Euler-Mascheroniho konstanta

V matematiky je konstanta pro Euler - Mascheroni nebo Eulerova konstanta je konstantní matematický, který se používá zejména v teorii čísel , definované jako mez rozdílu mezi harmonické řady a přirozeného logaritmu . Obvykle se označuje (malá gama). y{\ displaystyle \ gamma}

Seznam čísel γ - ζ (3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binární	0,100 100 111 100 010 001 1…
Desetinný	0,577 215 664 90 1532 860 6 ...
Hexadecimální	0.93C 467 E37 DB0 C7A 4D1 B…
Spojitá frakce	0+11+11+12+11+1 ⋱ {\ displaystyle 0 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {\ \ ddots \ {}}}}}}}}}}} (dosud není známo, zda tato pokračující část končí nebo ne).

Definice

Eulerova-Mascheroniho konstanta γ je definována takto:

y=limne→∞(1+12+13+14+⋯+1ne-ln⁡(ne)){\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ až \ infty} \ vlevo (1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} { 4}} + \ dots + {\ frac {1} {n}} - \ ln (n) \ right)}.

Zhuštěným způsobem získáme:

y=limne→∞(∑k=1ne1k-ln⁡(ne)){\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ až \ infty} \ vlevo (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ ln (n) \ vpravo) }.

Konstanta může být také definována v explicitní podobě řady (jako byla zavedena Eulerem):

y=∑k=1∞[1k-ln⁡(1+1k)]{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {1} {k}} - \ ln \ left (1 + {\ frac {1} {k}} \ dobře dobře]}.

Tyto harmonické řady diverguje , stejně jako obecné označení sekvence ln ( n )  ; existence této konstanty naznačuje, že oba výrazy jsou asymptoticky příbuzné.

Přibližná hodnota a vlastnosti

Prvních 10 desetinná místa konstantní Euler-Mascheroni (pokračování A001620 z OEIS ) jsou: γ ≈ ,5772156649 .

Výpočet pomocí posloupnosti je extrémně pomalý a nepřesný. Je nicméně vzdělávacího zájmu pro zvýšení povědomí o problémech šíření zaokrouhlovacích chyb. Single přesnost, 100.000 slovy, součet v přirozeném pořadí, dojde k chybě na 4 th  chyba desítkové mnohem nižší, pokud součet se provádí v opačném pořadí (od nejmenší k největší), nebo pokud budeme používat Kahan algoritmus (viz součet (algoritmické) ). Pro milion podmínek, chyba dosahuje 2 nd  desetinné místo v přirozeném směru, a 4 th  desetinné místo v opačném směru; na druhou stranu, metodou Kahan, jeden dosáhl 6 přesných desetinných míst. ∑k=1ne1k-ln⁡(ne){\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ ln (n)}

K dosažení dostatečné přesnosti je nutné implementovat efektivnější metody. Například použití vzorce Euler-Maclaurin umožňuje získat asymptotické změny, jako jsou:

y=∑k=1ne1k-ln⁡(ne)-12ne+112ne2-1120ne4+...{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ ln (n) - {\ frac {1} {2n}} + {\ frac { 1} {12n ^ {2}}} - {\ frac {1} {120n ^ {4}}} + \ tečky}.

To umožnilo Eulerovi získat 16 desetinných míst γ . A Lorenzo Mascheroni v 32 bylo navrženo v roce 1790 , ale s chybou od 20 th , opravena chyba v roce 1809 tím, Johann Georg von Soldner . Donald Knuth dal v roce 1962 1 271 desetinných míst , Thomas Papanikolaou dal jeden milion desetinných míst v roce 1997 , P. Dechimel a X. Gourdon dal sto milionů o dva roky později. V roce 2017 se zdá, že ověřený rekord drží Ron Watkins s více než 400 miliardami desetinných míst (přesněji 477 511 832 674) pomocí y-cruncheru .

Stále není známo, zda Euler-Mascheroniho konstanta je či není racionální číslo . Kontinuální frakční analýza konstanty však naznačuje, že je-li racionální, má jmenovatel jeho neredukovatelné frakce více než 242 080 číslic ( Havil 2003 , s.  97).

Různé vzorce

Integrální vzorce

Konstanta Euler-Mascheroni se vyskytuje v několika integrálech  :

y=∫1∞(1E(X)-1X)dX{\ displaystyle \ gamma = \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left ({1 \ over E (x)} - {1 \ over x} \ right) \, {\ rm {d}} x}(kde E je celočíselná funkce ) =1-∫1∞ X-E(X)X2dX{\ displaystyle = 1- \ int _ {1} ^ {\ infty} \ {\ frac {xE (x)} {x ^ {2}}} \, {\ rm {d}} x} =-∫01ln⁡ln⁡(1X)dX{\ displaystyle = - \ int _ {0} ^ {1} {\ ln \ ln \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} \, {\ rm {d}} x} =∫01(1ln⁡(X)+11-X)dX{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {1} {\ ln (x)}} + {\ frac {1} {1-x}} \ right) \, { \ rm {d}} x} =∫0∞(11-E-X-1X)E-XdX{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ left ({\ frac {1} {1- \ mathrm {e} ^ {- x}}} - {\ frac {1} {x} } \ right) \ mathrm {e} ^ {- x}} \, {\ rm {d}} x} =∫0∞1X(11+X-E-X)dX{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ infty} {{\ frac {1} {x}} \ vlevo ({\ frac {1} {1 + x}} - \ mathrm {e} ^ {- x} \ vpravo)} \, {\ rm {d}} x}.

Je možné ( Sondow 2003 , Sondow 2005 ) vyjádřit γ jako dvojitý integrál (zde ekvivalentní řada):

y=∫01∫01X-1(1-Xy)ln⁡(Xy)dXdy=∑ne=1∞(1ne-ln⁡(ne+1ne)){\ displaystyle \ gamma = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x-1} {(1-x \, y) \ ln (x \, y )}} \, {\ rm {d}} x \, {\ rm {d}} y = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n}} - \ ln \ left ({\ frac {n + 1} {n}} \ right) \ right)}.

Další konstanta je vyjádřena podobným způsobem ( Sondow 2005 ):

ln⁡(4π)=∫01∫01X-1(1+Xy)ln⁡(Xy)dXdy=∑ne=1∞(-1)ne-1(1ne-ln⁡(ne+1ne)){\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {4} {\ pi}} \ right) = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x-1 } {(1 + x \, y) \ ln (x \, y)}} \, {\ rm {d}} x \, {\ rm {d}} y = \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} \ left ({\ frac {1} {n}} - \ ln \ left ({\ frac {n + 1} {n}} \ right) \ right )}.

Tyto dvě konstanty jsou také spojeny dvěma řadami ( Sondow 2010 ):

y=∑ne=1∞NE1(ne)+NE0(ne)2ne(2ne+1){\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) + N_ {0} (n)} {2n (2n + 1)}}} ln⁡(4π)=∑ne=1∞NE1(ne)-NE0(ne)2ne(2ne+1){\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {4} {\ pi}} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) -N_ { 0} (n)} {2n (2n + 1)}}}

kde N 1 ( n ) a N 0 ( n ) jsou počet 1 s a 0 s při zápisu n v základně 2.

Další neklasické výrazy Eulerovy konstanty lze najít v článku „  Sekundární míra  “.

Vzorce ve vztahu k určitým analytickým funkcím

Konstanta Euler-Mascheroni má vazby na další konkrétní analytické funkce :

• Funkce gama  :
  • Γ(z)=∫0∞E-ttz-1dt=E-yzz∏ne=1∞neEz/nene+z{\ displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- t} t ^ {z-1} \, {\ rm {d}} t = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ gamma z}} {z}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n \ mathrm {e} ^ {z / n}} { n + z}}},
  • Γ(X)=1X-y+Ó(1){\ displaystyle \ Gamma (x) = {\ frac {1} {x}} - \ gamma + o (1)}když x se blíží 0,
  • Γ′(1)=∫0∞E-Xln⁡XdX=-y{\ displaystyle \ Gamma '(1) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- x} \ ln x} \, {\ rm {d}} x = - \ gamma },
  • Γ„(1)=∫0∞E-X(ln⁡(X))2dX=y2+π26{\ displaystyle \ Gamma '' (1) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- x} (\ ln (x)) ^ {2}} \, {\ rm {d}} x = \ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}},
  • Γ′(1/2)=4∫0∞E-X2ln⁡(X)dX=-(y+2ln⁡2)π{\ displaystyle \ Gamma '(1/2) = 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}} \ ln (x)} \, {\ rm {d}} x = - (\ gamma +2 \ ln 2) {\ sqrt {\ pi}}} ;
• Integrovaná exponenciální funkce  :
  • E1(z)=∫z∞E-ttdt=∫1∞E-zttdt=E-z∫0∞E-zt1+tdt{\ displaystyle E_ {1} (z) = \ int _ {z} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- t} \ over t} \, {\ rm {d}} t = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- zt} \ over t} \, {\ rm {d}} t = \ mathrm {e} ^ {- z} \ int _ {0 } ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- zt} \ nad {1 + t}} \, {\ rm {d}} t} =E-zz∫0∞E-t1+t/zdt=-ln⁡z-y+∑ne=1∞(-1)ne-1znene⋅ne!{\ displaystyle = {\ mathrm {e} ^ {- z} \ nad z} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- t} \ nad {1 + t / z} } \, {\ rm {d}} t = - \ ln z- \ gamma + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n-1} z ^ {n} \ přes n \ cdot n!}};
• Integrovaná logaritmická funkce  :
  • pÓurX>1, li(X)=y+ln⁡(ln⁡(X))+∑ne=1∞ln⁡(X)nene⋅ne!{\ displaystyle {\ rm {pro}} \; x> 1, \ \ mathrm {li} (x) = \ gamma + \ ln (\ ln (x)) + \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln (x) ^ {n}} {n \ cdot n!}}} ;
• Integrovaná kosinová funkce  :
  • ∀X>0, VSi(X)=y+ln⁡(X)+∑ne=1+∞(-1)neX2ne(2ne)!(2ne){\ displaystyle \ forall x> 0, \ \ mathrm {Ci} (x) = \ gamma + \ ln (x) + \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)! (2n)}}} ;
• Funkce Psi  :
  • ψ(z)=Γ′(z)Γ(z)=-y-1z+∑ne=1∞1ne-1ne+z{\ displaystyle \ psi (z) = {\ Gamma '(z) \ nad \ Gamma (z)} = - \ gamma - {1 \ nad z} + \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} { 1 \ nad n} - {1 \ nad n + z}}, zejména a  ;ψ(1)=Γ′(1)=-y{\ displaystyle \ psi (1) = \ Gamma '(1) = - \ gamma}∑k=1ne1k=ψ(ne+1)+y{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {1 \ nad k} = \ psi (n + 1) + \ gamma}
• Funkce Riemann zeta  :
  • ζ(1+X)=1X+y+Ó(1){\ displaystyle \ zeta (1 + x) = {\ frac {1} {x}} + \ gamma + o (1)}když x se blíží 0,
  • ∑ne=2∞1ne(ζ(ne)-1)=1-y{\ displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} (\ zeta (n) -1) = 1- \ gamma},
  • ∑ne=1∞1(2ne+1)22ne(ζ(2ne+1)-1)=1-y-ln⁡32{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1) 2 ^ {2n}}} (\ zeta (2n + 1) -1) = 1- \ gama - \ ln {\ frac {3} {2}}},
  • ∑ne=2∞(-1)neneζ(ne)=y{\ displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}} \ zeta (n) = \ gamma}.

Vzorce související s určitými aritmetickými funkcemi

V tomto odstavci p označuje prvočíslo .

• limne→∞1ln⁡(ne)∏p≤ne(1-1p)-1=Ey{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {\ ln (n)}} \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 - {\ frac {1} {p} } \ right) ^ {- 1} = \ mathrm {e} ^ {\ gamma}}( Mertensova věta ).
• limne→∞1ln⁡(ne)∏p≤ne(1+1p)=6Eyπ2{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {\ ln (n)}} \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 + {\ frac {1} {p} } \ right) = {\ frac {6 \ mathrm {e} ^ {\ gamma}} {\ pi ^ {2}}}}.
• Dovolit být funkce von Mangoldt , definovaná na celá čísla podle jestliže n je síla prvočísla p a jinak. Takže .Λ{\ displaystyle \ Lambda}Λ(ne)=ln⁡(p){\ displaystyle \ Lambda (n) = \ ln (p)}Λ(ne)=0{\ displaystyle \ Lambda (n) = 0}∑ne=2∞Λ(ne)-1ne=-2y{\ displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n) -1} {n}} = - 2 \ gamma}
• Nechť počet dělitele z n (včetně 1 a n samotný). Takže když n má sklon k nekonečnu.d(ne){\ displaystyle d (n)}1ne∑k=1ned(k)=ln⁡(ne)+2y-1+Ó(1ne){\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ součet _ {k = 1} ^ {n} d (k) = \ ln (n) +2 \ gamma -1 + O \ left ({\ frac { 1} {\ sqrt {n}}} \ vpravo)}
• Dovolit je součet dělitelů celého čísla n . Potom , kde lim sup označuje horní limit sekvence.σ(ne){\ displaystyle \ sigma (n)}lim supσ(ne)neln⁡(ln⁡(ne))=Ey{\ displaystyle \ limsup {\ frac {\ sigma (n)} {n \ ln (\ ln (n))}} = \ mathrm {e} ^ {\ gamma}}
• Nechť je indikátorová funkce Eulera . Potom , kde lim inf označuje spodní hranici posloupnosti.φ{\ displaystyle \ varphi}lim infφ(ne)ln⁡(ln⁡(ne))ne=E-y{\ displaystyle \ liminf {\ frac {\ varphi (n) \ ln (\ ln (n))} {n}} = \ mathrm {e} ^ {- \ gamma}}

Zobecnění

Je možné zobecnit předmět definováním následujících konstant, nazývaných Stieltjesovy konstanty  :

y(m)=limne→∞(∑k=1ne(ln⁡k)mk-(ln⁡ne)m+1m+1){\ displaystyle \ gamma (m) = \ lim _ {n \ až \ infty} \ vlevo (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {(\ ln k) ^ {m}} {k }} - {\ frac {(\ ln n) ^ {m + 1}} {m + 1}} \ vpravo)}.

Vidíme to , Eulerovu konstantu. y(0)=y{\ displaystyle \ gamma (0) = \ gamma}

Poznámky a odkazy

1. „  Records set by y-cruncher  “ , na http://www.numberworld.org ,13. března 2020(zpřístupněno 20. dubna 2020 )
2. G. H. Hardy a EM Wright ( přeloženo  z angličtiny François Sauvageot, pref.  Catherine Goldstein ), Úvod do teorie čísel [„  Úvod do teorie čísel  “] [ detail vydání ], kapitola 18 („Řád aritmetických funkcí“), oddíly 18.2 až 18.4.

Podívejte se také

Související články

• Hnědá konstanta
• Meissel-Mertensova konstanta

Bibliografie

• (en) GH Hardy a EM Wright , Úvod do teorie čísel ( 1 st  ed. 1938) [ Obchodní edice ], pro vzorce související s aritmetickými funkcemi.
• (en) Julian Havil  (de) , Gamma: Exploring Euler's Constant , Princeton, PUP ,2003, 266  s. ( ISBN  0-691-09983-9 )
• (en) Jeffrey Lagarias , Eulerova konstanta: Eulerova práce a moderní vývoj, 98 stran, 258 odkazů. (2013) [ číst online ]
• Matyáš Lerch , „  Nové výrazy Eulerovy konstanty  “, Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften , sv.  42,1897
• ( fr ) Jonathan Sondow , „  Kritéria iracionality Eulerovy konstanty  “ , Proc. Hořký. Matematika. Soc. , sv.  131,2003, str.  3335-3344 ( arXiv  math.NT / 0209070 )
• (en) Jonathan Sondow , „  Dvojité integrály pro Eulerovu konstantu a ln 4 / π a analogii Hadjicostasova vzorce  “ , Amer. Matematika. Měsíc. , sv.  112,2005, str.  61-65 ( arXiv  math.CA/0211148 )
• (en) Jonathan Sondow , „  Nová racionální řada typu Vacca pro Eulerovu konstantu a její„ střídavý “analog ln 4 / π  “ , teorie aditivních čísel ,2010, str.  331-340 ( arXiv  math.NT / 0508042 )
• (en) HM Srivastava a Junesang Choi, funkce Zeta a q-Zeta a související řady a integrály , Amsterdam / Boston, Elsevier,2012( ISBN  978-0-12-385218-2 , číst online ) , s.  13-22

externí odkazy

• (en) Eric W. Weisstein , „  Euler-Mascheroni Constant  “ , na MathWorld
• (en) „  Eulerova konstanta γ = 0,577 ... její matematika a historie  “ , Stefan Krämer, univerzita v Göttingenu
• (en) Simon Plouffe , „  Různé matematické konstanty - 170000 číslic Euler nebo gama  “

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">