Bodeův diagram
Bode diagram je způsob, jak představují frekvenční odezvu systému, zejména elektronické .
Hendrik Wade Bode z Bell Laboratories navrhl tento diagram pro jednoduché grafické studium serva a zpětné vazby v elektronickém zařízení . Umožňuje rychle vizualizovat ziskovou hranici, fázovou rezervu, kontinuální zisk, šířku pásma , odmítnutí poruchy a stabilitu systému z přenosové funkce .
Definice
Bodeův diagram systému frekvenční odezvy se skládá ze dvou grafů:
T(jω) {\ displaystyle T (j \ omega) \}
- zisk (nebo amplituda) v decibelech (dB). Jeho hodnota se počítá z .20log10(|T(jω)|) {\ displaystyle 20 \ log _ {10} {(| T (j \ omega) |)} \}
- fáze ve stupních, danýarg(T(jω)) {\ displaystyle \ arg {(T (j \ omega))} \}
Stupnice pulzů je logaritmická a je vyjádřena v rad / s (radiány za sekundu). Logaritmická stupnice umožňuje velmi čitelný graf, protože je konstruována z úseček přímky .
Asymptotický graf analogových systémů
Vezměme si libovolnou přenosovou funkci, která je zapsána následovně:
H(p)=αpq∏k=1K.(1+2ξkpωk+(pωk)2)∏l=1L(1+pωl)∏m=1M(1+2ξmpωm+(pωm)2)∏ne=1NE(1+pωne){\ displaystyle H (p) = \ alfa p ^ {q} {\ frac {\ prod _ {k = 1} ^ {K} \ vlevo (1 + 2 \ xi _ {k} {\ frac {p} { \ omega _ {k}}} + \ left ({\ frac {p} {\ omega _ {k}}} \ right) ^ {2} \ right) \ prod _ {l = 1} ^ {L} \ left (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {l}}} \ right)} {\ prod _ {m = 1} ^ {M} \ left (1 + 2 \ xi _ {m} {\ frac {p} {\ omega _ {m}}} + \ left ({\ frac {p} {\ omega _ {m}}} \ right) ^ {2} \ right) \ prod _ {n = 1} ^ {N} \ vlevo (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {n}}} \ vpravo)}}}
nebo α∈R ; q∈Z ; ωk,ωl,ωm,ωne∈R∗ ; ξk,ξm∈R {\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} \; \ q \ v \ mathbb {Z} \; \ \ omega _ {k}, \ omega _ {l}, \ omega _ {m}, \ omega _ {n} \ in \ mathbb {R} ^ {*} \; \ \ xi _ {k}, \ xi _ {m} \ in \ mathbb {R} \}
Ačkoli lze přenosovou funkci zapsat několika způsoby, měly by být zapsány výše popsaným způsobem:
- konstantní členy elementárních polynomů prvního a druhého stupně musí být platné . K tomu použijte konstantu .1{\ displaystyle 1}α{\ displaystyle \ alpha}
- Výrazy v elementárních polynomech prvního a druhého stupně musí být v čitateli. (viz přepsání funkce High Pass níže)p{\ displaystyle p}
Všimněte si, že modul je roven součtu modulů elementárních členů v důsledku logaritmu . Totéž platí pro fázi, tentokrát kvůli argumentační funkci. Proto nás zpočátku budou zajímat Bodeovy diagramy elementárních výrazů.
H(p) {\ displaystyle H (p) \}
Systémy prvního řádu
Nízký průchod
Funkce přenosu:
H(p)=11+pω0 {\ displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + {\ frac {p} {\ omega _ {0}}}}}}Impuls se nazývá mezní impuls .
ω0 {\ displaystyle \ omega _ {0} \}
Pro proto a .
ω≪ω0, H(jω)≈1 {\ displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {0}, \ H (j \ omega) \ přibližně 1 \}|HdB(jω)|=0 {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = 0 \}arg(H(jω))=0∘ {\ displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = 0 ^ {\ circ} \}
Pro proto a .
ω≫ω0, H(jω)≈-jω0ω {\ displaystyle \ omega \ gg \ omega _ {0}, \ H (j \ omega) \ přibližně -j {\ frac {\ omega _ {0}} {\ omega}} \}|HdB(jω)|=-20log10(ω)+20log10(ω0) {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = -20 \ log _ {10} (\ omega) +20 \ log _ {10} (\ omega _ {0}) \}arg(H(jω))=-90∘ {\ displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = - 90 ^ {\ circ} \}
V logaritmické referenci je výsledkem sklon -20 dB / dekáda nebo dokonce -6 dB / oktáva . Mluvíme také o sklonu -1. Asymptotický Bodeův diagram modulu tedy sestává ze dvou lineárních řezů.
|HdB(jω)| {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | \}
v , nebo : křivka prochází 3 dB pod mezní bod.
ω0 {\ displaystyle \ omega _ {0} \}H(jω0)=11+j{\ displaystyle H (j \ omega _ {0}) = {\ frac {1} {1 + j}}}|Hdb(jω0)|=-20log10(2)=-10log10(2){\ displaystyle | H_ {db} (j \ omega _ {0}) | = -20 \ log _ {10} ({\ sqrt {2}}) = - 10 \ log _ {10} (2)}
High pass
Funkce přenosu:
H(p)=11+ω0p=pω01+pω0{\ displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ omega _ {0}} {p}}}} = {\ frac {\ frac {p} {\ omega _ {0 }}} {1 + {\ frac {p} {\ omega _ {0}}}}}}Graf se získá převzetím protikladu modulu v dB a fáze dolní propusti.
Systémy druhého řádu
Nízký průchod
Systém druhého řádu typu low pass se vyznačuje přenosovou funkcí typu:
H(p)=H01+2ξpω0+(pω0)2 {\ displaystyle H (p) = {\ frac {H_ {0}} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ vlevo ({\ frac {p} {\ omega _ {0}}} \ vpravo) ^ {2}}} \}H0{\ displaystyle H_ {0}}je statický zisk. Pulzace se nazývá správná pulzace a je tlumením.
ω0 {\ displaystyle \ omega _ {0} \}ξ {\ displaystyle \ xi \}
- Asymptotická zápletka a skutečná křivka
V této části je statický zisk roven 1. Asymptotické uspořádání závisí na hodnotě tlumení. Existují tři případy:
H0{\ displaystyle H_ {0}}
- ξ >1{\ displaystyle \ xi \> 1}
Póly přenosové funkce jsou skutečné (a negativní na stabilitu), a systém je rozdělen na součin dvou přenosových funkcí na 1 I. ordre.Soit a skutečných pólů přenosové funkce:
p1{\ displaystyle p_ {1}}p2{\ displaystyle p_ {2}}
H(p)=11+2ξpω0+(pω0)2=1(1-pp1)(1-pp2){\ displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ vlevo ({\ frac {p} {\ omega _ { 0}}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {p} {p_ {1}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {p} {p_ {2}}} \ vpravo)}}}
- ξ =1{\ displaystyle \ xi \ = 1}
Póly jsou reálné, záporné a stejné (dvojpól). Pokud je dvojitý pól přenosové funkce, dostaneme:
p0{\ displaystyle p_ {0}}
H(p)=11+2ξpω0+(pω0)2=1(1+pω0)2{\ displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ vlevo ({\ frac {p} {\ omega _ { 0}}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} \ right) ^ {2}}} }Pro proto a .
ω≪ω0 H(jω)≈1 {\ displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {0} \ H (j \ omega) \ přibližně 1 \}|HdB(jω)|=0 {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = 0 \}arg(H(jω))=0∘ {\ displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = 0 ^ {\ circ} \}
Pro proto a .
ω≫ω0 |H(jω)|≈(ω0ω)2 {\ displaystyle \ omega \ gg \ omega _ {0} \ | H (j \ omega) | \ přibližně \ doleva ({\ frac {\ omega _ {0}} {\ omega}} \ doprava) ^ {2} \}|HdB(jω)|=-40log10(ω)+40log10(ω0) {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = -40 \ log _ {10} (\ omega) +40 \ log _ {10} (\ omega _ {0}) \}arg(H(jω))=-180∘×siGneE(ω0ξ) {\ displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = - 180 ^ {\ circ} \ krát \ operatorname {znak (\ omega _ {0} \ xi)} \}
V logaritmickém měřítku vede ke strmosti -40 dB / dekáda nebo dokonce -12 dB / oktáva . Mluvíme také o sklonu -2. Asymptotický Bodeův diagram modulu tedy sestává ze dvou lineárních řezů.
|HdB(jω)| {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | \}
- ξ <1{\ displaystyle \ xi \ <1}
Asymptotický diagram je stejný jako v předchozím případě. Póly přenosové funkce jsou složité a konjugované, se zápornou skutečnou částí. Když systém vykazuje rezonanci. Maximum funkčního modulu přenosu je pak v . Pulz odpovídající maximálnímu je proto vždy menší než .
ξ<22 {\ displaystyle \ xi <{\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \}|H(jω)|mnaX=12ξ1-ξ2 {\ displaystyle | H (j \ omega) | _ {max} = {\ frac {1} {2 \ xi {\ sqrt {1- \ xi ^ {2}}}}}}}ωR=ω01-2ξ2 {\ displaystyle \ omega _ {R} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1-2 \ xi ^ {2}}} \}ωR{\ displaystyle \ omega _ {R}}ω0{\ displaystyle \ omega _ {0}}
High pass
H(p)=(pω0)21+2ξpω0+(pω0)2 {\ displaystyle H (p) = {\ frac {({\ frac {p} {\ omega _ {0}}}) ^ {2}} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ left ({\ frac {p} {\ omega _ {0}}} \ right) ^ {2}}} \}Graf se získá převzetím protikladu modulu v dB a fáze dolní propusti.
Zpět k obecnému případu
Jak jsme zdůraznili výše, mohli bychom přidat všechny Bodeho diagramy elementárních členů, abychom získali diagram přenosové funkce .
H(p) {\ displaystyle H (p) \}
Když je však tato přenosová funkce komplikovaná, je snazší vzít v úvahu příspěvky každého členu, jak se puls zvyšuje .
ω {\ displaystyle \ omega \}
Na začátku, když je asymptota modulu přímka strmosti q (q * 20 dB / dekáda) a fáze je konstantní na . Následně se pokaždé, když dojde k pulzaci, graf upraví podle následujícího postupu:
ω→0 {\ displaystyle \ omega \ rightarrow 0 \}q×90∘ {\ displaystyle q \ krát 90 ^ {\ circ} \}
- Pro přidáme +2 sklonu modulu (40 dB / dekádu) a do fáze.ω=ωk {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {k} \}180∘×siGneE(ωkξk) {\ displaystyle 180 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {znaménko (\ omega _ {k} \ xi _ {k})} \}
- Protože přidáme +1 k sklonu modulu (+20 dB / dekádu) a k fázi.ω=ωl {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {l} \}90∘×siGneE(ωl) {\ displaystyle 90 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {znak (\ omega _ {l})} \}
- Protože k sklonu modulu (-40 dB / dekádu) a k fázi přidáme -2 .ω=ωm {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {m} \}-180∘×siGneE(ωmξm) {\ displaystyle -180 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {znaménko (\ omega _ {m} \ xi _ {m})}}}
- Protože k sklonu modulu (-20 dB / dekádu) a k fázi přidáme -1 .ω=ωne {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {n} \}-90∘×siGneE(ωne) {\ displaystyle -90 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {znaménko (\ omega _ {n})} \}
Vykreslování digitálních systémů
Omezení pulzačního rozsahu
Tentokrát máme přenosovou funkci diskrétního systému.
G(z)=Z{G(ne)} {\ displaystyle G (z) = {\ mathcal {Z}} \ {g (n) \} \}
Abychom získali jeho Bodeův diagram, musíme vyhodnotit funkci na jednotkovém kruhu.
Jinými slovy, s (získáme úplnou kružnici symetrií).
z=E2πjν {\ displaystyle z = e ^ {2 \ pi j \ nu} \}ν∈[0;12]{\ displaystyle \ nu \ in \ left [0; {\ frac {1} {2}} \ right]}
Pokud byl diskrétní systém získán vzorkováním v periodě T spojitého systému, pak s .
z=EjωT {\ displaystyle z = e ^ {j \ omega T} \}ω∈[0;πT]{\ displaystyle \ omega \ in \ left [0; {\ frac {\ pi} {T}} \ right]}
Navíc vztahy a nejsou racionální . V důsledku toho je studium trasy komplikované a vyžaduje počítačové prostředky.
|G(z)|z=E2πjν {\ displaystyle | G (z) | _ {z = e ^ {2 \ pi j \ nu}} \}narG(G(z)z=E2πjν) {\ displaystyle \ operatorname {arg (G (z) _ {z = e ^ {2 \ pi j \ nu}})}}}ν {\ displaystyle \ nu \}
Bilineární transformace
Existuje však aplikace umožňující redukci na spojitý případ:
z=2T+w2T-w {\ displaystyle z = {\ frac {{\ frac {2} {T}} + w} {{\ frac {2} {T}} - w}} \}nebo reciproční funkce w=2Tz-1z+1 {\ displaystyle w = {\ frac {2} {T}} {\ frac {z-1} {z + 1}} \}
Toto je Möbiova transformace .
Tato transformace umožňuje, aby imaginární osa spojité domény odpovídala jednotkové kružnici
diskrétní domény s : ve skutečnosti tím, že představuje , pak což je komplex dělený jeho konjugátem, tedy modulu 1. Je také psán , proto argument de je polovina modulo : argumentem .
w=jΩ {\ displaystyle w = j \ Omega \}z=EjωT {\ displaystyle z = e ^ {j \ omega T} \}ω=2Tnarvs.tnane(TΩ2) {\ displaystyle \ omega = {\ frac {2} {T}} \ operatorname {arctan \ left ({\ frac {T \ Omega} {2}} \ right)} \}Z=2T+jΩ{\ displaystyle Z = {\ frac {2} {T}} + j \ Omega}z=2T+jΩ2T-jΩ=ZZ∗ {\ displaystyle z = {\ frac {{\ frac {2} {T}} + j \ Omega} {{\ frac {2} {T}} - j \ Omega}} = {\ frac {Z} {Z ^ {*}}} \}z=Z2|Z|2 {\ displaystyle z = {\ frac {Z ^ {2}} {| Z | ^ {2}}} \}Z {\ displaystyle Z \}z {\ displaystyle z \}π {\ displaystyle \ pi \}narG(Z)≡narvs.tnane(Ω2T) [π]≡12ωT [π]{\ displaystyle \ operatorname {arg (Z)} \ equiv \ operatorname {arctan \ left ({\ frac {\ Omega} {\ frac {2} {T}}} \ right)} \ [\ pi] \ equiv { \ frac {1} {2}} \ omega T \ [\ pi]}
Nyní, kdy , máme , a v tom případě se ocitneme v kontinuálním případě racionálního zlomku, který má být studován. Poté se můžeme vrátit ke klasické studii analogových systémů, když víme, že hodnoty blízkého diagramu jsou poznamenány chybou.
ωT≪1{\ displaystyle \ omega T \ ll 1}ω≈Ω {\ displaystyle \ omega \ přibližně \ omega \}ω∈[0;πT]{\ displaystyle \ omega \ in \ left [0; {\ frac {\ pi} {T}} \ right]}ω=πT {\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ pi} {T}} \}
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">