Nyquistovo kritérium

Kritérium Nyquist stabilita je grafické pravidlo používá v automatické a v teorii stability , což umožňuje určit, zda je dynamický systém je stabilní . To bylo formulováno nezávisle dvěma elektrotechniky: Němec Felix Strecker ze společnosti Siemens v roce 1930 a Američan Harry Nyquist z Bell Laboratories v roce 1932. Tato konstrukce, která využívá Nyquistův diagram obvodů s otevřenou smyčkou, umožňuje upustit od výpočtu pólů a nul přenosových funkcí (i když je nutné znát počet a typ singularit reálné poloroviny). Platí pro obvody, jejichž přenosová funkce nemusí být nutně racionální funkcí , jako jsou zpožďovací smyčky. Na rozdíl od Bodeho diagramu umožňuje pracovat na přenosových funkcích se skutečnými singularitami. Kromě toho se přirozeně zobecňuje na multiplexované systémy typu „  více vstupů, více výstupů  “, běžných v avionice.

Nyquistovo kritérium je široce používáno v elektronice a regulaci , aniž jsou dotčeny jiné oblasti, pro návrh a studium obvodů zpětné vazby . Ačkoli Nyquistovo kritérium je jedním z nejobecnějších kritérií stability, vztahuje se pouze na stacionární lineární obvody (LTI). U nelineárních obvodů je nutné se uchýlit ke složitějším kritériím, jako jsou kritéria Liapounov nebo disk stability . Navzdory své grafické povaze Nyquistovo kritérium nenaznačuje nic konkrétního o stabilním nebo nestabilním charakteru obvodu: nenaznačuje, jak upravit obvod, aby byl stabilní. Z tohoto pohledu jsou pro návrháře někdy užitečnější méně obecné techniky, jako je Bodeho diagram.

Nyquistův diagram

Nyquist diagram je parametrická křivka frekvenční odezvy automatické obvodu. Hlavním využitím Nyquistových diagramů je studium stability zpětnovazebního systému. V kartézských souřadnicích určuje skutečná část přenosové funkce úsečku pracovního bodu; jeho imaginární část, souřadnice. Křivka je parametrizována frekvencí, která poskytuje frekvenční diagram. Stejnou křivku můžeme nakreslit do polárních souřadnic  : zisk funkce přenosu je pak radiální souřadnice a úhel udává její fázi .

Studujeme stabilitu negativní zpětnovazební smyčky použitím Nyquistova kritéria stability na Nyquistův diagram obvodu s otevřenou smyčkou (to znamená zbavené zpětnovazební smyčky). Tato metoda je základní pro použití, dokonce i pro zpožďovací linky nebo jiné neracionální přenosové funkce, které by bylo obtížné analyzovat jinými metodami. Zde se posuzuje stabilita jednoduše spočítáním počtu cyklů křivky kolem bodu (−1,0); a interval zesílení, za kterým bude obvod stabilní, je určen počítáním průsečíků křivky se skutečnou osou.

Nyquistův diagram někdy poskytuje určité informace o tvaru přenosové funkce: například rozdíl mezi počtem nul a pólů přenosové funkce se odvodí z tečny křivky v počátku.

U ručních výkresů jsme dlouho používali speciální milimetrový papír k posouzení linearity křivky, přičemž anamorfóza souřadnic přeháněla kritické oblasti diagramu. Při trasování počítačem je třeba dbát na to, aby byly do trasování začleněny všechny frekvence, při kterých bude obvod fungovat. To vzhledem k rozdílům mezi frekvencemi často vyžaduje práci v logaritmických souřadnicích.

Princip procesu

Zvažte dynamický systém nebo obvod funkce přenosu v otevřené smyčce  ; vložen do obvodu negativní zpětné vazby , bude přenosová funkce celku . Stabilitu lze posoudit zkoumáním kořenů polynomu jmenovatele , například pomocí tabulky Routh , i když je tato metoda zdlouhavá. Můžeme to také uzavřít vynesením Bodeho diagramu přenosové funkce s otevřenou smyčkou , nebo, jak to uděláme nyní, vynesením křivky do polárních souřadnic součinu funkcí a použitím Nyquistova kritéria. G(s){\ displaystyle G (s)}H(s){\ displaystyle H (s)}G1+GH{\ displaystyle {\ frac {G} {1 + GH}}}1+GH{\ displaystyle 1 + GH}G(s){\ displaystyle G (s)}G×H(s){\ displaystyle G \ krát H (s)}

Laplaceova transformace přenosové funkce může být psáno jako poměr dvou polynomů:T(s){\ displaystyle {\ mathcal {T}} (s)}T(s)=NE(s)D(s).{\ displaystyle {\ mathcal {T}} (s) = {\ frac {N (s)} {D (s)}}.}

Jejichž kořeny se nazývají nuly na , a ty se nazývají hole z . Rovnice se nazývá „charakteristická rovnice“. " NE(s){\ displaystyle N (s)}T(s){\ displaystyle {\ mathcal {T}} (s)}D(s){\ displaystyle D (s)}T(s){\ displaystyle {\ mathcal {T}} (s)}D(s)=0{\ displaystyle D (s) = 0}

Stabilita obvodu s přenosovou funkcí je dána hodnotou jeho pólů: aby byl stabilní, musí být skutečná část každého pólu záporná. Pokud je obvod získán smyčkováním komponenty přenosové funkce prostřednictvím záporné zpětné vazby jednotky, kořeny "charakteristické rovnice jsou také nuly nebo nuly . T(s){\ displaystyle {\ mathcal {T}} (s)}GH(s)=NA(s)B(s){\ displaystyle GH (s) = {\ frac {A (s)} {B (s)}}}1+GH(s){\ displaystyle 1 + GH (s)}NA(s)+B(s)=0{\ displaystyle A (s) + B (s) = 0}

Aplikace Cauchyho nápadu

Z teorie holomorfních funkcí víme, že můžeme transformovat obrys komplexní roviny obklopující libovolný počet singularit (nul a pólů) funkce na obrazovou rovinu (nazývanou rovina ) holomorfní funkcí . Zejména každé připevnění obrysu má bod připevnění jako obrázek a sada definuje obrys obrázku. Γs{\ displaystyle \ Gamma _ {s}}s{\ displaystyle s}F(s){\ displaystyle F (s)}F(s){\ displaystyle F (s)}F{\ displaystyle F} s{\ displaystyle s}Γs{\ displaystyle \ Gamma _ {s}}F(s){\ displaystyle F (s)}

Podle principu Cauchyho argumentu je Nyquistův diagram , představovaný popsanými obrysovými cykly kolem bodu transformované roviny , s . Zde jsou a jsou počet nul a počet pólů obsahu uvnitř obrysu . Pamatujte, že cykly v obrazové rovině se zde počítají ve stejném směru jako směr obrysu a že cykly popsané v opačném směru musí být odvozeny (počítány záporně); jinými slovy, jeden považuje cykly popsané ve směru hodinových ručiček za kladné, ostatní za záporné. F(s){\ displaystyle F (s)}ΓF(s)=F(Γs){\ displaystyle \ Gamma _ {F (s)} = F (\ Gamma _ {s})}NE{\ displaystyle N}s=-1+k{\ displaystyle s = {- 1 + k}}F(s){\ displaystyle F (s)}NE=P-Z{\ displaystyle N = PZ}Z{\ displaystyle Z}P{\ displaystyle P}1+kF(s){\ displaystyle 1 + kF (s)}F(s){\ displaystyle F (s)}Γs{\ displaystyle \ Gamma _ {s}}F(s){\ displaystyle F (s)}Γs{\ displaystyle \ Gamma _ {s}}

Původní článek Harryho Nyquista (1932) skutečně používal méně sofistikovaný přístup než Cauchyho princip argumentace. Zde zvolený přístup je podobný přístupu Leroye MacColla ( Fundamental theory of servomechanisms , 1945) nebo Hendrik Bode ( Network analysis and feedback amplifier design 1945), dvou vědců z Bell Laboratories  ; je to většina manuálů automatiky.

Prohlášení Nyquistova kritéria

Nejprve je třeba definovat obrys Nyquist , obrys, který obsahuje kladnou komplexní polorovinu (vpravo); skládá se ( uvedením j jednoho ze dvou komplexů jako ): j2=-1{\ displaystyle j ^ {2} = - 1}

• ze segmentu zahrnující osu , z na .jω{\ displaystyle j \ omega}0-j∞{\ displaystyle 0-j \ infty}0+j∞{\ displaystyle 0 + j \ infty}
• půlkruh o poloměru , začínající od orientovaného ve směru hodinových ručiček k bodu připevnění .r→∞{\ displaystyle r \ to \ infty}0+j∞{\ displaystyle 0 + j \ infty}0-j∞{\ displaystyle 0-j \ infty}

Nyquistova kontura, transformovaná funkcí , popisuje křivku v komplexní rovině. Podle principu argumentu počet cyklů popsaných ve směru hodinových ručiček kolem počátku není nic jiného než počet nul kladné poloroviny, minus počet pólů této stejné poloroviny. Pokud se naopak jsme transformovat obrys přenosem do otevřené smyčce , získáme Nyquistova diagramu z . Počítáním cyklů tohoto obrysu kolem -1 získáme rozdíl mezi počtem pólů a počtem nul obsažených v kladné polorovině . 1+G(s){\ displaystyle 1 + G (s)}1+G(s){\ displaystyle 1 + G (s)}1+G(s){\ displaystyle 1 + G (s)}1+G(s){\ displaystyle 1 + G (s)}G(s){\ displaystyle G (s)}G(s){\ displaystyle G (s)}1+G(s){\ displaystyle 1 + G (s)}

Vzhledem k tomu, že nuly jsou póly systému uzavřené smyčky a že póly jsou póly , uvedeme Nyquistovo kritérium: 1+G(s){\ displaystyle 1 + G (s)}1+G(s){\ displaystyle 1 + G (s)}G(s){\ displaystyle G (s)}

"Vzhledem k Nyquistově kontuře , tj. Počtu pólů od interiérů k a počtu nul od interiérů k ." Pokud je počet pólů systému s uzavřenou smyčkou v kladné polorovině a počet pólů funkce přenosu v otevřené smyčce umístěný v kladné polorovině, obrys obrazu v rovině , bude popisovat cykly ( ve směru hodinových ručiček) kolem bodu. " Γs{\ displaystyle \ Gamma _ {s}}P{\ displaystyle P}G(s){\ displaystyle G (s)}Γs{\ displaystyle \ Gamma _ {s}}Z{\ displaystyle Z}1+G(s){\ displaystyle 1 + G (s)}Γs{\ displaystyle \ Gamma _ {s}}Z{\ displaystyle Z}P{\ displaystyle P}G(s){\ displaystyle G (s)}G(s){\ displaystyle G (s)}ΓG(s){\ displaystyle \ Gamma _ {G (s)}}NE=Z-P{\ displaystyle N = ZP}

Pokud je systém již v otevřené smyčce nestabilní, musí být stabilizován zpětnovazební smyčkou. Nestabilita má za následek existenci pólů v kladné polorovině (RHP). Aby byl systém uzavřené smyčky stabilní, nesmí existovat žádné kořeny v kladné polorovině s. Takže počet cyklů popsaných proti směru hodinových ručiček kolem bodu by se měl rovnat počtu pólů otevřené smyčky ve stejné polorovině. Libovolný cyklus popsaný frekvenční odezvou otevřené smyčky (přecházející z nízkých frekvencí do vysokých frekvencí) kolem kritického bodu signalizuje, že systém by byl se zpětnou vazbou nestabilní. -1+j0{\ displaystyle -1 + j0}

Případ imaginárních pólových obvodů

Výše uvedená úvaha byla založena na předpokladu, že přenosová funkce s otevřenou smyčkou nemá žádný pól na imaginární ose (tj. Žádný pól tvaru ). Použití zásady argumentu skutečně předpokládá, že obrys neprochází žádným pólem konformní aplikace. Některé systémy se však od této podmínky odchylují: nejběžnější jsou integrační obvody (póly na nule). G(s){\ displaystyle G (s)}0+jω{\ displaystyle 0 + j \ omega}

Abychom mohli studovat pólové systémy na imaginární ose, můžeme upravit Nyquistův obrys, abychom se vyhnuli bodu  : stačí, když vezmeme v úvahu půlkruhový oblouk okolního poloměru , vycházející z a končící (ve směru jehel). hodinky) k věci . To znamená upravit obvod takovým způsobem, že jeho přenosová funkce popisuje oblouk nekonečného poloměru, kde je multiplicita pólu na imaginární ose. 0+jω{\ displaystyle 0 + j \ omega}r→0{\ displaystyle r \ to 0}0+jω{\ displaystyle 0 + j \ omega}0+j(ω-r){\ displaystyle 0 + j (\ omega -r)}0+j(ω+r){\ displaystyle 0 + j (\ omega + r)}G(s){\ displaystyle G (s)}-lπ{\ displaystyle -l \ pi}l{\ displaystyle l}

„Aby byl lineární systém uzavřené smyčky stabilní, je nutné a dostačující, aby poloměr vektoru roztažený mezi bodem přípony -1 a aktuálním bodem grafu přenosové funkce systému lineární otevřené smyčky prošel fází posun přesně stejný, kde je multiplicita pólu na imaginární ose. " G(jω){\ displaystyle G (j \ omega)}-lπ{\ displaystyle -l \ pi}l{\ displaystyle {\ displaystyle l}}

Matematické odůvodnění

Jedná se o otázku stanovení stability přenosové funkce systému se zápornou zpětnou vazbou zisku k , danou vztahem

T(s)=kG(s)1+kG(s){\ displaystyle T (s) = {\ frac {kG (s)} {1 + kG (s)}}}

Jinými slovy, snažíme se zjistit, zda je charakteristická rovnice výše uvedené přenosové funkce dána

D(s)=1+kG(s)=0{\ displaystyle D (s) = 1 + kG (s) = 0}

má nuly mimo levou polorovinu (obvykle zkráceně OLHP).

Předpokládejme, že obrys, řádně odsazený, aby se zabránilo nulám a pólům , orientovaný ve směru hodinových ručiček (nebo anti-trigonometrický) obklopující pravou polorovinu. Princip z Cauchyho argumentu uvádí, že G(s){\ displaystyle G (s)}Γs{\ displaystyle \ Gamma _ {s}}

-12πi∮ΓsD′(s)D(s)ds=NE=Z-P{\ displaystyle - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anoint _ {\ Gamma _ {s}} {D '(s) \ přes D (s)} \, ds = N = ZP}

kde představuje počet nul interiérů na obrysu a počet pólů stejného obrysu. Přeskupením podmínek máme , tj. Z{\ displaystyle Z}D(s){\ displaystyle D (s)}P{\ displaystyle P}D(s){\ displaystyle D (s)}Z=NE+P{\ displaystyle Z = N + P}

Z=-12πi∮ΓsD′(s)D(s)ds+P{\ displaystyle Z = - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anoint _ {\ Gamma _ {s}} {D '(s) \ přes D (s)} \, ds + P}

Zlato má přesně stejné póly jako . Můžeme tedy najít spočítáním pólů interiérů na obrysu nebo na skutečné polorovině (vpravo, ORHP). D(s)=1+kG(s){\ displaystyle D (s) = 1 + kG (s)}G(s){\ displaystyle G (s)}P{\ displaystyle P}G(s){\ displaystyle G (s)}

Nyní transformujeme výše uvedený integrál změnou proměnné. Pózování , máme u(s)=D(s){\ displaystyle u (s) = D (s)}

NE=-12πi∮ΓsD′(s)D(s)ds=-12πi∮u(Γs)duu{\ displaystyle N = - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anoint _ {\ Gamma _ {s}} {D '(s) \ přes D (s)} \, ds = - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anint _ {u (\ Gamma _ {s})} {du \ over u} \,}

Proveďte druhou změnu proměnné . To dává proti(u)=u-1k{\ displaystyle v (u) = {\ frac {u-1} {k}}}

NE=-12πi∮u(Γs)duu=-12πi∮proti(u(Γs))dprotiproti+1/k{\ displaystyle N = - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anoint _ {u (\ Gamma _ {s})} {du \ over u} \, = - {{1} \ over { 2 \ pi i}} \ anoint _ {v (u (\ Gamma _ {s}))} {dv \ over {v + 1 / k}} \,}

Ale vidíme, že je to obraz obrysu , a není to tedy nic jiného než Nyquistův diagram . Integrál dávající N lze zjednodušit použitím Cauchyho integrálního vzorce  : proti(u(Γs))=D(Γs)-1k=G(Γs){\ displaystyle v (u (\ Gamma _ {s})) = {{D (\ Gamma _ {s}) - 1} \ nad {k}} = G (\ Gamma _ {s})}G(s){\ displaystyle G (s)}

NE=-12πi∮G(Γs))dprotiproti+1/k{\ displaystyle N = - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anoint _ {G (\ Gamma _ {s}))} {\ frac {d} {v}} {v + 1 / k } \,}

Ve skutečnosti tento integrál přesně odpovídá počtu cyklů popsaných ve směru hodinových ručiček Nyquistovým diagramem kolem bodu . Můžeme tedy napsat: -1/k{\ displaystyle -1 / k}

Z=NE+P=(počet cyklů popsaných ve směru hodinových ručiček Nyquistovým diagramem kolem bodu -1/k+(počet pólů G(s) v kladné polorovině){\ displaystyle {\ begin {aligned} Z = {} & N + P \\ [6pt] = {} & {\ text {(počet cyklů popsaných ve směru hodinových ručiček Nyquistovým diagramem kolem bodu}} {- 1 / k } \\ & {} + {\ text {(počet pólů}} G (s) {\ text {v kladné polorovině)}} \ end {zarovnáno}}}

Zjistilo se tedy, že výše definovaná přenosová funkce odpovídá stabilní (jednotkové) zpětnovazební smyčce, pokud se , jak je vypočítáno výše, rovná 0. T(s){\ Displaystyle T (s)}Z{\ displaystyle Z}

Shrnout...

Nyquistovo kritérium umožňuje posoudit z vlastností systému s otevřenou smyčkou stabilitu systému s uzavřenou smyčkou.

• Pokud má funkce přenosu v otevřené smyčce nulový pól multiplicity , je Nyquistův diagram diskontinuální v . Je třeba předpokládat, že obvod fázového posuvu popisuje časy půlkruhu nekonečného poloměru ve směru hodinových ručiček. Použitím tohoto pravidla můžeme zanedbávat nulové póly; to znamená, že pokud neexistují žádné další nestabilní póly, měla by být funkce přenosu otevřené smyčky považována za stabilní.G(s){\ displaystyle G (s)}l{\ displaystyle l}ω=0{\ displaystyle \ omega = 0}l{\ displaystyle l}G(s){\ displaystyle G (s)}
• Pokud je funkce přenosu v otevřené smyčce stabilní, je systém uzavřené smyčky nestabilní pro jakýkoli cyklus kolem bodu -1.G(s){\ displaystyle G (s)}
• V případě, že přenosová funkce s otevřenou smyčkou je nestabilní , pak musí být proti směru hodinových ručiček kolem cyklus -1 pro každý pól v kladné polorovině.G(s){\ displaystyle G (s)}G(s){\ displaystyle G (s)}
• Počet přebytečných cyklů ( kladný N  +  P ) je počet nestabilních pólů systému uzavřené smyčky.
• Pokud však křivka zachytí bod přípony -1, je těžké říci cokoli o stabilitě systému a z grafu lze vyvodit jediný závěr, že na ose jsou nuly .jω{\ displaystyle j \ omega}

Poznámky

1. Florent Chavand, Od dat k informacím: Od vynálezu zápisu k digitální explozi , London, ISTE Editions,2017( ISBN  9781784052683 ) , s.  242
2. (de) Kurt Reinschke , Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie , Springer-Verlag,2014( repr.  2) ( ISBN  978-3-64240960-8 ) , „4.3. Das Stabilitätskriterium von Strecker-Nyquist ” , str.  184
4. (De) Felix Strecker , Die elektrische Selbsterregung mit einer Theorie der aktiven Netzwerke , Stuttgart, S. Hirzel Verlag,1947.
5. Harry Nyquist , „  Teorie regenerace  “, Bell System Technical Journal , sv.  11, n o  1,Leden 1932, str.  126–147 ( DOI  10.1002 / j.1538-7305.1932.tb02344.x , číst online )
6. Srov. J.-Ph. Pérez, Chr. Lagoute, J.-Y. Fourniols a St. Bouhours, elektronika. Nadace a aplikace , Paříž, Dunod,2006( dotisk  2012, 2e) ( ISBN  9782100581153 ) , „13. Zpětná vazba. Aplikace na otroky “, str.  441-443
7. Srov. Například Nageotte, „  Analýza a korekce lineárních systémů  “ , na Univerzitě ve Štrasburku - Automatizace, vidění a robotika (přístup 8. dubna 2020 ) , s.  106
8. Srov. Y. Granjon, Automatický: Lineární, nelineární, spojitý čas, diskrétní časové systémy, stavová reprezentace , Dunod,2001( repr.  2e, 2010) ( ISBN  978-2-10-055087-6 ) , „6.3 Nyquistovo kritérium“, s. 2  108
9. Nejen maskování pólů kladné poloroviny nulami čitatele neodstraní nestabilitu, ale dokonce způsobí nestabilitu systému se zpětnou vazbou, protože kořeny uzavřené smyčky přecházejí mezi póly a nulami s proti- zpětná vazba reakce. Ve skutečnosti nuly čitatele činí nestabilní póly nezjistitelnými, a proto nejsou stabilizovatelné protireakcí.
10. M. Meerov, Y. Michailov a V Friedman ( překlad  V. Polonsky), Principy optimální kontroly , Moskva, Mir Editions,1979, str.  88

Viz také

• (fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „  Nyquistovo kritérium stability  “ ( viz seznam autorů ) .
• Stabilita EBSB
• Bodeův diagram
• Kritérium Routh - Hurwitz
• Blackův diagram
• Hall kruhy
• Kritérium stability podle Barkhausena
• Nastavitelné applety
• EIS Spectrum Analyzer - freeware pro analýzu a simulaci impedančních spekter
• Kreslení Nyquistova diagramu pomocí Geobebry
• PID Nyquist tvarování spiknutí - bezplatný interaktivní nástroj, simulátor obvodu

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">