Klasifikace Cliffordových algeber

V matematice , zvláště v teorii kvadratických forem nedegenerovaného na vektorových prostorech reálný a složitý je Clifford algebra o rozměru hotové byly kompletně klasifikovány. V každém případě je Cliffordova algebra isomorfní s algebrou matic nad ℝ, ℂ nebo ℍ ( čtveřice ), nebo s přímým součtem dvou z těchto algeber, ale ne kanonicky .

Zápis a konvence . V tomto článku použijeme konvenci znaménka (+) pro Cliffordovo násobení, tj.

{\ displaystyle \ forall v \ ve V, \ quad v ^ {2} = Q (v),}

kde Q je kvadratická forma na vektorovém prostoru V . Označíme K ( n ) algebry matic n × n koeficienty v rozdělení algebry K . Přímý součet algeber bude označen K 2 ( n ) = K ( n ) ⊕ K ( n ).

Složitý případ

Složitý případ je obzvláště jednoduchý: každá nedegenerovaná kvadratická forma na komplexním vektorovém prostoru je ekvivalentní standardnímu diagonálnímu tvaru

{\ displaystyle Q (u) = u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} + \ cdots + u_ {n} ^ {2}}

kde n = dim V , proto je v každé dimenzi v podstatě jedna Cliffordova algebra. Cliffordovu algebru nad ℂ n označíme standardním kvadratickým tvarem Cℓ n (ℂ).

Existují dva samostatné případy, které je třeba zvážit, v závislosti na tom, zda je n liché nebo sudé. Když je n sudé, je algebra Cℓ n (ℂ) centrální jednoduchá, a proto je podle Artin-Wedderburnovy věty izomorfní s maticovou algebrou nad ℂ. Když n je liché, střed zahrnuje nejen skaláry, ale také pseudoskaláře (prvky stupně n ). Vždy můžeme najít normalizovaný pseudoskál ω takový, že ω 2 = 1. Definujte operátory

{\ displaystyle P _ {\ pm} = {\ frac {1} {2}} (1 \ pm \ omega)}

Tito dva operátoři tvoří úplnou sadu idempotentních ortogonálních prvků , a protože jsou centrální, dávají rozklad Cℓ n (ℂ) na přímý součet dvou algeber

{\ displaystyle C \ ell _ {n} (\ mathbb {C}) = C \ ell _ {n} ^ {+} (\ mathbb {C}) \ oplus C \ ell _ {n} ^ {-} ( \ mathbb {C})}

kde .

{\ displaystyle C \ ell _ {n} ^ {\ pm} (\ mathbb {C}) = P _ {\ pm} C \ ell _ {n} (\ mathbb {C})}

Cℓ n ± (ℂ) algebry jsou jednoduše pozitivní a negativní eigenspaces z Q a P ± jsou jednoduše provozovatelé projekční. Protože ω je liché, jsou tyto algebry smíchány : $\ alpha \,$

{\ displaystyle \ alpha (C \ ell _ {n} ^ {\ pm} (\ mathbb {C})) = C \ ell _ {n} ^ {\ mp} (\ mathbb {C})}

a proto izomorfní (protože je automorfismus ). Tyto dvě izomorfní algebry jsou každá jednoduchá ústřední, a proto jsou opět izomorfní s maticovou algebrou nad sur. Velikosti těchto matic lze určit ze skutečnosti, že rozměr Cℓ n (ℂ) je 2 n . Dostaneme tedy následující tabulku: $\ alpha \,$

ne	${\ displaystyle C \ ell _ {n} (\ mathbb {C}) \,}$
2 m	${\ displaystyle \ mathbb {C} (2 ^ {m}) \,}$
2 m +1	${\ displaystyle \ mathbb {C} (2 ^ {m}) \ oplus \ mathbb {C} (2 ^ {m}) \,}$

Sudá subalgebra Cℓ n ± (ℂ) je (nekanonicky) izomorfní s Cℓ n -1 ± (ℂ). Když je n sudé, lze i subalgebry identifikovat pomocí diagonálních blokových matic (pokud jsou rozděleny na 2 × 2 bloky). Když n je liché, sudé subalgebry jsou ty prvky ℂ (2 m ) ⊕ℂ (2 m ), pro které jsou oba faktory identické. Spojením obou kusů dohromady to dává izomorfismus s Cℓ n -1 (ℂ) ≃ℂ (2 m ).

Skutečný případ

Skutečný případ je o něco složitější a vykazuje periodicitu 8 místo 2. Každá nedegenerovaná kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru je ekvivalentní standardnímu diagonálnímu tvaru:

{\ displaystyle Q (u) = u_ {1} ^ {2} + \ cdots + u_ {p} ^ {2} -u_ {p + 1} ^ {2} - \ cdots -u_ {p + q} ^ {2}}

kde n = p + q je rozměr vektorového prostoru. Dvojice celých čísel ( p , q ) se nazývá podpis kvadratické formy . Skutečný vektorový prostor s touto kvadratickou formou se často označuje ℝ p, q . Cliffordova algebra na ℝ p, q je označena Cℓ p, q (ℝ).

Standardní ortonormální báze { e i } pro ℝ p, q se skládá z n = p + q vzájemně kolmých vektorů, kde p má normu +1 a q má normou -1. Algebra Cℓ p, q (ℝ) proto bude mít p vektory, jejichž čtverec bude +1 a q vektory, jejichž čtverec bude -1. Pseudoskalární jednotka v Cℓ p, q (ℝ) je definována

{\ displaystyle \ omega = e_ {1} e_ {2} \ cdots e_ {n}.}

Druhá mocnina je dána $\ omega \,$

{\ displaystyle \ omega ^ {2} = (- 1) ^ {n (n-1) / 2} (- 1) ^ {q} = (- 1) ^ {(pq) (pq-1) / 2 } = {\ begin {cases} + 1 & pq \ equiv 0,1 \ mod {4} \\ - 1 & pq \ equiv 2,3 \ mod {4}. \ end {cases}}}

Všimněte si, na rozdíl od komplexního případu, že není vždy možné najít pseudoskalár, jehož čtverec je +1.

Klasifikace následuje: je-li n sudé (ekvivalentním způsobem, je-li p - q sudé), je algebra Cℓ p, q (ℝ) jednoduchá centrální, a proto je izomorfní s algebrou matic na ℝ nebo ℍ podle Artin- Wedderburnova věta . Pokud je n (nebo p - q ) liché, pak algebra není jednoduchá centrální, ale spíše má střed, který zahrnuje pseudoskaláře i skaláry. Pokud n je liché a ω 2 = + 1, pak se algebra Cℓ p, q (ℝ) , stejně jako v komplexním případě, rozloží na přímý součet izomorfních algeber

{\ displaystyle C \ ell _ {p, q} (\ mathbb {R}) = C \ ell _ {p, q} ^ {+} (\ mathbb {R}) \ oplus C \ ell _ {p, q } ^ {-} (\ mathbb {R}).}

Každý z nich je jednoduchý centrální, a proto je izomorfní k maticové algebře na ℝ nebo ℍ. Pokud n je liché a ω 2 = + 1, pak střed Cℓ p, q (ℝ) je izomorfní s ℂ a lze jej považovat za komplexní algebru . Stejně jako komplexní algebra je jednoduchá centrální, a proto je izomorfní s maticovou algebrou nad ℂ.

Všechno naznačuje, že existují tři vlastnosti, které určují třídu algebry Cℓ p, q (ℝ):

n je sudý / lichý;
ω 2 = ± 1;
třída Brauer z algebry ( i n ), nebo dokonce podalgebry ( lichá n ) je ℝ nebo ℍ.

Každá z těchto vlastností závisí pouze na podpisu p - q modulo 8. Kompletní klasifikační tabulka je uvedena níže. Velikost matic je dána podmínkou, že Cℓ p, q (ℝ) mají rozměr 2 p + q .

p - q mod 8	${\ displaystyle \ omega ^ {2} \,}$	${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {p, q} \,}$ ( p + q = 2 m )	p - q mod 8	${\ displaystyle \ omega ^ {2} \,}$	${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {p, q} \,}$ ( p + q = 2 m + 1)
0	+	${\ displaystyle \ mathbb {R} (2 ^ {m}) \,}$	1	+	${\ displaystyle \ mathbb {R} (2 ^ {m}) \ oplus \ mathbb {R} (2 ^ {m}) \,}$
2	-	${\ displaystyle \ mathbb {R} (2 ^ {m}) \,}$	3	-	${\ displaystyle \ mathbb {C} (2 ^ {m}) \,}$
4	+	${\ displaystyle \ mathbb {H} (2 ^ {m-1}) \,}$	5	+	${\ displaystyle \ mathbb {H} (2 ^ {m-1}) \ oplus \ mathbb {H} (2 ^ {m-1}) \,}$
6	-	${\ displaystyle \ mathbb {H} (2 ^ {m-1}) \,}$	7	-	${\ displaystyle \ mathbb {C} (2 ^ {m}) \,}$

Následuje tabulka této klasifikace pro p + q ≤ 8. Zde je p + q umístěno svisle a p - q vodorovně (např. Algebra Cℓ 1,3 (ℝ) ≃ℍ (2) se nachází řádek 4, sloupec - 2).

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

\ mathbb {R} \,

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \,}

\ mathbb {C}

{\ displaystyle \ mathbb {R} (2) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} (2) \,}

{\ mathbb {H}} \,

{\ displaystyle \ mathbb {C} (2) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \,}

{\ displaystyle \ mathbb {C} (2) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2} \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} (2) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} (4) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} (4) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} (2) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} (2) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2} (2) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {C} (4) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} (4) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {C} (4) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2} (2) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {C} (4) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} (4) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} (4) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} (8) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} (8) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} (4) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} (4) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} (8) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {C} (8) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2} (4) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {C} (8) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} (8) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {C} (8) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2} (4) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {C} (8) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} (8) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} (16) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} (8) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} (8) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} (16) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} (16) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} (8) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {H} (8) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} (16) \,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} (16) \,}

{\ displaystyle \ omega ^ {2} \,}

V tabulce výše je zamotaný web symetrie a vztahů. Například celá tabulka je symetrická kolem sloupce 1 (stejně jako sloupce 5, -3 a -7). Přesun na 4 místa v libovolné řadě dává stejnou algebru.

Podívejte se také

Zastoupení Cliffordových algeber

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Klasifikace Cliffordových algeber “ ( viz seznam autorů ) .