Vektorový počet v euklidovské geometrii
Tento článek se zabývá operacemi na vektorech v euklidovské geometrii .
Vektory, které budou v tomto článku diskutovány, jsou vektory prostoru nebo roviny .
R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
Jak bylo uvedeno výše, některé geometrické konstrukce jsou specifické pro vektory. U těchto geometrických konstrukcí, které mají společné vlastnosti s operacemi na číslech (sčítání, násobení), je přijat podobný zápis.
Produkt vektoru skalárem
Termín „ skalární “ zde označuje reálné číslo .
Produktem vektoru skalárem a je označený vektor
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
nau→{\ displaystyle a {\ vec {u}}}Tento vektor se rovná if or if .
0→{\ displaystyle {\ vec {0}}}u→=0→{\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {0}}}na=0{\ displaystyle a = 0}
Pokud ne :
- má stejný směr, stejný směr a délkuu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
na‖u→‖{\ displaystyle a \ | {\ vec {u}} \ |}, pokud a> 0;
- stejným směrem, opačným směrem a délkou
-na‖u→‖{\ displaystyle -a \ | {\ vec {u}} \ |}, pokud a <0.
My máme
1u→=u→{\ displaystyle 1 {\ vec {u}} = {\ vec {u}}}
0u→=0→{\ displaystyle 0 {\ vec {u}} = {\ vec {0}}}
na0→=0→{\ displaystyle a {\ vec {0}} = {\ vec {0}}}
1 je tedy neutrální skalární prvek a 0 absorpční skalární prvek pro tuto operaci. Produkt vektoru skalárem je distribuční po přidání skalárů
(na+b)u→=nau→+bu→.{\ displaystyle (a + b) {\ vec {u}} = a {\ vec {u}} + b {\ vec {u}}.}Všimněte si, že dva vektory jsou kolineární tehdy a jen tehdy, pokud jsou úměrné, to znamená, že v případě, že je číslo taková, že či . Pozor, jeden z vektorů může být nulový!
u→=naproti→{\ displaystyle {\ vec {u}} = a {\ vec {v}}}proti→=nau→{\ displaystyle {\ vec {v}} = a {\ vec {u}}}
Součet dvou vektorů
Součet dvou vektorů a je vektor, označený , který je konstruován následovně:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}u→+proti→{\ displaystyle {\ vec {u}} + {\ vec {v}}}
přivedeme počátek druhého vektoru na konec prvního, součet je vektor, který spojuje počátek prvního vektoru s koncem druhého.
Toto je třetí strana trojúhelníku tvořeného prvními dvěma vektory.
Můžeme to také postavit jiným způsobem:
přivedeme počátky dvou vektorů do stejného bodu, nakreslíme
rovnoběžník, jehož vektory jsou dvě strany, součet je pak úhlopříčkou rovnoběžníku počínaje počátkem.
V obou případech jsou vektory umístěny od začátku ke konci; ale pokud počátek vektoru odpovídá konci druhého, použije se metoda trojúhelníku, pokud jsou počátky zmatené, použije se metoda rovnoběžníku.
Pokud máme tři body A , B a C , pak máme „ Chaslesův vztah “:
NAB→+BVS→=NAVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {BC}} = {\ overrightarrow {AC}}}z toho odvodíme, že
NAB→+BNA→=NANA→=0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {BA}} = {\ overrightarrow {AA}} = {\ vec {0}}}což umožňuje definovat opak vektoru, a tedy odčítání: nastavením notace
-NAB→=-1NAB→{\ displaystyle - {\ overrightarrow {AB}} = - 1 {\ overrightarrow {AB}}}my máme
NAB→=-BNA→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} = - {\ overrightarrow {BA}}}Příklad dalšího výpočtu:
NAB→+BVS→+VSD→+BD→-DNA→=BD→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {BC}} + {\ overrightarrow {CD}} + {\ overrightarrow {BD}} - {\ overrightarrow {DA}} = {\ overrightarrow {BD}} }
Opakem vektoru je vektor stejného směru, stejné délky, ale opačného směru.
My máme :
u→+0→=u→{\ displaystyle {\ vec {u}} + {\ vec {0}} = {\ vec {u}}}0→{\ displaystyle {\ vec {0}}}je neutrální prvek přidání vektorů. Sčítání vektorů je komutativní
u→+proti→=proti→+u→{\ displaystyle {\ vec {u}} + {\ vec {v}} = {\ vec {v}} + {\ vec {u}}}Produkt skaláru vektorem je distribuční po přidání vektorů:
na(u→+proti→)=nau→+naproti→{\ displaystyle a ({\ vec {u}} + {\ vec {v}}) = a {\ vec {u}} + a {\ vec {v}}}.
Tečkový součin dvou vektorů
Definice
Skalární součin vektorů a , je-li jeden z těchto dvou vektorů nulový, je roven 0,
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}u→⋅proti→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}}
stojí za to jinak.
‖u→‖×‖proti→‖×cos(u→,proti→){\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | \ times \ | {\ vec {v}} \ | \ times \ cos ({\ vec {u}}, {\ vec {v}})}
cos(proti→,u→){\ displaystyle \ cos ({\ vec {v}}, {\ vec {u}})}je rovno , skalární součin nezávisí na orientaci roviny a má smysl v prostoru, zatímco úhly nejsou orientovány.
cos(u→,proti→){\ displaystyle \ cos ({\ vec {u}}, {\ vec {v}})}
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}a ortogonální to znamená . Hodnocení: .
proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}u→⋅proti→=0{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = 0}u→⊥proti→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ perp {\ vec {v}}}
Dva vektory jsou kolmé, pokud je jeden z vektorů nulový nebo „pokud tvoří pravý úhel“. Bodový součin je kladný, pokud je úhel ostrý, a záporný, pokud je úhel tupý.
Tato operace byla zavedena za účelem zjednodušení výpočtů na ortogonálních projekcích. Ve skutečnosti, pokud v u je algebraická míra projekce na přímku orientovanou podél ( v u je pozitivní, pokud je projekce ve stejném směru jako , záporná, pokud je v opačném směru), pak máme
proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
u→⋅proti→=protiu‖u→‖{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = v_ {u} \ | {\ vec {u}} \ |}Takže v případě, že norma o 1, pak algebraické měřítkem ortogonální projekce na řádek . Podobně, pokud u v je algebraická míra projekce na přímku orientovanou podél , pak máme
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}u→⋅proti→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
u→⋅proti→=uproti‖proti→‖.{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = u_ {v} \ | {\ vec {v}} \ |.}
Vlastnosti
u→⋅proti→=proti→⋅u→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {u}}}u→⋅(proti→+w→)=u→⋅proti→+u→⋅w→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot ({\ vec {v}} + {\ vec {w}}) = {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} + {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {w}}}u→⋅0→=0→⋅u→=0{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {0}} = {\ vec {0}} \ cdot {\ vec {u}} = 0}-
u→⋅u→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {u}}}se nazývá skalární čtverec vektoruu→{\ displaystyle {\ vec {u}}} a je označen 2 ; tedy: 2 =u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}u→⋅u→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {u}}}
- Skalární čtverec vektoru se rovná čtverci jeho normy:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}2 = 2 a tedy =
‖u→‖{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ |}u→2{\ displaystyle {\ sqrt {{\ vec {u}} ^ {2}}}}‖u→‖{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ |}
- V rovině související s ortonormálním základem (i→,j→){\ displaystyle \ left ({\ vec {i}}, {\ vec {j}} \ right)}
u→⋅proti→=uXprotiX+uyprotiy{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = u_ {x} v_ {x} + u_ {y} v_ {y}}
Demonstrace
Nechť a být dva vektory v ortonormální báze z příslušných polárních souřadnicích a . My máme :
u→(uX;uy){\ displaystyle {\ vec {u}} (u_ {x}; u_ {y})}proti→(protiX;protiy){\ displaystyle {\ vec {v}} (v_ {x}; v_ {y})} (i→,j→){\ displaystyle \ left ({\ vec {i}}, {\ vec {j}} \ right)}(r;θ){\ displaystyle \ left (r; \ theta \ right)}(r′;θ′){\ displaystyle \ left (r '; \ theta' \ right)}
u→⋅proti→=‖u→‖.‖proti→‖.cos(u→,proti→){\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {vec}} = \ | {\ vec {u}} \ |. \ | {\ vec {v}} \ |. \ cos ({\ vec {u}}, {\ vec {v}}}}
u→⋅proti→=r.r′.cos(θ′-θ){\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = r.r '. \ cos (\ theta' - \ theta)}
u→⋅proti→=r.r′.(cos(θ).cos(θ′)+hřích(θ).hřích(θ′)){\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = r.r '. (\ cos (\ theta). \ cos (\ theta') + \ sin (\ theta). \ sin (\ theta '))}
u→⋅proti→=(r.cos(θ)).(r′.cos(θ′))+(r.hřích(θ)).(r′.hřích(θ′)){\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = (r. \ cos (\ theta)). (r '. \ cos (\ theta')) + (r. \ sin ( \ theta)). (r '. \ sin (\ theta'))}}
u→⋅proti→=uX.protiX+uy.protiy{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = u_ {x} .v_ {x} + u_ {y} .v_ {y}}
- V prostoru souvisejícím s ortonormálním základem (i→,j→,k→){\ displaystyle \ left ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}} \ doprava)}
u→⋅proti→=uXprotiX+uyprotiy+uzprotiz.{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = u_ {x} v_ {x} + u_ {y} v_ {y} + u_ {z} v_ {z}.}
Vektorový produkt dvou vektorů ve vesmíru
Dva vektory, které nejsou kolineární a definují vektorovou rovinu; třetí vektor je koplanární s předchozími dvěma právě tehdy, pokud jej lze zapsat jako lineární kombinaci prvních dvou, tj. pokud existují dvě reálná a a b taková, že
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}
w→=nau→+bproti→.{\ displaystyle {\ vec {w}} = a {\ vec {u}} + b {\ vec {v}}.}Základ tvoří tři nekoplanární vektory . O základně se říká, že je přímá, pokud ji lze zobrazovat pravou rukou,
což je palec, ukazováček a prostředník.
(u→,proti→,w→){\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}})}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}
Definujeme křížový produkt dvou vektorů a , jak je uvedeno , jako vektor:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}u→∧proti→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ klín {\ vec {v}}}
- kolmo k základní vektorové rovině ;(u→,proti→){\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}})}
- jehož standard je platný ;‖u→‖‖proti→‖|hřích(u→,proti→^)|{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | \ | {\ vec {v}} \ || \ sin ({\ widehat {{{{\ vec {u}}, {\ vec {v}}} }) |}
- například tvoří přímou základnu.(u→,proti→,(u→∧proti→)){\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}}, ({\ vec {u}} \ klín {\ vec {v}}))}
Rozšíříme předchozí definici na případ, kdy a jsou kolineární pózováním:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
u→∧proti→=0→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ klín {\ vec {v}} = {\ vec {0}}}Smíšený produkt
Definice a vlastnosti
Vzhledem k tomu, tři vektory , a , nazýváme smíšený produkt těchto tří vektorů množství:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}} \,}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}} \,}w→{\ displaystyle {\ vec {w}} \,}
[u→,proti→,w→]=(u→∧proti→)⋅w→{\ displaystyle \ left [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ doprava] = ({\ vec {u}} \ klín {\ vec {v}} ) \ cdot {\ vec {w}}}.
Můžeme ukázat, že máme invariantnost jakoukoli kruhovou permutací vektorů a antisymetrii smíšeného produktu jakoukoli nekruhovou permutací:
u→,proti→,w→{\ displaystyle {\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}}}
[u→,proti→,w→]=[proti→,w→,u→]=[w→,u→,proti→],{\ displaystyle \ left [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ right] = \ left [{\ vec {v}}, {\ vec {w} }, {\ vec {u}} \ doprava] = \ doleva [{\ vec {w}}, {\ vec {u}}, {\ vec {v}} \ doprava],}a
[u→,proti→,w→]=-[proti→,u→,w→],{\ displaystyle \ left [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ doprava] = - \ doleva [{\ vec {v}}, {\ vec {u }}, {\ vec {w}} \ vpravo],} [u→,proti→,w→]=-[u→,w→,proti→],{\ displaystyle \ left [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ doprava] = - \ doleva [{\ vec {u}}, {\ vec {w }}, {\ vec {v}} \ vpravo],}
a také :
[u→,proti→,w→]=|uXuyuzprotiXprotiyprotizwXwywz|{\ displaystyle \ left [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ doprava] = {\ begin {vmatrix} u_ {x} & u_ {y} & u_ {z} \\ v_ {x} & v_ {y} & v_ {z} \\ w_ {x} & w_ {y} & w_ {z} \ end {vmatrix}}}
jinými slovy :
[u→,proti→,w→]=(uXprotiywz+protiXwyuz+wXuyprotiz)-(uzprotiywX+protiXwzuy+wyuXprotiz){\ displaystyle \ left [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ doprava] = (u_ {x} v_ {y} w_ {z} + v_ {x } w_ {y} u_ {z} + w_ {x} u_ {y} v_ {z}) - (u_ {z} v_ {y} w_ {x} + v_ {x} w_ {z} u_ {y} + w_ {y} u_ {x} v_ {z}) \,}
Poznámky:
- Pokud jsou dva ze tří vektorů stejné nebo kolineární, smíšený produkt je nula.
Aplikace smíšeného produktu
- Pokud jsou vektory , a mají stejný původ, je absolutní hodnota směsného produktu, je roven objemu části rovnoběžnostěnu postavené na , a nebo dokonce šestkrát objem čtyřstěnu postaven na stejných vektorů.u→{\ displaystyle {\ vec {u}} \,}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}} \,}w→{\ displaystyle {\ vec {w}} \,}[u→,proti→,w→]{\ displaystyle \ left [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ doprava] \,}u→{\ displaystyle {\ vec {u}} \,}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}} \,}w→{\ displaystyle {\ vec {w}} \,}
Můžeme kombinovat tři vektorů , a dvěma po sobě jdoucími vektorových produktů. Jedná se o produkt dvojitého kříže.
u→{\ displaystyle {\ vec {u}} \,}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}} \,}w→{\ displaystyle {\ vec {w}} \,}
Příklad: u→∧(proti→∧w→){\ displaystyle {\ vec {u}} \ klín \ levý ({\ vec {v}} \ klín {\ vec {w}} \ pravý)}
Protože křížový produkt není ani asociativní, ani komutativní, je nutné zde použít závorky a výsledek bude záviset jak na pořadí, ve kterém jsou operace prováděny, tak na pořadí prezentace tří vektorů.
Existuje mnoho ukázek následujících dvou vzorců:
u→∧(proti→∧w→)=(u→⋅w→) proti→ - (u→⋅proti→) w→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ klín \ vlevo ({\ vec {v}} \ klín {\ vec {w}} \ doprava) = ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {w }}) \ {\ vec {v}} \ - \ ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) \ {\ vec {w}}}a
(u→∧proti→)∧w→=(u→⋅w→) proti→ - (proti→⋅w→) u→{\ displaystyle \ left ({\ vec {u}} \ wedge {\ vec {vec} \ right) \ wedge {\ vec {w}} = ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {w} }) \ {\ vec {v}} \ - \ ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {w}}) \ {\ vec {u}}}Mnemotechnická pomůcka: produkt dvojitého kříže je nutně přenášen vektory v závorkách (protože pokud jsou tyto nezávislé, rovina, kterou generují, je kolmá na jejich křížový součin a dvojitý součin patří do této ortogonální). Pak stačí zapamatovat, že složka na každém z těchto dvou vektorů je skalárním součinem ostatních dvou, kterým je přiřazeno znaménko „ “ nebo „ “, a že „ “ je přenášeno vektorem umístěným uprostřed dvojitého vektoru produkt (ve dvou vzorcích výše je to vektor ).
+{\ displaystyle +}-{\ displaystyle -}+{\ displaystyle +}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">