Hilbertova kostka

V topologii nazýváme Hilbertovu krychli produktový prostor obdařený topologií produktu , jinými slovy: prostor sekvencí s hodnotami v [0, 1], obdařený topologií jednoduché konvergence . Podle Tykhonovovy věty jde o kompaktní prostor . $K = \ doleva [0,1 \ doprava] ^ {\ mathbb {N}}$

Je homeomorfní s prostorem apartmá, jako je například vzdálenost: $\ left [0,1 \ right] \ times \ left [0, {\ frac 12} \ right] \ times \ left [0, {\ frac 13} \ right] \ times \ cdots$ $x = \ left (x_ {n} \ right) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $\ forall n, \; 0 \ leq x_ {n} \ leq {\ frac 1n}$

d \ left (x, y \ right) = {\ sqrt {\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ left (x_ {n} -y_ {n} \ right) ^ {2 }}}.

Je proto měřitelný a následně (protože je kompaktní), oddělitelný a má následující vlastnost:

All metrizable oddělitelný prostor je homeomorphic do podprostoru K .

To poskytuje zejména vhodný prostředek pro zhutňování oddělitelných měřitelných prostorů a také kritérium pro jejich klasifikaci podle jejich složitosti; například prostor je polský tehdy a jen tehdy, je-li homeomorphic na průsečíku řady otevřených K . Také jsme k závěru, že jakýkoliv měřitelný prostor denumerably generován a oddělený je izomorfní s částí K opatřené kmene indukovanou Borel z K .

Podívejte se také

Cantorův prostor

Poznámky a odkazy

a „sudé“ - což je pro měřitelný prostor ve skutečnosti ekvivalentní - na spočetném základě
„Výsledek kvůli Urysohnovi “ : François Guénard a Gilbert Lelièvre, Analýza doplňků, 1. svazek, Topologie , první část , ENS Fontenay, 1985, s. 1. 29
Tyto dvě hypotézy lze nahradit: regulárním a spočetným základem, protože jakýkoli pravidelný prostor s počitatelným základem je metrizovatelný .