Kontaktní údaje společnosti Kruskal-Szekeres

Tyto Kruskal-Szekeres ( ) poloha jsou maximální analytické prodloužení z Schwarzschildovo metriky . Poskytují další řešení těm Schwarzschildovým, existuje zejména duální doména k té, která odpovídá černým děrám : bílé díry . ${\ displaystyle v, u, \ theta, \ phi}$

Tyto Eponymní souřadnice jsou matematik a fyzik American Martin D. Kruskal (1925-2006) a Hungaro - australský matematik György (George) Szekeres (1911-2005) kteří je oba navrhli 1960abychom popsali geometrii Schwarzschildovy černé díry .

Na souřadnicích Kruskal-Szekeres je zapsána Schwarzschildova metrika:

{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {32G ^ {3} M ^ {3}} {rc ^ {6}}} \ operatorname {exp} \ left (- {\ frac {rc ^ {2} } {2GM}} \ right) \ left (dv ^ {2} -du ^ {2} \ right) -r ^ {2} \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ vpravo)}

nebo:

$G$ je gravitační konstanta ,
$vs.$ je rychlost světla ,
$M$ je hmota ,
$r$ je funkcí a . $u$ $proti$

S ( srov. Poloměr Schwarzschild ), ( srov. Exponenciální funkce ) a ( srov. Plný úhel ) se píše: ${\ displaystyle R _ {\ mathrm {S}} = 2 GM / c ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {exp} \ left (x \ right) = e ^ {x}}$ ${\ displaystyle d \ Omega ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2}}$

{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4R _ {\ mathrm {S}} ^ {3}} {r}} \, e ^ {- {\ frac {r} {R _ {\ mathrm { S}}}}} \ vlevo (dv ^ {2} -du ^ {2} \ vpravo) -r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}

V geometrických jednotkách ( ) se píše: ${\ displaystyle c = G = 1}$

{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {32M ^ {3}} {r}} \, e ^ {- {\ frac {r} {2M}}} \ vlevo (dv ^ {2} -du ^ {2} \ vpravo) -r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}

Historický

v Prosinec 1915, Karl Schwarzschild popisuje první přesné řešení Einsteinových rovnic , které odhaluje neočekávanou singularitu, Schwarzschildův poloměr , jehož povaha zůstává po dlouhou dobu špatně pochopena.

V roce 1924 Arthur Eddington načrtl první ne-singulární souřadný systém s tímto slavným poloměrem. V roce 1938 vytvořil Georges Lemaître synchronní metriku ( Lemaître metric ); David Finkelstein (en) objevil další, nesynchronní, v roce 1958 a dnes se nazývá Eddington-Finkelsteinova metrika . Synge předvede, že tato poslední metrika pokrývá pouze část geometrie Schwarzschildova časoprostoru, stejně jako u Lemaîtra: tyto metriky nám neumožňují vzít v úvahu všechny dynamické případy těla v prostředí. Schwarzschildovy černé díry . Ukázali však, že tento poloměr není skutečnou fyzickou singularitou, ale pouze pro metriku zvolenou Schwarzschildem.

V roce 1960 , Martin Kruskal a George Szekeres postavena nová metrika studovat všechny typy pohybů těla ven a pod poloměr Schwarzschild.

Kontaktní údaje společnosti Kruskal-Szekeres

Konvence: podpis metriky je (- + + +).

Kruskal a Szekeres používají bezrozměrné souřadnice pro radiální souřadnici a pro časovou souřadnici, které jsou definovány za účelem eliminace termínu v nové metrice. Rekonstruují pomocí transcendentních funkcí. $u$ $proti$ $(1- \ textstyle {\ frac {R_ {s}} {r}})$ $r (u, v), t (u, v)$

Proměnné a jsou definovány: $u$ $proti$

$u ^ {2} -v ^ {2} = (\ textstyle {\ frac {r} {R_ {s}}} - 1) e ^ {{\ textstyle {\ frac {r} {R_ {s}}} }}$
$\ textstyle {\ frac {u + v} {uv}} = e ^ {{\ textstyle {\ frac {ct} {R_ {s}}}}}$

Existují dva případy pro čas:

pokud ano ; $r (u, v)> R_ {s}$ $\ tanh {\ frac {ct} {2R_ {s}}} = {\ frac {v} {u}}$
tak tedy . $r (u, v) <R_ {s}$ $\ tanh {\ frac {ct} {2R_ {s}}} = {\ frac {u} {v}}$

Dostaneme diagonální metriku:

ds ^ {2} = {\ frac {4.R_ {s} ^ {3}} {r}} e ^ {{- \ textstyle {\ frac {r} {R_ {s}}}}} (od ^ {2} -dv ^ {2}) + r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})

který je definován pro všechno . Čas t je na druhé straně nekonečný v poloměru Schwarzschild ( ). $r (u, v)> 0$ $u = \ pm v$

Vlastnosti

Pro singulární patologii Schwarzschildovy metriky at je nahrazen vztah . $r = 0$ $v ^ {2} -u ^ {2} = 1$

Takže nyní máme dvě singularity .

{\ begin {cases} u = {\ sqrt {v ^ {2} -1}} \\ u = - {\ sqrt {v ^ {2} -1}} \ end {cases}}

Čáry v souřadnicích Schwarzschild jsou hyperboly v souřadnicích Kruskal. Jejich asymptoty jsou bisektory a . Čáry v souřadnicích Schwarzschild jsou čáry procházející počátkem v souřadnicích Kruskal. Singularity jsou reprezentovány okraji šedých hyperbolických zón na protějším obrázku. $r = Cste$ $u ^ {2} -v ^ {2} = Cste$ $u = v$ $u = -v$ $t = Cste$ $v / u = Cste$

Lehká geodetika jsou čáry orientované pod úhlem 45 °. Je snadné to ověřit pro , máme . $ds = 0$ $du ^ {2} = dv ^ {2}$

Schwarzschildova metrika rozlišuje mezi dvěma oblastmi časoprostoru ohraničenými horizontem událostí. Tento region je segmentován na polovinu pomocí metriky Kruskal-Szekeres. $r> 2 mil$

Podmínka odpovídá na .

r> R_ {s}

u ^ {2}> v ^ {2}

{\ begin {cases} u> | v | \\ u <- | v | \ end {cases}}

Celá Schwarzschildova geometrie je proto reprezentována čtyřmi různými oblastmi v souřadnicích Kruskal.

Poznámky a odkazy

Taillet, Villain a Febvre 2018 , sv Kruskal-Szekeres (souřadnice), str. 414, sl. 1 .
Hobson, Efstathiou a Lasenby 2010 , kap. 11 , § 11.9 , s. 1 264.
Taillet, Villain a Febvre 2018 , sv Kruskal-Szekeres (souřadnice), str. 414, sl. 2 .
Kruskal 1960 .
Szekeres 1960 .
Taillet 2013 , s. 61.
(in) AS Eddington , ' A comparison of Whitehead's and Einstein's formulaæ "Únor 1924( DOI 10.1038 / 113192a0 , Bibcode 1924Natur.113..192E ) ,s. 192 url =http://www.strangepaths.com/files/eddington.pdf
Lev Landau a Evgueni Lifchits , teoretická fyzika , t. 2: Teorie pole [ detail vydání ], § 102, poznámka pod čarou.
Synge, JL, Gravitační pole částice , 1950, Proc. R. Irish Acad. A 53, 83-114.
Lev Landau a Evgueni Lifchits , teoretická fyzika , t. 2: Teorie pole [ detail vydání ], § 103, poznámka pod čarou. Landau také evokuje práci Igora Novikova, který v roce 1963 získal synchronní metriku s podobnými vlastnostmi.

Podívejte se také

Původní články Kruskala a Szekerese

[Kruskal 1960] (en) MD Kruskal , „ Maximální rozšíření Schwarzschildovy metriky “ , Phys. Rev. , sv. 119, n o 5,Září 1960, str. 1743-1745 ( DOI 10.1103 / PhysRev.119.1743 , Bibcode 1960PhRv..119.1743K , shrnutí ).
[Szekeres 1960] (en) G. Szekeres , „ O singularitách riemannovského potrubí “ , Publ. Matematika. (Debr.) , Sv. 7,1960, str. 285-301 ( Bibcode 1960PMatD ... 7..285S ).

Bibliografie

[Hobson, Efstathiou a Lasenby 2010] MP Hobson , GP Efstathiou a Lasenby ( trans. Z Engl. Podle L. Villain , rev. Podle R. Taillet ,) obecné relativity [ " Obecná teorie relativity: Úvod do fyziky "] v Bruselu , De Boeck Univ. , kromě kol. , Února 2010, 1 st ed. , 1 obj. , XX -554 s. , nemocný. , 28 cm ( ISBN 978-2-8041-0126-8 , EAN 9782804101268 , OCLC 690272413 , upozornění BnF n o FRBNF42142174 , SUDOC 140535705 , online prezentace , číst online ) , kap. 11 („Schwarzschildovy černé díry“), § 11.9 („Kruskalovy souřadnice“), s. 11 261-267.
[Misner, Thorne and Wheeler 1973] (en) Ch. W. Misner , KS Thorne a JA Wheeler , Gravitace [„Gravitace“], San Francisco, WH Freeman , hors coll. ,1973, 1 st ed. , 1 obj. , XXVI -1279 s. , nemocný. , 26 cm ( ISBN 0-7167-0334-3 a 0-7167-0344-0 , EAN 9780716703440 , OCLC 300307879 , upozornění BnF n o FRBNF37391055 , Bibcode 1973grav.book ..... M , SUDOC 004830148 , číst online ) , str. 827 a str. 831-836.
[Taillet, Villain and Febvre 2018] R. Taillet , L. Villain a P. Febvre , slovník fyziky , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , kromě kol. ,Ledna 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Květen 2008), 1 obj. , X -956 str. , nemocný. a obr. , 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224228161 , online prezentace , číst online ) , sv Kruskal-Szekeres (kontaktní údaje), s. 414-415.

Externí odkaz

[Szeftel 2013] J. Szeftel , „ Úvod do obecné relativity z matematického hlediska “, základna Gargantua na polytechnice École ,Prosinec 2013, 79 s. , kap. 6 („Příklady explicitních řešení“), odst . 6.2 („Schwarzschildovo řešení“), 6.2.1. („Řešení a maximální rozšíření“), s. 59-61 ( číst online ).