V matematiky , je dokonalý čtverec (a čtverec v případě, že žádná dvojznačnost) je čtverec z celé číslo . V prvních 70 čtverce (koupelna A000290 z OEIS ) jsou:
0 2 = 0 | 5 2 = 25 | 10 2 = 100 | 15 2 = 225 | 20 2 = 400 | 25 2 = 625 | 30 2 = 900 | 35 2 = 1225 | 40 2 = 1 600 | 45 2 = 2025 | 50 2 = 2 500 | 55 2 = 3025 | 60 2 = 3 600 | 65 2 = 4 225 |
1 2 = 1 | 6 2 = 36 | 11 2 = 121 | 16 2 = 256 | 21 2 = 441 | 26 2 = 676 | 31 2 = 961 | 36 2 = 1296 | 41 2 = 1 681 | 46 2 = 2 116 | 51 2 = 2 601 | 56 2 = 3 136 | 61 2 = 3 721 | 66 2 = 4 356 |
2 2 = 4 | 7 2 = 49 | 12 2 = 144 | 17 2 = 289 | 22 2 = 484 | 27 2 = 729 | 32 2 = 1024 | 37 2 = 1369 | 42 2 = 1764 | 47 2 = 2 209 | 52 2 = 2 704 | 57 2 = 3 249 | 62 2 = 3 844 | 67 2 = 4 489 |
3 2 = 9 | 8 2 = 64 | 13 2 = 169 | 18 2 = 324 | 23 2 = 529 | 28 2 = 784 | 33 2 = 1 089 | 38 2 = 1444 | 43 2 = 1 849 | 48 2 = 2 304 | 53 2 = 2 809 | 58 2 = 3 364 | 63 2 = 3 969 | 68 2 = 4 624 |
4 2 = 16 | 9 2 = 81 | 14 2 = 196 | 19 2 = 361 | 24 2 = 576 | 29 2 = 841 | 34 2 = 1 156 | 39 2 = 1521 | 44 2 = 1936 | 49 2 = 2 401 | 54 2 = 2916 | 59 2 = 3481 | 64 2 = 4096 | 69 2 = 4 761 |
V našem obvyklém systému číslování může být jednotková číslice dokonalého čtverce pouze 0, 1, 4, 5, 6 nebo 9. V základu dvanáct by to bylo nutně 0, 1, 4 nebo 9.
Říkáme, že celé číslo q je kvadratický zbytek modulo celé číslo m, pokud existuje celé číslo n takové, že:
.Je to velmi užitečný koncept; umožňuje zejména ukázat, že určité diofantické rovnice nepřipouští řešení. Například s k integer rovnice nepřipouští řešení v . Ve skutečnosti kvadratické zbytky modulo 4 jsou 0 a 1, dokonalý čtverec nemůže mít zbytek rovný 2 v euklidovském dělení o 4.
Uvažujeme a a b nenulová přirozená celá čísla .
3. Pokud a je dokonalý čtverec, existuje celé číslo m > 0 takové, že a = m 2 . Když si všimneme rozkladu na primární faktory, odvodíme :, proto jsou všechny exponenty v rozkladu a sudé. Naopak, pokud jsou všechny exponenty v rozkladu a dokonce, pak a má formu .
4. Předpokládejme, že pgcd ( a , b ) = 1 a ab = n 2 kde .
Označme c = pgcd ( a , n ) . Takže máme:
.Podobně b = (pgcd ( b , n )) 2 .
5. Jen si toho všimněte .
6. majetku 3, je dokonalý čtverec tehdy a jen tehdy, pokud je exponenty j p ve své primární faktorizace jsou dokonce, což je ekvivalentní nerovnosti výrobku . Nyní je tento produkt počtem dělitelů a .
7. Viz „ Kvadratické zbytky modulo 10 “.
8. Viz „ Součet prvních n kostek “.
Čtverec číslo je polygonální číslo (tedy striktně kladné celé číslo ), která může být reprezentována geometricky pomocí čtverce . Například 9 je čtvercové číslo, protože může být reprezentováno čtvercovým bodem 3 × 3. Čtvercová čísla jsou tedy nenulové dokonalé čtverce , n- té je n 2 .
Součin dvou čtvercových čísel je čtvercové číslo.
Reprezentací prvního čtvercového čísla je bod. To n- té se získá ohraničením dvou po sobě jdoucích stran předchozího čtverce o 2 n - 1 bodů:
1 + 3 = 2 2 = 4
4 + 5 = 3 2 = 9
9 + 7 = 4 2
1 + 3 + 5 + 7 = 4 2
N- tého čtverec číslo je tedy součet prvních n lichá čísla : ,
který poskytuje praktický prostředek k vytvoření tabulky čtverců: na první řádek napíšeme po sobě jdoucí celá čísla, z nichž chceme vytvořit čtverce, potom postupná lichá čísla. Na třetím řádku, počínaje 1, pokaždé, když přidáme liché číslo hned doprava a výše, přirozeně vytvoříme posloupnost dokonalých čtverců. Tato vlastnost se také používá pro metodu extrakce druhé odmocniny a ještě praktičtěji pro extrakci druhé odmocniny pomocí počítadla .
Číslo n- tého čtverce se také rovná součtu n- tého trojúhelníkového čísla a předchozího:
Součet dvou po sobě jdoucích čtvercových čísel je centrované čtvercové číslo .
Součet prvních n čtverečních čísel je rovno n- tého počtu čtverečních pyramidy :
Mezi matematici byly často zajímají některé kuriozity o čtverečních čísel. Nejznámější, zejména pro odkaz na Pythagorovu větu , je rovnost 3 2 + 4 2 = 5 2 , která zahajuje studium Pythagorovy trojice. Podle Fermat-Wilesovy věty , prokázané v roce 1995, mohou pouze čtvercová čísla vytvořit identitu podobnou Pythagorovským trojicím. Například, neexistuje řešení v 3 + b 3 = c 3 s a , b a c celá čísla od nuly.
Perfektní čtverec na recreomath.qc.ca
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">