 0 U 0 -2 .

Pokračování týkající se pouze adimensionovaných proměnných bude ignorovat vlnovky proměnných a gradient bude zaznamenán bez indexu.

Stabilita

Jeden navrství na počáteční podmínku narušení slabé amplitudy

{\ displaystyle \ mathbf {V} (\ mathbf {x}, 0) = \ mathbf {V} _ {0} (\ mathbf {x}) + \ mathbf {V} '(\ mathbf {x})}

Nové řešení systému je ( U , q) takové

{\ displaystyle \ mathbf {U} = \ mathbf {V} + \ mathbf {V} '\ ,, \; \; \; q = p + p'}

S přihlédnutím | V ' | << | V | a proto je zapsáno zanedbání systému souvisejícího s poruchami ${\ displaystyle (\ mathbf {V} '\ cdot \ nabla) \ mathbf {V}'}$

{\ displaystyle {\ begin {pole} {rcl} {\ frac {\ částečné \ mathbf {V} '} {\ částečné t}} + (\ mathbf {V}' \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} + (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} '& \ simeq & - \ nabla \, p' + {\ frac {1} {Re}} \, \ nabla ^ {2} \ mathbf { V} '\\ [0.6em] \ nabla \ cdot \ mathbf {V}' & = & 0 \ end {pole}}}

Systém je

stabilní, pokud | V ' | je omezený

{\ displaystyle \ sup _ {\ mathbf {x}, t} | \ mathbf {V} '| <\ epsilon}

pro všechno , jako je

{\ displaystyle f (\ epsilon)}

{\ displaystyle \ sup _ {\ mathbf {x}} | \ mathbf {V} _ {0} '| <f}

asymptoticky stabilní, pokud je stabilní a navíc

{\ displaystyle \ lim \ limity _ {t \ rightarrow \ infty} | \ mathbf {V} '| = 0}

Rayleighova a Orr-Sommerfeldova rovnice

Z toho, co následuje, se redukuje studium stability na médium v paralelní rovině, jako je ${\ displaystyle \ mathbf {V} = (u, 0,0) \ ,, \; \; \; \ mathbf {V} '= (v_ {1}, v_ {2}, 0)}$

Jak ukazuje Squireova věta , není užitečné brát v úvahu příčnou složku.

Rovnice narušení se stane

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ mathbf {V} '} {\ částečné t}} + u \ nabla \ mathbf {V}' = - \ nabla \, p '+ {\ frac {1} {Re} } \, \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} '}

Rayleighova rovnice

Nejprve se postavme do neviskózního případu a představme si aktuální funkci ψ takovou

{\ displaystyle v_ {1} = {\ frac {\ částečné \ Psi} {\ částečné y}} \ ,, \; \; \; v_ {2} = - {\ frac {\ částečné \ Psi} {\ částečné X}}}

Hledáme řešení v podobě pulzujících vln ω a vlnového vektoru k

{\ Displaystyle \ Psi = \ Phi (k, y, \ omega) e ^ {i (kx- \ omega t)} \ ,, \; \; \; p '= g (k, y, \ omega) e ^ {i (kx- \ omega t)}}

Dvojitá Fourierova transformace v x at umožňuje zápis

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} (\ omega -uk) {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} {\ mathrm {d} y}} + k \ Phi {\ frac {\ mathrm { d} u} {\ mathrm {d} y}} & = & kg \\ [0,6em] (\ omega -uk) \ Phi & = & {\ frac {\ mathrm {d} g} {\ mathrm {d } y}} \ end {pole}}}

Tento systém je zjednodušený, aby dal Rayleighovu rovnici (předpokládáme, že Ψ a u jsou alespoň dvakrát diferencovatelné)

{\ displaystyle \ left (u - {\ frac {\ omega} {k}} \ right) \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ Phi} {\ mathrm {d} y ^ { 2}}} - k ^ {2} \ Phi \ right) - \ Phi {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} y ^ {2}}} = 0}

Nestabilita vyžaduje, aby vlna nebyla utlumena, a proto je imaginární část fázové rychlosti c = ω / k kladná.

Tato rovnice musí být vyřešena s okrajovými podmínkami představujícími problém. Například se stěnami v y 1 a y 2 máme

{\ displaystyle \ Phi (y_ {1}) = \ Phi (y_ {2}) = 0}

Úkolem je problém s vlastním číslem, který připouští řešení pro páry (k, ω), řešení disperzního vztahu f (k, ω) = 0.

Orr-Sommerfeldova rovnice

Stejná analýza jako výše s viskózním výrazem pro problém Couette nebo Poiseuille vede k rovnici

{\ displaystyle (uc) \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ Phi} {\ mathrm {d} y ^ {2}}} - k ^ {2} \ Phi \ right) - \ Phi {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} y ^ {2}}} = {\ frac {1} {ikRe}} \ vlevo ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {4} \ Phi} {\ mathrm {d} y ^ {4}}} - 2k ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ Phi} {\ mathrm {d } y ^ {2}}} + k ^ {4} \ Phi \ right)}

Disperzní vztah je zde f (k, ω, Re) = 0.

Číselným rozlišením ukážeme, že tok Poiseuille je pro Re> 5772,22 nestabilní. Nad touto hodnotou a pro velmi slabé poruchy se objevují vlny Tollmien-Schlichting .

U toku Couette žádná hodnota Re nesplňuje kritérium lineární nestability.

Nelineární nestabilita

Absence lineární nestability však nezaručuje stabilitu při narušení konečné amplitudy. Například tok Poiseuille je nestabilní od Re = 2900 pro danou amplitudu (viz křivka).

Reference

(in) Eckert, „ Problematický vznik teorie hydrodynamické stability: Sommerfeld a problém turbulence “ , European Physical Journal H , sv. 35,2010, str. 29–51 ( číst online )
(in) W. Mark F. Orr, „ Stabilita zlata Nestabilita Stabilní pohyby kapaliny a Perfektní viskózní kapaliny. Část I: Perfektní tekutina “ , Sborník Královské irské akademie . Sekce A: Matematické a fyzikální vědy , sv. 27,1907, str. 9–68 ( číst online )
(in) W. Mark F. Orr, „ Stabilita zlata Nestabilita Stabilní pohyby kapaliny a Perfektní viskózní kapaliny. Část II: Viskózní kapalina “ , Sborník Královské irské akademie . Sekce A: Matematické a fyzikální vědy , sv. 27,1907, str. 69-138 ( číst online )
(De) A. Sommerfeld, „ Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen “ , Sborník ze 4. mezinárodního kongresu matematiků , Řím, sv. III,1908, str. 116-124
(in) HB Squire, „ O stabilitě trojrozměrného narušení toku viskózní tekutiny v paralelních stěnách “ , Proceedings of the Royal Society Series A , sv. 142, n o 847,1933, str. 621-628 ( číst online )
(in) PJ Schmid a DS Henningson, Stabilita a přechod ve smykových proudech , Springer ,1985, 558 s. ( ISBN 978-1-4612-6564-1 , číst online )
SA Orszag, „ Přesné řešení stabilizační rovnice Orr - Sommerfeld “, Journal of Fluid Mechanics , sv. 50, n O 4,1996, str. 689-703 ( DOI 10.1063 / 1.868919 , Bibcode 1996PhFl .... 8.1424H )
(in) A. Georgescu Hydrodynamic Stability Theory , Dordrecht / Boston / Lancaster, Martinus Nijhoff Publishers ,2001, 306 s. ( ISBN 90-247-3120-8 , číst online )
(in) Paul Manneville, nestabilita, chaos a turbulence. Úvod do nelineární dynamiky a komplexních systémů , Imperial College Press ,2004, 391 str. ( ISBN 1-86094-483-3 , číst online )

Související články

externí odkazy

Paul Manneville a Yves Pomeau, „ Přechod k turbulencím “ , ve Scholarpedii