Algebraická množina

V algebraické geometrii je algebraická množina množinou řešení systému polynomiálních rovnic s několika proměnnými. Jedná se o body afinního nebo projektivního algebraického potrubí . Slouží jako intuitivní podpora pro algebraickou geometrii.

Afinní algebraické množiny

V této části se označují algebraicky uzavřené pole (například ℂ), celé číslo větší než nebo rovno jedné. Považujeme afinní prostor rozměru na , to znamená, že sada (bez algebraické struktury). $k$ $ne$ $ne$ $k$ $k ^ n$

Definice. Nechť je součástí kruhu polynomů , nazýváme algebraickou množinu spojenou s S a označíme následující podmnožinu : $S$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $Z (S)$ $k ^ n$

Z (S) = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ v k ^ {n} \ mid \ forall f \ in S, \ f (x_ {1}, \ ldots, x_ { n}) = 0 \}

to znamená místo zrušení společné pro všechny prvky . $S$

Příklady :

V afinní rovině je místem zrušení nenulového dvou proměnného polynomu afinní algebraická množina nazývaná rovinná křivka a stupeň polynomu se nazývá stupeň křivky. Čáry jsou algebraické množiny stupně 1, kuželosečky stupně 2, kubiky stupně 3 a tak dále. $k ^ 2$
V afinním prostoru je lokusem zrušení nenulového tří variabilního polynomu afinní algebraická množina, což je algebraický povrch . Stejně jako u křivek definujeme stupeň povrchu, přičemž roviny jsou stupně 1, kvadriky stupně 2 atd. $k ^ {3}$
V afinním prostoru je jakákoli konečná množina bodů afinní algebraickou množinou.

Poznámky

Pokud je ideální z generované S, poté . Zejména, jak je Noetherian , je generován konečnou částí . Z toho vyplývá . Jinými slovy, algebraická množina je vždy lokusem zrušení společným pro prvky ideálu a také lokusem zrušení společným pro konečný počet polynomů. $Já$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $Z (I) = Z (S)$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $Já$ $S '$ $Z (S) = Z (S ')$
Vzhledem k tomu, algebraické sadu , se můžeme vrátit k ideálům ptát I (E) , která se rovná sadou polynomů mizejících na E . Ideální I (E) je pak radiální . Například, pro k = ℂ, algebraická samé nuly X ² je snížena do bodu, 0 a ideální I (x² = 0) se rovná jeho radikál, a to je ideální generované X . Nicméně ideální generovaný polynom x ²-radikál není, protože neobsahuje X . $E = Z (I) \ podmnožina k ^ {n}$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$
Prvky kvocientového kruhu jsou poté identifikovány s omezeními na E polynomiálních map od do k . Nazývají se na pravidelné funkce na algebraické množiny E . By Noether normalizace lemma pravidelné funkce jsou algebraické funkce . $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / I (E)$ $k ^ n$
Vzhledem k tomu, k je algebraicky uzavřený, Hilbertův nula věta tvrdí, že funkce I je bijection mezi algebraické sad a kořenových ideály z . Přesněji řečeno, je zbytek ze J . Body algebraické sada E odpovídají maximální ideál z . $k ^ n$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $I (Z (J))$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / I (E)$
Algebraická množina E je považována za neredukovatelnou, je- li I (E) prvotním ideálem.

Vlastnosti :

$Z (\ {0 \}) = k ^ {n}$ ,
$Z (\ {1 \})$ je prázdný;
$Z (I) \ pohár Z (J) = Z (I \ čepice J)$ ;
Průsečík rodiny algebraických sad je rovna , kde je ideální generované , to znamená součet z . $Z (já _ {{\ lambda}})$ $Z (I)$ $Já$ $\ cup _ {{\ lambda}} Já _ {{\ lambda}}$ $Já _ {{\ lambda}}$

Projektivní algebraické množiny

Projektivní algebraická geometrie je pohodlnější rámec než afinní geometrie. Projektivita je vlastnost analogická topologické kompaktnosti . Věta Bézout platí pouze pro projektivní odrůd.

Rám. V této části označíme projektivní prostor dimenze n nad k , tj. Množinu , kde je vztah ekvivalence (vztah kolinearity) identifikující dva body x a y právě tehdy, jsou-li x a y na stejné vektorové linii. Projektivní prostor dimenze n je proto identifikován sadou vektorových čar k- vektorového prostoru dimenze n +1. Třída v z bodu je známý . Jsou homogenní souřadnice tohoto bodu . ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $k ^ {{n + 1}} \ setminus \ {0 \} / R$ $R$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $(x_ {0}, \ ldots, x_ {n})$ $(x_ {0}: \ ldots: x_ {n})$ $x_ {i}$ $(x_ {0}: \ ldots: x_ {n})$

Definice. Nechť S je množina homogenních polynomů kruhu . Nazýváme algebraickou (projektivní) množinu spojenou s S a označíme ji následující podmnožinou : $k [X_ {0}, \ dots, X_ {n}]$ $Z _ {+} (S)$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$

Z _ {+} (S) = \ {(x_ {0}: \ ldots: x_ {n}) \ in {\ mathbb P} ^ {n} (k) \ mid \ forall f \ in S, \ f (x_ {0}, \ dots, x_ {n}) = 0 \}.

Všimněte si, že zrušení polynomu f v bodě závisí pouze na třídě tohoto modulo vztahu, protože f je homogenní. Celek je proto dobře definován . Index + se používá k rozlišení homogenních nul od afinních nul. $(x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) \ neq 0$ $(x_ {0}: \ ldots: x_ {n})$ $R$ $Z _ {+} (S)$

Jestli jsem je homogenní ideál of , je vše spojeno s množinou homogenních polynomů I. . $k [X_ {0}, \ dots, X_ {n}]$ $Z _ {+} (I)$ $Z _ {+}$

Příklad Dovolit být nenulový, dvou proměnný homogenní polynom stupně d . Projektivní algebraická množina projektivní roviny se nazývá rovina projektivní křivky stupně d . Polynom (kde je přirozené celé číslo) definuje rovinnou projektivní křivku, jejíž body jsou homogenním řešením Fermatovy rovnice. $F (X_ {0}, X_ {1}, X_ {2})$ $Z _ {+} (F)$ $P ^ {2} (k)$ $X_ {0} ^ {n} + X_ {1} ^ {n} -X_ {2} ^ {n}$ $ne$

Poznámka.

Pokud I je (homogenní) ideální z generované S , potom . Protože I je generováno konečným počtem homogenních polynomů, lze projektivní algebraickou množinu vždy definovat konečným počtem homogenních polynomů. $k [X_ {0}, \ dots, X_ {n}]$ $Z _ {+} (I) = Z _ {+} (S)$
Stejně jako v případě afinních algebraických množin existuje projektivní Hilbertova nulová věta, která stanoví vzájemnou korespondenci mezi projektivními algebraickými množinami a homogenními radiálními ideály odlišnými od ideálu generovaného . Bod v projektivním prostoru odpovídá homogennímu primárnímu ideálu, maximálnímu z těch, které jsou striktně obsaženy v . S bodem homogenních souřadnic spojujeme ideál generovaný pomocí , pro i a j měnící se mezi 0 a n . ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $(X_ {0}, \ dots, X_ {n})$ $X_ {0}, \ ldots, X_ {n}$ $(X_ {0}, \ dots, X_ {n})$ $(x_ {0}: \ dots: x_ {n})$ $x_ {i} X_ {j} -x_ {j} X_ {i}$

Vlastnosti :

$Z _ {+} (\ {0 \}) = {\ mathbb P} ^ {n} (k)$ ,
$Z _ {+} (\ {1 \})$ je prázdný;
$Z _ {+} (I) \ cup Z _ {+} (J) = Z _ {+} (I \ cap J)$ ;
Průsečík rodiny projektivních algebraických množin je stejný , kde je součet ideálů (je stále homogenní). $Z _ {+} (já _ {{\ lambda}})$ $Z _ {+} (I)$ $Já$ $Já _ {{\ lambda}}$

Zariski topologie

Afinní prostor k n (resp. Projektivní ) je vybaven takzvanou Zariskiho topologií . Uzavřenými částmi pro tuto topologii jsou algebraické množiny v k n (resp. Projektivní algebraické množiny v ). ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$

Příklad : Zariskiho topologie afinní linie k je co-konečná topologie .

Zariskiho topologie na algebraické množině (resp. Projektivní algebraické množině) je podle definice topologie indukovaná topologií afinního (resp. Projektivního) prostoru, který ji obsahuje. Zariskiho topologie v afinním případě je analogická Zariskiho topologii v primárním spektru prstenu .

Pozoruhodné otevřené části afinního (resp. Projektivního) prostoru jsou hlavní otevřené části (resp. ), To znamená doplněk (resp. ). Omezení principálu otevřeného algebraické množině se nazývá principál otevřené algebraické množiny. Hlavní otvory tvoří základ topologie . $D (f)$ $D _ {+} (f)$ $Z (\ {f \})$ $Z _ {+} (\ {f \})$

Otevřená podmnožina afinního (resp. Projective) algebraická soubor se nazývá kvazi-afinitou (resp. Kvazi-projektivní ).

Afinní prostor je kvazi-projektivní, protože se identifikuje s otevřenou z aplikací . Zkontrolujeme, zda tato mapa vyvolává homeomorfismus afinního prostoru na jeho obrázku. Z toho vyplývá, že jakákoli kvazi-afinní algebraická množina je kvazi-projektivní. $k ^ n$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k) \ setminus Z _ {+} (X_ {0})$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ to (1: x_ {1}: \ ldots: x_ {n})$

Zariskiho topologie je zjevně docela špatná (několik otvorů, dva body nejsou obecně odděleny disjunktními otevřenými sousedstvími), ale pro mnoho účelů to stačí.

Vztahy mezi afinními algebraickými množinami a projektivními algebraickými množinami : Projektivní algebraická množina Z je konečné spojení otvorů (pro Zariskiho topologii), které jsou afinními algebraickými množinami. Ve skutečnosti je Z definováno zrušením homogenních polynomů s proměnnými n +1. Označme množinu takových, která není nula. Takže je otevřený ; kryt ; zbývá vidět, že jde o afinní algebraickou množinu. Jestliže a pokud je množina polynomů , kdy jsou homogenní polynom překročeno , pak můžeme snadno vidět, že je algebraické set v . $Z_ {i}$ $(x_ {0}: ...: x_ {n}) \ v Z$ $x_ {i}$ $Z_ {i} = Z \ setminus (Z \ cap Z _ {+} (x_ {i}))$ $Z$ $Z_ {i}$ $Z$ $Z_ {i}$ $Z = Z _ {+} (S)$ $Ano}$ $F (x_ {0}, ..., x _ {{i-1}}, 1, x _ {{i + 1}}, ..., x_ {n})$ $F$ $S$ $Z_ {i}$ $Z (S_ {i})$ $k ^ n$

Případ jakéhokoli základního těla

Pokud je pole báze k není algebraicky uzavřený, algebraická množina nad k je algebraický množina v algebraické uzavření k o k , definovaný polynomy s koeficienty v k . Například množina dvojic (a, b) ε ℚ 2 tak, že 2 + b 3 -1 = 0 je algebraická množina nad ℚ. Na druhé straně vztah a 2 + b 3 - √ 2 = 0 nedefinuje algebraickou množinu na ℚ.

Poznámky a odkazy

(in) „Afinní algebraická množina“ v Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , číst online )

(en) Robin Hartshorne , Algebraic Geometry [ detail vydání ], kap. Já
Daniel Perrin , algebraická geometrie. Úvod [ detail vydání ]

Související článek

Rovina skutečná algebraická křivka