Stieltjesovy konstanty
V matematice jsou Stieltjesovy konstanty (pojmenované podle nizozemského matematika Thomase Joannesa Stieltjese ) čísla zapojená do Laurentova sériového rozšiřování funkce Riemann zeta :
ζ(s)=1s-1+∑ne=0+∞(-1)nene!yne(s-1)ne{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {s-1}} + \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} { n!}} \ gamma _ {n} \; (s-1) ^ {n}}.
Dokazujeme, že každé γ n je dáno limitem:
yne=limm→∞((∑k=1m(lnk)nek)-(lnm)ne+1ne+1){\ displaystyle \ gamma _ {n} = \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} {\ left (\ left (\ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {(\ ln k) ^ { n}} {k}} \ right) - {\ frac {(\ ln m) ^ {n + 1}} {n + 1}} \ right)}}
y0=y =0,577 ...{\ displaystyle \ gamma _ {0} = \ gamma \ = 0 {,} 577 ...}je Euler-Mascheroniho konstanta .
Vlastnosti
Pomocí Cauchyova integrálního vzorce najdeme:
yne=(-1)nene!2π∫02πE-neiXζ(EiX+1)dX.{\ displaystyle \ gamma _ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n} n!} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {e} ^ { -n \ mathrm {i} x} \ zeta \ vlevo (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ vpravo) \ mathrm {d} x.}
A sériové integrální srovnání ukazuje, že:
|yne|≤(neE)ne{\ displaystyle | \ gamma _ {n} | \ leq \ left ({\ frac {n} {\ mathrm {e}}} \ right) ^ {n}}.
Je to však horní mez s poměrně špatnou přesností.
Matsuoka v roce 1985 ukázal, že pro n > 4 ,
|yne|≤10-4Enelnlnne=10-4(lnne)ne.{\ displaystyle | \ gamma _ {n} | \ leq 10 ^ {- 4} \ mathrm {e} ^ {n \ ln \ ln n} = 10 ^ {- 4} (\ ln n) ^ {n}. }
Víme také, že existuje asymptoticky polovina z těchto čísel, která jsou kladná.
Hodnoty až 15
Tady je prvních několik hodnot:
Přibližné hodnoty Stieltjesových koeficientů
|
Hodnota
|
---|
y=y0{\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {0}}
|
0,577 215 664 90 1532 860 606 512 090 082
|
---|
y1{\ displaystyle \ gamma _ {1}}
|
−0,0728158454836767300000000000000
|
---|
y2{\ displaystyle \ gamma _ {2}}
|
−0,00969036319287232000000000000000
|
---|
y3{\ displaystyle \ gamma _ {3}}
|
0,00205383442030334600000000000000
|
---|
y4{\ displaystyle \ gamma _ {4}}
|
0,00232537006546730000000000000000
|
---|
y5{\ displaystyle \ gamma _ {5}}
|
0,000793323817301062700000000000000
|
---|
y6{\ displaystyle \ gamma _ {6}}
|
−0 000238769345430199600000000000000
|
---|
y7{\ displaystyle \ gamma _ {7}}
|
−0 000527289567057751000000000000000
|
---|
y8{\ displaystyle \ gamma _ {8}}
|
−0 000352123353803039500000000000000
|
---|
y9{\ displaystyle \ gamma _ {9}}
|
−0,0000343947744180880500000000000000
|
---|
y10{\ displaystyle \ gamma _ {10}}
|
0,000205332814909064800000000000000
|
---|
y11{\ displaystyle \ gamma _ {11}}
|
0,000270184439543903500000000000000
|
---|
y12{\ displaystyle \ gamma _ {12}}
|
0,000167272912105140200000000000000
|
---|
y13{\ displaystyle \ gamma _ {13}}
|
−0,0000274638066037601580000000000000
|
---|
y14{\ displaystyle \ gamma _ {14}}
|
−0 000209209262059299960000000000000
|
---|
y15{\ displaystyle \ gamma _ {15}}
|
−0 000283468655320241400000000000000
|
---|
Zobecněné Stieltjesovy konstanty
Obecněji definujeme konstanty γ n (a) jako koeficienty Laurentianovy řady rozšíření funkce Hurwitz zeta :
ζ(s,na)=1s-1+∑ne=0∞(-1)nene!yne(na)(s-1)ne.{\ displaystyle \ zeta (s, a) = {\ frac {1} {s-1}} + \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \ gamma _ {n} (a) (s-1) ^ {n}.}Takzvaný reflexní vzorec, který se často připisuje Almkvistovi a Meurmanovi (kteří jej objevili v 90. letech), ve skutečnosti získal Carl Johan Malmsten již v roce 1846:
( m a n kladná celá čísla s m < n) .
y1(mne)-y1(1-mne)=2π∑l=1ne-1hřích2πmlne⋅lnΓ(lne)-π(y+ln2πne)nákladymπne{\ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {m} {n}} {\ biggr)} - \ gamma _ {1} {\ biggl (} 1 - {\ frac {m} { n}} {\ biggr)} = 2 \ pi \ sum _ {l = 1} ^ {n-1} \ sin {\ frac {2 \ pi ml} {n}} \ cdot \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {l} {n}} {\ biggr)} - \ pi (\ gamma + \ ln 2 \ pi n) \ cot {\ frac {m \ pi} {n}}}
Reference
-
(in) Y. Matsuoka, „ Zobecněné Eulerovy konstanty spojené s funkcí Riemanna Zeta “ , Teorie čísel a kombinatorika , World Scientific,1985, str. 279-295.
-
Simon Plouffe , „ Konstanty Stieltjes, od 0 do 78, s 256 přesnými desetinnými místy “ .
-
(in) Yaroslav V. Blagouchine Věta o hodnocení uzavřené formy první zobecněné Stieltjesovy konstanty při racionálních argumentech a některých souvisejících shrnutích Journal of Number Theory (Elsevier), sv. 148, str. 537-592 a sv. 151, s. 276-277, 2015. arXiv PDF
Podívejte se také
Související článek
Operátor Gauss-Kuzmin-Wirsing
Externí odkaz
(en) Eric W. Weisstein , „ Stieltjes Constants “ , na MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">