Bezout prsten

V komutativní algebře , je Bézout kruh nebo Bézoutian kruh je kruh , kde je vlastnost Bézout ověřena. Více formálně, pseudo-Bézoutienův prsten je prsten, ve kterém je principálem každý ideál konečného typu  ; a bézoutien ring je pseudo-ring bézoutien integruje .

Ideální pro hotový typ a vlastnost Bézout

Ideál konečného typu je ideál generovaný konečným počtem prvků. Ideál generovaný prvkem a je považován za hlavní ideál a je označován aA . Ideální generované dvěma prvky a b je označován aA + BA , že se skládá z prvků A, je možno zapsat ve formě v + bv s u a proti prvků A .

Nedílnou kroužek je tedy Bézout tehdy a jen tehdy, když pro všechny A a B z A , existuje prvek d o tak, že aA + bA = dA . Přímá implikace je pouze důsledkem definice; konverzace vychází ze skutečnosti, že pokud je ideál generovaný dvěma prvky hlavní, je stejný pro ideál generovaný třemi prvky, pak čtyřmi, pak n .

V pseudo-Bézoutienově kruhu má každá dvojice ( a , b ) nenulových prvků GCD  : pgcd ( a , b ) = d právě tehdy, když aA + bA = dA . Jakýkoli pseudo-Bézoutienův prsten je tedy prstenem GCD .

Z této rovnosti, odvodíme následující vlastnost nazvanou Bézout identita  : pro všechny prvky , b a c na A , existuje řešení rovnice au + bv = c tehdy, když C je násobkem GCD a B .

Hierarchie

• Protože jakýkoli pseudo-Bézoutienův prsten je prsten GCD, na takovém prstenci máme:
  • lemma Gaussian a Eukleidovo Lemma jsou ověřeny;
  • každý neredukovatelný prvek je prvočíslo (tyto dvě vlastnosti jsou pak ekvivalentní);
  • kroužek je zcela uzavřen .
• Bezoutianův prsten splňuje následující dodatečnou vlastnost:
  • prvek je prvočíslo právě tehdy, když je extrémní , to znamená, že pokud je hlavní ideál , který generuje, nenulový a maximální .
• Kroužek je Bezout tehdy a jen tehdy, pokud je to i GCD a Prüfer , integrální kruh je nazýván Prufer pokud existuje nenulová konečný typ ideální je invertibilní .
• Jakýkoli hodnotící prsten pochází od Bézout.
• Integrální kruh je hlavní právě tehdy, pokud je to jak Bézout, tak atomový , o integrálním kruhu se říká, že je atomový, pokud v něm ireducibles vytvoří jakýkoli nenulový a invertibilní prvek.
  • Protože jakýkoli faktoriálový kruh je integrální a atomový, jakýkoli Bézoutův kruh, který je také faktoriálem, je hlavním prstenem.
  • Podobně, protože jakýkoli noetherovský kruh je atomový, jakýkoli Bezoutův kruh, který je také noetherský, je hlavní. (Obecněji: k tomu, aby kruh byl atomový, stačí, aby jakákoli rostoucí posloupnost hlavních ideálů byla stacionární.)
  • Tam jsou non-atomová (tedy ne-faktoriální) Bézout kruhy, jako je například kruhu z celého čísla funkcí , nebo že z algebraických celých čísel . Můžeme také sestrojit pro jakoukoli zcela uspořádanou abelianskou skupinu G hodnotící prsten (tedy Bézout), jehož hodnotící skupina je G  : pro G netriviální a není izomorfní vůči Z , bude tento prsten netriviální a diskrétní , proto nebude hlavní.H(VS){\ displaystyle \ scriptstyle H (\ mathbb {C})}

Nekomutativní kruhy Bezout

Říkáme Bézout (nebo Bézoutien ) kroužek na levé straně jsou nedílnou kruh , v němž některý levý ideál konečného typu je hlavní. Rovněž definujeme Bézoutův prsten vpravo. Bezout ring je Bezout kroužek na levé straně a na pravé straně. Bezoutiánský atomový kruh nalevo je hlavní kruh nalevo (tj. Integrální kruh, ve kterém je jakýkoli ideál nalevo hlavní). Prsten je Bézout nalevo, pouze tehdy, je-li prsten Ore nalevo, ve kterém je libovolný levý ideál konečného typu volný. R{\ displaystyle R}R{\ displaystyle R}R{\ displaystyle R}

Moduly na Bézoutových kruzích

Dovolit si Bézout kroužek (ne nutně komutativní) a na -module nalevo nebo napravo konečných typu. Nechť je torzní submodul . Existuje bez modul konečného typu tak, že a, protože , je jednoznačně určen až izomorfizmem. Integrálním prstencem je zejména Bézout tehdy a jen tehdy, když je volný libovolný -modul na levé nebo na pravé straně konečného typu bez kroucení. R{\ displaystyle R}M{\ displaystyle M}R{\ displaystyle R}T(M){\ displaystyle {\ mathcal {T}} \ vlevo (M \ vpravo)}M{\ displaystyle M}F{\ displaystyle F}M=T(M)⊕F{\ displaystyle M = {\ mathcal {T}} \ vlevo (M \ vpravo) \ oplus F}F≅M/T(M){\ displaystyle F \ cong M / {\ mathcal {T}} \ vlevo (M \ vpravo)}F{\ displaystyle F}R{\ displaystyle R}R{\ displaystyle R}

Poznámky a odkazy

1. Bourbaki 2006 , kap. 7, § 1, cvičení 20 a 21.
2. (in) Paul Moritz Cohn , „  Bezout prsteny a jejich podřetězce  “ , Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. , sv.  64,1968, str.  251-264 ( číst online )
3. Viz důkaz v aritmetice prstenů holomorfních funkcí od Davida Bourquiho
4. E. Cahen , „  Na aritmetice pole všech algebraických čísel  “, Bull. SMF , sv.  56,1928, str.  7-17 ( číst online )výslovně stanoví, že poukazují na doplnění o Dedekind pro Vorlesungen über Zahlentheorie  (v) z Dirichletův .
5. (in) „  Příklad domény Bezout, která není PID  “ na PlanetMath
6. Zevšeobecnění viz (in) Pete L. Clark, komutativní algebra , Kaplanského věta str.  215
7. Bourbaki 2006 , VI.3.4
8. Cohn 1985
9. Bourlès a Marinescu 2011 , Věta 654

Bibliografie

• N. Bourbaki , komutativní algebra, kapitoly 5 až 7 , Springer,2006, 352  s. ( ISBN  3540339418 )
• (en) Henri Bourlès a Bogdan Marinescu , Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach , Springer,2011, 638  s. ( ISBN  978-3-642-19726-0 )
• (en) Paul Moritz Cohn , Free Rings and their Relations (2. vyd.) , Academic Press Press,1985, 595  s. ( ISBN  0121791521 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">