Připojení pomocí oblouků

V matematice , a zejména v topologii , je propojenost pomocí oblouků zpřesněním pojmu propojenost . O topologickém prostoru se říká, že je spojen oblouky, pokud lze libovolné dva body vždy spojit cestou . Přestože je propojenost základním pojmem, propojenost pomocí oblouků je intuitivnější a velmi často se považuje za nejlepší způsob, jak propojenost dokázat.

Cesty

Před definováním konektivity pomocí oblouků je nutné definovat, co se nazývá „připojit cestou“. V závislosti na prostředí, ve kterém se člověk nachází, lze uvažovat o konkrétních cestách.

Pokud E je topologický prostor a pokud x a y jsou dva body E , nazýváme počátek x a koncovou cestu y jakoukoli spojitou mapu takovou a . y:[0,1]→E{\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow E}y(0)=X{\ displaystyle \ gamma (0) = x}y(1)=y{\ displaystyle \ gamma (1) = y}

My říkáme, že x a y jsou spojené, pokud existuje cesta původu x a koncovým y .

Vztah „  x je spojen s Y  “ je ekvivalence na E , jehož rovnocennost třídy se nazývají související součásti oblouky z E .

Demonstrace

• x souvisí s x , díky neustálé cestě ke všemu;y(t)=X{\ displaystyle \ gamma (t) = x}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ v [0,1]}
• pokud je x spojeno s y, pak y je spojeno s x , díky opačné cestě pro všechno  ;y¯(t)=y(1-t){\ displaystyle {\ overline {\ gamma}} (t) = \ gamma (1-t)}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ v [0,1]}
• jestliže x souvisí s y a y souvisí se z, pak x souvisí se z . Ve skutečnosti, pokud spojuje x až y a spojuje y až z, pak složená cesta definovaná si a si spojuje x až z .y1{\ displaystyle \ gamma _ {1}}y2{\ displaystyle \ gamma _ {2}} y=y2⋆y1{\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {2} \ hvězda \ gamma _ {1}}y(t)=y1(2t){\ displaystyle \ gamma (t) = \ gamma _ {1} (2t)}0≤t≤1/2{\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 1/2}y(t)=y2(2t-1){\ displaystyle \ gamma (t) = \ gamma _ {2} (2t-1)}1/2≤t≤1{\ Displaystyle 1/2 \ leq t \ leq 1}

Cesty v normalizovaném vektorovém prostoru

V případě, že okolní prostor E je normalizovaný vektorový prostor , je možné určit povahu drah, které spojují body.

• Přímé cesty: o cestě se říká, že je přímá, pokud se dá napsat na všechno . Vektor se nazývá režiséra vektor z . Podpora dráhy je pak úsečka.y(t)=X+tu→{\ displaystyle \ gamma (t) = x + t {\ vec {u}}}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ v [0,1]}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}y{\ displaystyle \ gamma}
• Polygonální cesty: cesta je považována za polygonální, pokud je zapsána jako sloučenina konečného počtu přímých cest. Například jízda na Manhattanu je polygonální cesta.
• Cesty třídy  : cesta může být třídy s . Ve skutečnosti je každá cesta třídy, to znamená spojitá, ale můžeme mít vyšší úrovně pravidelnosti. Cesta třídy s bude považována za pravidelnější, pokud pro všechno . O cestě normální třídy se říká, že je to plynulá cesta .VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}} VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈NE{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}VS0{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0}}VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈NE∗{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} ^ {*}}y′(t)≠0{\ displaystyle \ gamma '(t) \ neq 0}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ v [0,1]}VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}

Připojení pomocí oblouků

Tyto různé typy cest umožní definovat různé typy připojení pomocí oblouků v závislosti na případu.

Definice

Topological prostor E je, že dráha spojena , pokud každá dvojice bodů E je spojen cestou, ve které je podpěra součástí E .

Část z E (za předpokladu, s topologii indukované ) je cesta spojen právě tehdy, když každá dvojice bodů A je spojen cestou zbývající v A .

O části A normalizovaného vektorového prostoru se říká, že je spojena polygonálními oblouky (respektive obloukyVSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}} ), pokud lze libovolné dva body A spojit polygonální cestou (respektive třídy ). VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}

Příklady

• V normalizovaném vektorovém prostoru je konvexní nebo hvězdná část spojena oblouky.
• Kruh je připojen pomocí oblouků , ale ne polygonální oblouky.VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}
• Čtverec je spojen polygonální oblouky, ale nikoliv oblouky .VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}
• Rovina zbaven spočetného části (nebo dokonce „  pouze  “ které nemají sílu kontinua ) je spojen polygonálními oblouky a oblouky C ∞ .
• Ortogonální zvláštní skupina SO ( n , ℝ) a obecně lineární skupina GL ( n , ℂ) jsou spojeny oblouky (pro topologie vyvolané normy na M n (ℂ)).
• Obecná lineární skupina GL ( n , ℝ) má dvě složky spojené oblouky.

Souvislost s propojením

Jakýkoli prostor spojený oblouky je připojen , ale konverzace je nepravdivá. Zde je klasický protiklad. Definujeme funkci f od

F:]0,1]→RX↦hřích⁡(1X).{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: &] 0,1] & \ to & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ vpravo). \ end {matrix}}}

Tato funkce je spojitá na] 0, 1]. Označíme-y její graf a C adheze gama: Γ={(X,F(X))|X∈]0,1]},VS=Γ¯=Γ∪({0}×[-1,1]).{\ displaystyle \ Gamma = \ {(x, f (x)) | x \ v] 0,1] \}, \ quad C = {\ overline {\ Gamma}} = \ Gamma \ cup \ left (\ { 0 \} \ krát [-1,1] \ vpravo).}

Potom je spojeno Γ (jako graf spojité funkce v reálném intervalu ), takže jeho adheze C také, ale C není spojena oblouky.

Podobně je sinusová křivka topologa Γ ∪ {(0, 0)} spojena, ale není spojena oblouky.

Nicméně:

• v ℝ , za předpokladu obvyklé topologie, jsou spojené části ( intervaly ) spojeny oblouky;
• obecněji je jakýkoli propojený a lokálně propojený prostor pomocí oblouků (například: jakýkoli propojený otevřený prostor normalizovaného vektorového prostoru, jako je euklidovský prostor ) je spojen pomocí oblouků.

Spojení s kontinuitou

Konektivita pomocí oblouků, podobně jako konektivita, je zachována kontinuálním mapováním . Pokud je spojitá mapa mezi dvěma topologickými prostory a je-li počáteční prostor E spojen oblouky, pak je jeho obraz f ( E ) spojen oblouky. F:E→F{\ displaystyle f: E \ rightarrow F}

Demonstrace

Pokud , pak v E existuje a a b takové, že a . Prostor E, který je spojen oblouky, je cesta spojující a až b . Sloučenina mapa je kontinuální, a připojí x k y , což ukazuje, že f ( X ) je spojen oblouky. (X,y)∈F(E)2{\ displaystyle (x, y) \ v f (E) ^ {2}}X=F(na){\ displaystyle x = f (a)}y=F(b){\ displaystyle y = f (b)}y:[0,1]→X{\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow X} y′=F∘y:[0,1]→F(E){\ displaystyle \ gamma '= f \ circ \ gamma: [0,1] \ pravá šipka f (E)}

Podobné výsledky máme pro konkrétnější typy propojenosti pomocí oblouků:

• propojenost polygonálních oblouků je zachována lineárními mapami a afinními mapami  ;
• propojenost pomocí oblouků je zachována - diffeomorfismy .VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}

Produkt

Jakýkoli součin prostorů spojených oblouky je spojen oblouky.

Ve skutečnosti, pokud x a y jsou dva body a jsou-li spojeny oblouky, existuje pro každý index i cesta s hodnotami tak, že: , . Cesta definovaná poté se připojí x k y . E=∏i∈JáEi{\ displaystyle E = \ prod _ {i \ in I} E_ {i}}Ei{\ displaystyle E_ {i}}yi{\ displaystyle \ gamma _ {i}}Ei{\ displaystyle E_ {i}}yi(0)=Xi{\ displaystyle \ gamma _ {i} (0) = x_ {i}}yi(1)=yi{\ displaystyle \ gamma _ {i} (1) = y_ {i}}y:[0,1]→E{\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ to E}y(t)=(yi(t))i∈Já{\ displaystyle \ gamma (t) = (\ gamma _ {i} (t)) _ {i \ v I}}

Poznámka

1. Viz například toto opravené cvičení na Wikiversity .

Podívejte se také

Jednoduché připojení

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">