Analogy faktoriálu

V matematice je faktoriální funkce funkce definovaná od v , která k celému číslu n spojuje součin celých čísel od 1 do n . Je třeba poznamenat, $n$ $!$ . Například 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5 040. $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {N}$

Bylo definováno mnoho funkcí analogických k faktoriální funkci ; tato stránka uvádí nejčastěji se vyskytující varianty.

Prvotní

Primární funkce je podobná faktoriální funkci, ale spojuje s $n$ pouze součin prvočísel menších nebo rovných $n$ . Označuje se n # nebo P ( n ). Například P (7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210.

Multifaktoriál

Multifaktoriální řádu q z n udržuje, v produktu definování faktoriálovou, pouze jeden vstup na q , od n .

Pro zjednodušení psaní je běžnou notací použití q vykřičníků následujících za číslem n pro označení této funkce.

Dvojitý faktoriál

Pro q = 2, n !!, dvojitý faktoriál of n , je definován indukcí podle:

{\ displaystyle n !! = {\ begin {cases} 1 & {\ text {si}} 0 \ leqslant n \ leqslant 1 \\ n \ times (n-2) !! & {\ text {si}} n \ geqslant 2 \ end {případy}}}

Takže :, kde označuje celou část z . ${\ Displaystyle n !! = n \ krát (n-2) \ krát (n-4) \ krát \ cdots \ krát \ vlevo (n-2 \ vlevo \ lfloor {\ frac {n-1} {2}} \ right \ rfloor \ right)}$ ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ $X$

Jinými slovy, n !! je součin všech celých čísel od 1 do n, která mají stejnou paritu jako n .

První hodnoty n !! pro jsou 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, ..; Sledování A006882 z OEIS . ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

Některé identity vyplývají z definice:

n! = n !! (n-1) !!

(2n) !! = 2 ^ {n} n!

(2n + 1) !! = {\ frac {(2n + 1)!} {(2n) !!}} = {\ frac {(2n + 1)!} {2 ^ {n} n!}}

{\ displaystyle (2n-1) !! = {\ frac {(2n)!} {(2n) !!}} = {\ frac {(2n)!} {2 ^ {n} n!}} = { \ frac {n!} {2 ^ {n}}} {\ binom {2n} {n}} = {\ frac {\ binom {2n} {2,2, ..., 2}} {n!} }}

(poslední čitatel je multinomický koeficient )

{\ displaystyle \ Gamma \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) = \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right)! = {\ sqrt {\ pi }} {\ frac {(2n-1) !!} {2 ^ {n}}}}

Výše uvedené vzorce mohou být seskupeny do: . ${\ displaystyle n !! = 2 ^ {\ frac {n} {2}} \ vlevo ({\ frac {n} {2}} \ vpravo)! \ vlevo ({\ frac {2} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {4}}}$

Musíte dávat pozor, abyste neinterpretovali n !! jako faktoriál n !, který by byl napsán ( n !)! a je mnohem větší číslo.

Multifaktoriál vyššího řádu

Z q = 3 je q -tý multifaktoriál spíše označen n ! q ; jeho definice indukcí je:

{\ displaystyle n! _ {q} = {\ begin {cases} 1 & {\ text {si}} n = 0 \\ n & {\ text {si}} 1 \ leqslant n \ leqslant q \\ n \ krát (nq)! _ {q} & {\ text {si}} n \ geqslant q + 1. \ end {případy}}}

Tak .

{\ displaystyle n! _ {q} = \ prod \ limity _ {\ stackrel {1 \ leqslant k \ leqslant n} {k \ equiv n {\ bmod {q}}}} k = \ prod _ {k = 0 } ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n-1} {q}} \ right \ rfloor} {(n-kq)} = n (nq) \ cdots \ left (n- \ left \ lfloor {\ frac {n-1} {q}} \ doprava \ rfloor q \ doprava)}

První hodnoty n ! 3 : 1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280 ; Sledování A007661 z OEIS . První hodnoty n ! 4:1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231 ; pokračování A007662 z OEIS . První hodnoty n ! 5:1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 24, 36, 50, 66 ; Sledování A085157 z OEIS .

Kombinatorické interpretace

Organizace tenisového turnaje pro 2 n hráčů hrajících na n nečíslovaných kurtech.

Jeden z hráčů jde na pole: má 2 n -1 potenciálních protivníků, kteří se k němu mohou na tomto poli připojit; jeden ze zbývajících hráčů jde do jiného pole: má 2 n -3 možných protivníků atd.: jsou možné turnaje. ${\ displaystyle (2n-1) !!}$

Je to ve skutečnosti počet oddílů sady s 2 n prvky v n částech se dvěma prvky, jak ukazuje vzorec . ${\ displaystyle (2n-1) !! = {\ frac {\ binom {2n} {2,2, ..., 2}} {n!}}}$

Proto je také počet permutací z 2n objektů bez pevného bodu, které jsou vyrobeny z disjunktních transpozice (nebo jejichž dráhy mají dva prvky).

Počet permutací z 2n objektů bez pevného bodu, jehož rozklad do disjunktních cyklů je tvořen cykly i pořadí (nebo jejichž oběžné dráhy mají sudý počet prvků) stojí za to , viz pokračování A001818 na OEIS . ${\ displaystyle ((2n-1) !!) ^ {2}}$

Ukážeme, že to je také počet permutací 2n objektů, jejichž rozklad na disjunktní cykly je tvořen cykly lichého řádu (nebo jejichž oběžné dráhy mají lichý počet prvků, nebo co je stejný, počet permutací liché pořadí). ${\ displaystyle ((2n-1) !!) ^ {2}}$
Počet permutací lichého řádu 2 n +1 objektů stojí za to , viz pokračování A000246 v OEIS . ${\ displaystyle (2n + 1) ((2n-1) !!) ^ {2}}$

Hyperfaktoriální

Hyperfactorial z N , označený H ( n ), je definován:

{\ displaystyle H (n) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k ^ {k} = 1 ^ {1} \ cdot 2 ^ {2} \ cdot 3 ^ {3} \ cdots (n- 1) ^ {n-1} \ cdot n ^ {n}}

Pro n = 1, 2, 3, 4, ... hodnoty H ( n ) jsou 1, 4, 108 , 27 648, ... (pokračování A002109 na OEIS ).

Superfaktoriál

Neil Sloane a Simon Plouffe definovali superfaktoriál v roce 1995 jako produkt prvních n faktoriálů:

{\ displaystyle \ mathrm {sf} (n) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k! = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k ^ {n-k + 1} = 1 ^ { n} \ cdot 2 ^ {n-1} \ cdot 3 ^ {n-2} \ cdots (n-1) ^ {2} \ cdot n ^ {1}}

Například superfaktoriál 4 je:

{\ displaystyle \ mathrm {sf} (4) = 1! \ krát 2! \ krát 3! \ krát 4! = 288}

Sekvence startů superfactorials (od $SF (0) = 1$ ) s:

1, 1, 2, 12 , 288 , 34560, 24883200, ... (viz pokračování A000178 na OEIS )

Myšlenka byla v roce 2000 rozšířena Henrym Bottomleyem na superduperfaktoriál , produkt n prvních superfaktoriálů, počínaje (od n = 0) o:

1, 1, 2, 24 , 6912, 238878720, 5944066965504000, ... (viz pokračování A055462 na OEIS )

pak indukcí na libovolný faktor horní úrovně, kde úroveň faktoru m až n je součinem n faktoriálu první úrovně m - 1, to znamená výběrem faktoriálu n úrovně m : ${\ displaystyle \ mathrm {f} (n, m)}$

{\ displaystyle \ mathrm {f} (n, m) = \ mathrm {f} (n-1, m) \ mathrm {f} (n, m-1) = \ prod _ {k = 1} ^ {n } k ^ {nk + m-1 \ zvolit nk}}

kde $f ( n , 0) = n$ pro $n > 0$ a $f (0, m ) = 1$ .

Superfaktoriál (alternativní definice)

Clifford Pickover , ve své knize Klíče k nekonečnu (1995), definuje superfactorial o n , označil n $, as ($ bytí factorial podepsat s překrývajícím S!):

n \ $ \ equiv {\ begin {matrix} \ underbrace {n! ^ {{{n!} ^ {{{\ cdot} ^ {{{{\ \dot} ^ {{{\ cdot} ^ {{n! }}}}}}}}}}} \\ n! \ end {matrix}}

nebo pomocí Knuthovy notace :

{\ displaystyle n \ $ = (n!) \ uparrow \ uparrow (n!)}

První prvky sekvence superfaktoriálů jsou:

1 \ $ = 1

2 \ $ = 2 ^ {2} = 4

3 \ $ = 6 \ uparrow \ uparrow 6 = 6 ^ {{6 ^ {{6 ^ {{6 ^ {{6 ^ {6}}}}}}}}}

;

toto poslední číslo je příliš velké na to, aby ho bylo možné vyjádřit obvyklou vědeckou notací .

Subfaktoriál

Subfaktoriální funkce , poznamenal! n , se používá pro výpočet počtu chyb z n různých předmětů, to znamená, že počet možných permutací z těchto n objektů tak, aby žádný objekt zůstane na svém místě.

Například existuje! n způsob, jak proklouznout n písmena do n frankované a řešit obálky tak, že žádný z dopisů jsou ve správné obálky.

Existují různé způsoby výpočtu subfaktoriálu

$! n = n! \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}}$
${\ displaystyle! n = {\ frac {\ Gamma (n + 1, -1)} {\ mathrm {e}}}}$

kde $Γ$ je neúplná funkce gama a $e$ základ přirozeného logaritmu .

${\ displaystyle! n = \ left \ lfloor {\ frac {n!} {\ mathrm {e}}} \ right \ rceil}$

kde označuje celé číslo nejblíže k $x$ . ${\ Displaystyle \ left \ lfloor x \ right \ rceil}$

${\ displaystyle! n =! (n-1) \; n + (- 1) ^ {n}}$
${\ displaystyle! n = (n-1) \; (! (n-1) +! (n-2))}$
${\ displaystyle! n = (n-1) \; a_ {n-2}, \, {\ textrm {with}} \, a_ {0} = a_ {1} = 1 \, {\ textrm {and} } \, a_ {n} = n \; a_ {n-1} + (n-1) \; a_ {n-2}}$ .

První hodnoty této funkce jsou:

! 1 = 0 ,! 2 = 1 ,! 3 = 2 ,! 4 = 9 ,! 5 = 44 ,! 6 = 265 ,! 7 = 1 854 ,! 8 = 14 833 (pokračování A000166 na OEIS ).

Fibonacciho faktoriál

Fibonacci nebo fibonariel faktoriál , označené tím , je definován: $ne$ $n! _ {F}$

{\ displaystyle n! _ {F} = \ prod _ {1 \ leq k \ leq n} F_ {k}}

, kde je k - tý Fibonacciho číslo .

F_ {k}

Nejmenší fibonariels jsou (od ): 1, 1, 2, 6, 30, 240, 3120 , 65 520 atd. (viz pokračování A003266 na OEIS ). ${\ displaystyle 0! _ {F}}$

Posloupnost fibonarielů je ekvivalentní funkci zlatého řezu $φ$ :

{\ displaystyle n! _ {F} \ sim C {\ frac {\ phi ^ {n (n + 1) / 2}} {5 ^ {n / 2}}}}

kde je Fibonacciho faktoriální konstanta $VS$

${\ displaystyle C = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (1- \ left (- {\ frac {1} {\ phi ^ {2}}} \ right) ^ {k} \ vpravo) \ simeq 1,226742 ...}$ (pokračování A062073 na OEIS ).

Fibonacciho faktoriály se podílejí na definici fibonomiálních koeficientů .

q -faktoriál

Je definován . ${\ Displaystyle n! _ {q} = 1 \ cdot (1 + q) \ cdots (1 + q + \ cdots + q ^ {n-2}) \ cdot (1 + q + \ cdots + q ^ {n -1})}$

Exponenciální faktoriál

Exponenciální faktoriální je přirozené číslo n umocněno na n - 1, která je dále umocněno na n - 2, a tak dále:

{\ displaystyle n ^ {(n-1) ^ {(n-2) \ cdots}}}

Poznámky a odkazy

(in) Heinrich Dörrie ( překlad z němčiny) 100 velkých problémů elementární matematiky: jejich historie a řešení , Dover ,1965( číst online ) , kap. 6 („ Bernoulli - Eulerův problém nesprávně adresovaných dopisů“) , s. 19-21.
(in) Eric W. Weisstein , „ Fibonorial “ na MathWorld .
(in) Sergey Kitaev a Toufik Mansour „ Problém pěšců “2003. (Předpublikace na arXiv .)
(in) Eric W. Weisstein , „ Fibonacciho faktoriální konstanta “ na MathWorld .

Související články